LMU München PD Dr. Heribert Zenk
Mathematisches Institut M. Feistl, K. Matzke
WiSe 2019/20
Mathematik I für Physiker:
Tutoriumsblatt 13
Aufgabe T13.1Untersuche die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit:
a) ( 5
1 )
, ( 1
0 )
, ( 8
7 )
inR2.
b)
−1 4 3
,
1 5 2
,
2 1 2
inR3.
c)
1 1
−1 0
,
0 1 1
−2
,
3 1
−5 4
in R4.
Aufgabe T13.2Gegeben sei der R-Vektorraum
V :={f:R→R| ∃a, b, c, d∈R:f(x) =ax3+bx2+cx+d} der Polynome bis zum dritten Grad sowie folgende Vektoren in V:
v1 =x−1, v2 =x2−1,
w1 =x+ 1, w2 =x2+ 1, w3=x3, w4= 3x.
Untersuche, ob die Vorraussetzungen des Basisergänzungssatzes für die Mengen{v1, v2}und {w1, w2, w3, w4} erfüllt sind. Bestimme alle Möglichkeiten, {v1, v2} mit den Vektoren aus {w1, w2, w3, w4} zu einer Basis vonV zu ergänzen.
Aufgabe T13.3 Sei V =Abb(R,R) und U der Untervektorraum der geraden Funktionen sowieW der Unterraum der ungeraden Funktionen. Man zeige, dass V =U ⊕W.
Aufgabe T13.4Gegeben sei der R-Vektorraum
V :={f:R→R| ∃a, b, c, d∈R:f(x) =ax3+bx2+cx+d}
sowie die Abbildung
φ:V →R3, φ(f) =
f(−1) f(0)
−f(1)
.
Zeige, dass φlinear ist und bestimme Basen von Ker(φ) sowie vonφ(V).
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