1 a)
Heisenberg-Bewegungsgleihung: ih
t
^
A(t)=[
^
A;
^
H℄(t)
Kommutatoren fur dieN unabhangigen Drehimpulse:
[
^
S
i
;
^
S
j
℄=(Æ
i;j )ih
^
S
i
mit ; ; 2fx;y;zgund impliziterSummationuber .
Damit:
ih
t
^
S
i
= [
^
S
i
;
^
H℄ ; =fest
= 1
2 X
l ;m J(jR
l R
m j)[
^
S
i
;
^
S
l
^
S
m
℄ ; Summe implizit
= 1
2 X
l ;m J(jR
l R
m j)
[
^
S
i
;
^
S
l
℄
^
S
m +
^
S
l [
^
S
i
;
^
S
m
℄
= ih 1
2 X
l J(jR
l R
i j)(
^
S
i
^
S
l
| {z }
mitl $m +
^
S
l
^
S
i )
= ih X
l J(jR
i R
l j)
|{z}
^
S
i
^
S
l
; mitl6=i
)
t
^
S
i
(t) = X
l J(jR
i R
l j)[
^
S
i (t)
^
S
l (t)℄
b)
Linearisieren: Fur T ! 0 gilt h
^
S z
i
i = S O(e J=kT
), jedenfalls in Molekularfeldnaherung.
D.h.,alleZustandej'
i,diezur SpurbeiT !0beitragen(insbesondere derGrundzustand j'
0 i)
erfullen
^
S z
i j'
i=hSj'
i+O(e J=kT
). Mankann also
^
S z
i
=hS setzen. Dies indieBewegungs-
gleihung einsetzen:
t
^
S
i
= X
l
J(jR
i R
l j)
0
B
B
^
S x
i
^
S y
i
hS
1
C
C
A
0
B
B
^
S x
l
^
S y
l
hS
1
C
C
A
mit den Komponenten
t
^
S x
i
(t) = hS X
l J(jR
i R
l j)[
^
S y
i (t)
^
S y
l (t)℄
t
^
S y
i
(t) = h S X
l J(jR
i R
l j)[
^
S x
i (t)
^
S x
l (t)℄
t
^
S z
i
(t) = X
J(jR
i R
l j)[
^
S x
i (t)
^
S y
l (t)
^
S y
i (t)
^
S x
l (t)℄
Die rehte Seite der letzten Gleihung (fur z) sollte konsistenterweise 0 sein. Oensihtlih ist
die rehte Seite um einen expliziten Faktor 1=S kleiner als die rehten Seiten der ersten beiden
Gleihungen (furx,y).Umdas zu bestatigen,muteman dieGleihungenlosen und z.B.aufden
Grundzustand j'
0
i wirken lassen.Die linearisiertenGleihungenfurx und y (lineare Spinwellen-
theorie)sind tatsahlihdieersten Termeeiner Entwiklung in1=S solltenalsofurgroeSpins S
eine guteNaherung sein.
Im Folgenden nehmen wir also nur noh die x und y Komponenten mit. Einsetzen der Fourier-
Zerlegung
^
S
i (t)=
1
p
N X
q e
iqR
i
^
S
(q;t)
(die, da sielinear ist,auh fur Operatoren gilt)liefert
t
^
S x
y
i (t)=
1
p
N X
q e
iqR
i
t
^
S x
y
(q;t)=hS 1
p
N X
q
^
S y
x
(q;t) X
l J(jR
i R
l j)[e
iqR
i
e iqR
l
℄
KoeÆzientenvergleih:
t
^
S x
y
(q;t)=hS
^
S y
x
(q;t) X
l J(jR
i R
l
j)[1 e iq(R
l R
i )
℄=h S[
~
J(0)
~
J(q)℄
^
S y
x
(q;t)
mit
~
J(q) = X
l J(jR
i R
l j)e
iq(R
i R
l )
= X
j J(jR
j j)e
iqR
j
Die gesuhten linearisierten Bewegungsgleihungen lauten also
t
^
S x
(q;t) = (q)
^
S y
(q;t)
t
^
S y
(q;t) = (q)
^
S x
(q;t)
; (q)=hS[
~
J(0)
~
J(q)℄
)
Die Bewegungsgleihung furdieLeiteroperatoren
^
S
(q;t)=
^
S x
(q;t)i
^
S y
(q;t)
folgt einfahdurh einsetzen:
t
^
S
=
t [
^
S x
i
^
S y
℄=[
^
S y
i
^
S x
℄=i[
^
S x
i
^
S y
℄=i
^
S
Mit [
^
A;
^
H℄(t)=ih
t
^
A(t) istdies
^
S
(q;t)=i(q)
^
S
(q;t) $ [
^
S
(q);
^
H℄=h(q)
^
S
(q)
Aquivalenzzum harmonishenOszillator:DieBewegungsgleihungen fur
^
S
sind oenbar diedes
harmonishen Oszillators (fur festes q), wobei der Erzeuger ^a y
mit
^
S identiziert werden mu
(das wird ind) nohklar). Wenn man alsosetzt
^ a y
q
=
^
S (q)
p
2Sh
; ^a
q
=
^
S +
( q)
p
2Sh
dann kommen dieKommutatoren mitden gewohnten Vorzeihen rihtigheraus:
[ ^a
q
;
^
H℄ = h( q)
^
S +
( q)
p
2Sh
=h(q) ^a
q
; mit ( q)=(q)
[ ^a y
q
;
^
H℄ = h ( q)
^
S (
q)
p
2Sh
= h (q) ^a y
q
Der \nihttriviale" Teil istaberder Kommutator
[ ^a
q
;^a y
q
℄ = 1
2Sh 2
[
^
S +
( q);
^
S (q)℄
= 1
2Sh 2
1
N X
i;j e
iq(R
i R
j )
[
^
S +
i
;
^
S
j
℄ ; [
^
S +
i
;
^
S
j
℄=(Æ
i;j )2h
^
S z
i '(Æ
i;j )2h
2
S
= 1
N X
i;j e
iq(R
i R
j )
Æ
i;j
=1
Abgesehendavon,dadasnurfur
^
S z
i
=hSfunktioniert,sindhierdieVorfaktoren1=
p
2Shunddas
negativeVorzeihenin qin
^
S +
( q)ina^
q
notig.Dadurhistauhgewahrleistet, da( ^a
q )
y
=^a y
q ,
wie man mit(
^
S
i )
y
=
^
S +
i
leihtnahrehnet.
Der Hamiltonoperatorlautetdamit, unter der Annahme
^
S z
i
=hS (wie gesagt):
^
H = X
q h (q) ^a
y
q
^ a
q +E
0
Die KonstanteE
0
istdieEnergiedes ferromagnetishgeordnetenGrundzustandes j'
0
i,denn ^a y
^ a
zahlt ja die Anregungen aus diesem Grundzustand; in der Tat ist (siehe d)) ^a
q j'
0
i =0. E
0 lat
sih leiht bestimmen:
E
0
= 1
2 X
J(jR
i R
j
j)(hS)(hS)= (h S) 2
N 1
2 X
J(jR
l
j) ) E
0
= N
2 (hS)
2
~
J(0)
d)
Grundzustand: Wie shon in a) argumentiert, ist der Grundzustand zumindest in Moleku-
larfeldnaherung (und hier, im Ferromagneten, tatsahlih auh exakt) gegeben durh
^
S z
i j'
0 i =
hSj'
0
i.Es gibt nur einen Zustand mitdieser Eigenshaft, namlih
j'
0
i=jSi 1
jSi 2
jSi N
;
^
S z
jmi=hmjmi ; m= S;:::;S
(((Furandere Spinmodelle(Antiferromagnetenz.B.)isteineinfaher Produktzustand alsGrund-
zustand eine Annahme. Man mu dann hohere Ordnungen 1=S berehnen (wir haben hier nur
(1=S) 0
),die dannauh den Grundzustand modizieren konnen,abhangigvon der Raumdimensi-
on und den vorhandenen Wehselwirkungen der Spins untereinander. Sind diese Korrekturen zu
stark, istdieAnnahme eben falshgewesen.)))
Zunahstsolltemanmaltesten,daj'
0
iauhwirklihdas\Vakuum"furSpinwellen-Anregungen
ist:
^ a
q j'
0 i=
1
p
2Sh 1
p
N X
i e
iqR
i
^
S +
i j'
0 i=
1
p
2Sh 1
p
N X
i e
iqR
i
jSi 1
^
S +
i jSi
i
jSi N
=0
Der erste angeregte Zustand fur festgewahltes q hat dagegen die \Ortsdarstellung"
j'
1
(q)i= 1
p
2Sh 1
p
N X
i e
iqR
i
jSi 1
^
S
i jSi
i
jSi N
Mit
^
S jmi=h q
S(S+1) m(m 1)jm 1i !
^
S jSi= p
2ShjS 1i
gibt's
j'
1
(q)i= 1
p
N X
i e
iqR
i
jSi 1
jSi 2
jS 1i i
jSi N
In diesem Zustand ist also 1 Spin um 1 Einheit h reduziert (der Spin ist aus der z-Rihtung
`gekippt' worden); alle moglihen Orte dieses `gekippten' Spins werden uberlagert, mit einem
\wellenformigen"Phasenfaktor.
Zur weiteren
Ubung mit Produktzustanden kann man einpaar Matrixelementeausrehnen:
h'
0 j'
0 i=
N
Y
i=1 i
hSjSi i
=1
Das war klar.
h'
1 (q)j'
1
(q)i= 1
N X
i;j e
iq(Ri Rj)
1
hSj i
hS 1j N
hSj
jSi 1
jS 1i j
jSi N
| {z }
=Æ
1
hSjSi 1
i
hS 1jS 1i i
N
hSjSi N
=Æ
=1
Das war zu hoen.
h'
0 j'
1
(q)i = 1
p
N X
i e
iqR
i
1
hSj N
hSj
jSi 1
jS 1i i
jSi N
| {z }
=0
=0
Das war zu verlangen, denn die Eigenzustande sollten orthogonalsein.
h'
0 j
^
S z
i j'
0
i=hS
1
hSjSi 1
N
hSjSi N
=hS
Das war unbedingt zu erwarten.
h'
1 (q)j
^
S z
l j'
1
(q)i = 1
N X
i
1
hSj i
hS 1j N
hSj
^
S z
l
jSi 1
jS 1i i
jSi N
= 1
N X
i [Æ
i;l
h(S 1)+(1 Æ
i;l )hS℄
= 1
N
[h(S 1)+(N 1)hS℄=h S h
N
Das war durhaus vorherzusehen, denn im Zustand j'
1
(q)i ist ja der Spin in z-Rihtung um h
reduziert. Allerdings istdieser im (quantenmeh.) Mittelhomogen verteilt.
e)
Die Bedingung (n 2
x +n
2
y +n
2
z
)=1 heit,da
(n
x
;n
y
;n
z
)=(1;0;0) ; (0;1;0) ; (0;0;1)
Also
~
J(q) =J 0
X
nx=1 e
iqxanx
+ X
ny=1 e
iqyany
+ X
nz=1 e
iqzanz 1
A
=2J[os(q
x
a)+os (q
y
a)+os (q
z a)℄
und
(q)=hS2J[3 os (q
x
a) os (q
y
a) os(q
z a)℄
'hS2J 1
2 [(q
x a)
2
+(q
x a)
2
+(q
x a)
2
℄ ! (q)'hSJjqaj 2
