MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITAT MUNCHEN
Prof. Dr. Otto Forster
WS 2000/2001
Ellipti sche Funktionen und Ellipti sche Kurven,
Ubungen
Blatt 7
Seik stets ein Korper.
Aufgabe 25
Man zeige: Zu jeder Matrixac db
2GL(2;k) gibt es genau einen Korper-Automor- phismus :k(X) !k(X) mit jk =idk und
X 7!(X) := aX +b
cX +d:
Aufgabe 26
a) Sei P2(X) := (X a)(X b)2k[X], (a;b2k; a6=b).
Man zeige: Es gibt einen Korperisomorphismus
:k(X)[pP2(X)] !k(X) mit jk =idk:
Anleitung:i) Man konstruiere zunachst einen Korperisomorphismus 1 :k(X)[pX] !k(X) mit 1(pX) =X und 1jk=idk.
ii) Der Korperisomorphismus k(X)! k(X), der durch X 7! XX ab gegeben wird (vgl.
Aufg. 25), lasst sich zu einem Korperisomorphismus 2 :k(X)[pX]!k(X)[pP2(X)]
fortsetzen.
b) Sei P4(X)2 k[X] ein Polynom 4. Grades mit paarweise verschiedenen Nullstellen in k. Man zeige: Es gibt ein Polynom 3. Grades P3(X) 2 k[X] und einen Korperiso- morphismus
:k(X)[pP4(X)] !k(X)[pP3(X)] mit jk =idk:
Aufgabe 27
Seik K undv:K !Zeine normalisierte diskrete Bewertung vonK uber k. Fur den zu v gehorenden BewertungsringA:=oK;v zeige man:
a) Jedes IdealaA ist ein Hauptideal.
b) Fur das maximale Ideal mA giltT1=0m = (0).
Aufgabe 28
Die elliptische Kurve E P2(k), (k algebraisch abgeschlossen, char(k) 6= 2;3), habe die ane GleichungY2 =X3+aX+b.
Im unendlichfernen Punkt O = (0 : 0 : 1) ist bekanntlich := XY eine Orts-Uniformi- sierende. Man berechne den Hauptteil der Laurent-Reihe der Funktion (X +Y)jE im PunktO bezuglich.
