Lineare Algebra I 9. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/2011
Prof. Dr. Kollross 10. Januar 2011
Dr. Le Roux
Dipl.-Math. Susanne Kürsten
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Vektorräume über endlichen Körpern)
Es seiFein endlicher Körper mitqElementen undV einn-dimensionalerF-Vektorraum.
(a) Wieviele Elemente hatV? (b) Wieviele geordnete Basen hatV?
(c) Wieviele Basen hatV?
(d) Berechnen Sie die Anzahl der Basen des(Z/3Z)-Vektorraums(Z/3Z)4. Aufgabe G2 (Dimension und direkte Summe)
Es seiV einK-Vektorraum undv∈V.
(a) Zeigen Sie, dass{v}genau dann linear unabhängig ist, wennv 6=0gilt.
(b) Zeigen Sie, dass ein UntervektorraumU vonV genau dann die Dimension Null hat, wennU={0}gilt.
(c) Es seienU1,U2Untervektorräume vonV. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen.
(i) U1+U2=U1⊕U2
(ii) dim(U1+U2) =dimU1+dimU2 Aufgabe G3 (Der Folgenraum)
Es seiV={(an)n∈N|an∈R∀n∈N}die Menge der reellen Zahlenfolgen. Diese bildet mit den Operationen +:V×V→V, (an)n∈N,(bn)n∈N
7→(an+bn)n∈Nund
· :R×V→V, λ,(an)n∈N
7→(λan)n∈N
einenR-Vektorraum.
(a) Ist die TeilmengeU1:={(an)n∈N|(an)n∈N∈V, höchstens endlich viele deransind ungleich Null} ein Untervektorraum vonV? Zeigen Sie ihre Aussage.
(b) Ist die TeilmengeU2:={(an)n∈N|(an)n∈N∈V, höchstens endlich viele deransind gleich Null} ein Untervektorraum vonV? Zeigen Sie ihre Aussage.
(c) BesitzenU1bzw.U2eine Basis. Wenn ja bestimmen Sie eine Basis und die Dimension vonU1bzw.U2. (d) Was ist die Dimension vonV?
(e) Bildet die in (c) bestimmte Basis vonU1auch eine Basis vonV?
Aufgabe G4 (Vektorräume über endlichen Körpern)
Es seiFein endlicher Körper mitqElementen,V einn-dimensionalerF-Vektorraum undk∈ {0, 1, . . . ,n}fest gewählt.
(a) Wievielek-dimensionale Untervektorräume hatV?
(b) Berechne die Anzahl der2-dimensionalen Untervektorräume des(Z/3Z)-Vektorraums(Z/3Z)4.
(c) (*) SeiU ⊆V eink-dimensionaler Untervektorraum. Für x∈V ist x+U eink-dimensionaler affiner Unterraum.
Für wieviele verschieden Vektorenx0istx+U=x0+U?
(d) (*) Wievielek-dimensionale affine Unterräume hatV?
(e) (*) Berechne die Anzahl der1-dimensionalen affinen Unterräume des(Z/3Z)-Vektorraums(Z/3Z)4.
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Hausübung
Aufgabe H1 (Lineare Abbildungen)
Es seienV undWK-Vektorräume und(v1, . . . ,vn)bzw.(w1, . . . ,wn)Basen vonV bzw.W. Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildungϕ:V→W gibt mit
ϕ(v1) =w1, . . . ,ϕ(vn) =wn. Zeigen Sie weiterhin, dass diese Abbildungϕein Vektorraumisomorphismus ist.
Aufgabe H2 (Basis und direkte Summe)
Es seiV ein endlichdimensionalerK-Vektorraum undU1⊆V ein Untervektorraum.
Zeigen Sie: Es gibt einen UntervektorraumU2⊆V mitV=U1⊕U2. Aufgabe H3 (Isomorphismen und Basen)
Es seienV undW zwei isomorpheK-Vektorräume. D.h. es existiert ein Vektorraumisomorphismusϕ:V →W. Weiterhin seiB⊂V eine Basis vonV.
Zeigen Sie, dass dannϕ(B):={ϕ(v)|v∈B}eine Basis vonWist.
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