Lineare Algebra 9. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik
M. Schneider 11.06.2012
Konstantin Pertschik, Daniel Körnlein
Gruppenübung Aufgabe G34 (Basis)
InR4betrachten wir die linearen Teilräume
U:=
x1 x2 x3 x4
x1−x2+x3−x4=0
und V:=spann
1
−2 3 0
,
2 0 3 1
.
Bestimmen Sie je eine Basis vonU,V,U∩V undU+V. Aufgabe G35
Betrachte den R-VektorraumR3mit der Standardbasis B = (~e1,~e2,~e3)und zwei weiteren Basen B0 = (~b1,~b2,~b3)und B00= (~c1,~c2,~c3), wobei
~e1 =
1 0 0
, ~e2 =
0 1 0
, ~e3 =
0 0 1
,
~b1 :=
1 0 1
, ~b2 :=
1 1 0
, ~b3 :=
0 1 1
,
~c1 :=
1 2 3
, ~c2 :=
2 1 2
, ~c3 :=
1 1 1
.
(a) Der Vektorw~ ∈R3sei bezüglich der BasisB0gegeben durch[w~]B0=
3 2 1
. Bestimmen Sie die Koordinaten vonw~ bezüglich der BasisB.
(b) Der Vektorv~∈R3sei bezüglich der StandardbasisBgegeben durch[v~]B=
2 2 2
. Bestimmen Sie die Koordinaten vonv~bezüglich der BasisB0.
(c) Bestimmen Sie die Koordinaten von~b1,~b2,~b3bezüglich der BasisB0. (d) Bestimme eine MatrixA1mit
[~u]B=A1[~u]B0∀~u∈R3. (e) Bestimme eine MatrixA2mit
[~u]B0=A2[~u]B00∀~u∈R3.
1
Hausübung
Aufgabe H25 (Isomorphismen und Basen) (5 Punkte)
Es seienV undW zwei isomorpheK-Vektorräume. D.h. es existiert ein Vektorraumisomorphismusϕ:V →W. Weiterhin seiB⊂V eine Basis vonV.
Zeigen Sie, dass dannϕ(B):={ϕ(~v)|v~∈B}eine Basis vonWist.
Aufgabe H26 (Der Folgenraum) (5 Punkte)
Es seiV={(an)n∈N|an∈R∀n∈N}die Menge der reellen Zahlenfolgen. Diese bildet mit den Operationen +:V×V→V, (an)n∈N,(bn)n∈N
7→(an+bn)n∈Nund
· :R×V→V, λ,(an)n∈N
7→(λan)n∈N einenR-Vektorraum.
(a) Ist die TeilmengeU1:={(an)n∈N|(an)n∈N∈V, endlich viele deransind ungleich Null} ein Untervektorraum vonV? Zeigen Sie ihre Aussage.
(b) Ist die TeilmengeU2:={(an)n∈N|(an)n∈N∈V, endlich viele deransind gleich Null} ein Untervektorraum vonV? Zeigen Sie ihre Aussage.
(c) BesitzenU1bzw.U2eine Basis. Wenn ja, bestimmen Sie eine Basis und die Dimension vonU1bzw.U2. (d) Was ist die Dimension vonV?
(e) Bildet die in (c) bestimmte Basis vonU1auch eine Basis vonV? Aufgabe H27 (Lineare Abbildungen und lineare Unabhängigkeit)
Seiϕ:V→Weine lineare Abbildung undv~1, . . . ,v~n∈V. Zeigen Sie: Sind die Bilderϕ(~v1), . . . ,ϕ(~vn)linear unabhängig, so sind auchv~1, . . . ,v~nlinear unabhängig.
Aufgabe H28
(a) SeienV =U1⊕U2undW zweiK-Vektorräume. Seienφ1:U1→W undφ2:U2→W zwei lineare Abbildungen.
Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildungφ:V →Wgibt, sodassφ|U1=φ1undφ|U2=φ2.
(b) Sei V ein endlicherK-Vektorraum und U1,U2 zwei Untervektorräume von V. Angenommen, für je zwei lineare Abbildungenφ1:U1→W undφ2:U2→W gibt es genau eine lineare Abbildungφ:V →W, sodassφ|U1=φ1
undφ|U2=φ2. Zeigen Sie, dassV =U1⊕U2gilt.
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