Zur Regularität der Matrix A^tA

Frank Recker, Eugen Grycko

Zur Regularität der Matrix A

A

Lehrgebiet Stochastik Forschungsbericht

Fakultät für

Mathematik und

Informatik

ZUR REGULARITÄT DER MATRIXA^tA

Frank Recker¹und Eugen Grycko²

1Fachbereich Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik Technische Hochschule Mittelhessen

Wiesenstraße 14 35390 Gießen / Germany

2Fakultät für Mathematik und Informatik FernUniversität

Universitätsstraße 1 58084 Hagen / Germany

Zusammenfassung

In der Mathematischen Statistik interessiert man sich manchmal (vgl. [2]) für die Frage, ob die MatrixA^tAregulär ist, falls die (nicht unbedingt quadratische) MatrixAvollen Rang hat. Wir diskutieren diese Frage für Matrizen, deren Ein- träge aus verschiedenen algebraischen Körpern stammen. Der Text sollte nach einem Jahr eines Mathematikstudiums nachvollziehbar sein und als Bonus für die jüngeren ambitionierten Kolleginnen und Kollegen flechten wir eine offene Frage ein.

1. Einleitung

Wir werden im folgendenm×n-Matrizen über einem KörperK betrachten und un- tersuchen, wann dien×n-MatrixA^tAregulär ist. Wir erinnern daran, dass eine nicht reguläre Matrix singulär ist. Weiterhin wiederholen wir hier wichtige, in der linearen Algebra bewiesene, Aussagen über quadratische Matrizen.

Satz 1.1.

SeiAeine quadratischen×n-Matrix über einem KörperK. Dann sind die Folgenden Aussagen überAäquivalent:

1. Aist regulär 2. Aist invertierbar

3. die Spalten vonAsind linear unabhängig

4. der Kern vonAist der Null-Vektorraum

5. Für jedesb ∈Kⁿist das lineare GleichungssystemAx=beindeutig lösbar.

6. Die Determinante vonAist nicht 0.

Insbesondere die Eigenschaft 5 aus Satz 1.1 ist in Anwendungen oft gewünscht.

Wir werden nun für diem×n-MatrixAdie Fällem < n,m=nundm > ngetrennt betrachten. Beim letzten Fall hängen die Ergebnisse dabei erstaunlicherweise vom zu- grunde liegenden Körper ab.

2. Beliebige Körper

Wir beginnen mit einem Lemma, das wir mehrfach benutzen werden.

Lemma 2.1

SeiAeinem×n-Matrix über einem KörperK. Wenn der Rang vonA kleiner alsn ist, dann istA^tAsingulär.

Beweis:Es seiena₁, . . . , a_n die Spalten vonA. Da der Rang von Akleiner als n ist, sind diese Spaltenvektoren linear abhängig (Satz 1.1, Teil 3). Es gibt alsox1, . . . , xn∈ K, die nicht alle gleich 0 sind, so dass

x₁a₁+x₂a₂+· · ·+x_na_n = 0 ist. Für den Spaltenvektor

x=









 x₁ x₂ ... x_n









 6= 0

gilt dann

Ax=x₁a₁+x₂a₂+· · ·+x_na_n= 0. (2.1) Damit gilt auch

A^tAx=A^t0 = 0.

Damit ist der Kern vonA^tAnicht der Nullvektorraum. Nach Satz 1.1, Teil 4 ist A^tA damit singulär.

2

Nun beginnen wir mit dem einfachsten Fallm < n.

Satz 2.2.

SeiAeinem×n-Matrix über einem KörperK mitm < n. Dann istA^tAsingulär.

Beweis:Der Rang vonA ist maximal m und damit kleiner als n. Die Aussage folgt dann aus Lemma 2.1.

2 Nun folgt der quadratische Fall.

Satz 2.3.

Sei A eine n× n-Matrix über einem Körper K. Dann ist A^tA genau dann regulär, wennAregulär ist.

Beweis:Wie aus der linearen Algebra bekannt ist, gilt det(A^tA) = det(A^t) det(A) und

det(A^t) = det(A).

Insgesamt haben wir damit

det(A^tA) = det(A)². Also gilt

det(A^tA) = 0 ⇐⇒ det(A) = 0.

Die Aussage folgt damit aus Satz 1.1, Teil 6.

2 Nun folgt der Fallm > n. Falls der Rang derm×n-MatrixAkleiner alsnist, so istA^tAnach Lemma 2.1 singulär. Erstaunlicherweise kannA^tAaber auch in dem Fall rang(A) =nsingulär sein.

Als erstes Beispiel wählen wir über dem KörperF2die2×1-Matrix A=

1 1

.

Es gilt dannrang(A) = 1und

A^tA= 1 1 1

1

= 1² + 1²

= (0).

Die Vermutung, dass so etwas in Körpern mit unendlicher Charakteristik nicht auf- tritt, widerlegt das folgende Gegenbeispiel überC. Wir wählen

A= 1

i

.

Es gilt wiederrang(A) = 1und

A^tA= 1 i 1

i

= 1² +i²

= (0).

Wenn der KörperK allerdings angeordnet ist, dann ergibt sich ein anderes Bild.

3. Angeordnete Körper

Für die Definition des BegriffsAngeordneter Körper und ihre Implikationen verwei- sen wir auf [1].

Wie aus der Analysis bekannt ist, lassen sich einige Körper anordnen. Beispiel dafür sindQoderR. Ebenfalls bekannt ist, dass sich zum Beispiel Cnicht anordnen lässt.

(In jedem angeordneten Körper gilt für allex 6= 0die Ungleichungx² > 0. InCgilt jedochi² = −1, was bei Annahme der Existenz einer Anordnung zu einem Wider- spruch führt.) Wir können nun den letzten verbliebenen Fall klären.

Satz 3.1.

SeiK ein angeordneter Körper undA eine m×n-Matrix über Kmit m > n. Falls rang(A) =ngilt, so istA^tAregulär.

Beweis:Wir nehmen an, dassA^tAsingulär sei. Dann besteht der Kern vonAnicht nur aus dem Nullvektor (Satz 1.1, Teil 4). Sei also Spaltenvektorx ∈ Kⁿ ein beliebiges Element aus dem Kern vonA^tAmitx 6= 0. Es gilt dannA^tAx = 0(die 0 ist hier der Nullvektor ausKⁿ). Damit gilt auch

x^tA^tAx=x^t A^tAx

=x^t0 = 0, (3.2)

wobei hier die 0 die1×1-Nullmatrix ist. Wir definieren nuny =Ax. Der Spaltenvektor Axist wie in der Gleichung (2.1) eine Linearkombination der Spalten vonA. Da der Rang vonA gleich n ist, sind die Spalten von A linear unabhängig. Da x nicht der Nullvektor ist, istAxalso eine nichttriviale Linearkombination der Spalten. Damit ist

y =









 y₁ y₂ ... y_n











nicht der Nullvektor. Wir betrachten nun die1×1-Matrixy^ty= (y_1,1), welche wir, um die Notation zu vereinfachen, mit dem Körperelementy_1,1 identifizieren. Es gilt dann

y^ty=y₁²+y₂²+· · ·+y_n².

Da der Körper angeordnet ist, gilt y_i² ≥ 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}. Weil y 6= 0 ist, existiert mindestens ein i ∈ {1, . . . , n} mit y_i 6= 0 und damit y²_i > 0. Folglich ist y^ty >0. Nun gilt aber andererseits nach Gleichung (3.2)

y^ty= (Ax)^tAx=x^tA^tAx= 0.

Dies ist ein Widerspruch. Damit kannA^tAnicht singulär sein.

2 4. Ausblick

Der interessante Fall ist offensichtlich m > n und rang(A) = n. Im Allgemeinen kann keine Aussage über die Regularität vonA^tAgemacht werden. Für den Fall eines angeordneten Körpers gilt dagegen immer, dassA^tAregulär ist. Die Frage ist nun, ob die KörperK, für dieA^tAunter den Voraussetzungenm > nundrang(A) =nimmer regulär ist, charakterisiert werden können? Gilt dies nur für angeordnete Körper (für die wir es bewiesen haben) oder gibt es weitere Körper, die diese nützliche Eigenschaft haben?

Danksagung

Die Autoren bedanken sich bei Luise Unger, Silke Hartlieb und Stefan Helfert für wertvolle Kommentare zum first draft des vorliegenden Beitrags.

Literatur

[1] O. Forster,Analysis 1. 12. Aufl., Springer Spektrum, Wiesbaden (2019).

[2] O. Moeschlin, E. Grycko, C. Poppinga,Angewandte Mathematische Statistik. Kurs der FernUniversität, Hagen (2019).

[3] L. Unger,Lineare Algebra. Kurs der FernUniversität, Hagen (2019).