Mathematik I f¨ ur Physiker:

LMU M¨unchen PD Dr. Heribert Zenk

Mathematisches Institut M. Feistl, K. Matzke

WiSe 2019/20

Mathematik I f¨ ur Physiker:

Hausaufgabenblatt 11

Aufgabe H11.1 (10 Punkte):

Es sei ∅ ̸=I eine Menge und (X,⟨·,·⟩) einC−Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige, daß

⟨·,·⟩l² :l²(I;X)×l²(I;X) → C ((x_i)_i∈I,(y_i)_i∈I) 7→ ∑

i∈I

⟨x_i, y_i⟩

ein Skalarprodukt auf

l²(I;X) :={x:I →X : (∥xi∥²)i∈I ist absolut summierbar} definiert.

Aufgabe H11.2 (15 Punkte):

Es sei (ak)k∈N0 eine Folge in C und f¨ury ∈C mit|y|< r sei f(y) =

∑∞ k=0

aky^k Grenzwert einer Potenzreihe mit Konvergenzradiusr >0.

(a) Seis < r. Zeige: Dann gibt es f¨ur jedesε >0 einK ∈N, sodass f¨ur alley mit|y| ≤sgilt:

∑^∞

k=0

a_ky^k−

∑K k=0

a_ky^k ≤ε.

(b) Sei (xn)_n∈N0 eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit sup_n∈N|xn|< r. Zeige:

f(

nlim→∞xn

)= lim

n→∞f(xn).

Aufgabe H11.3 (5 Punkte):

Rist sowohl ein Vektorraum ¨uber dem K¨orperR, wie auch ¨uber dem K¨orper Q. Zeige, daß die Vektoren 1∈Rund √

2∈R

• linear abh¨angig sind, wenn manRals R-Vektorraum auffaßt

• linear unabh¨angig sind, wenn manR alsQ-Vektorraum auffaßt.

Aufgabe H11.4 (10 Punkte):

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Es sei {b1, . . . , bn} eine Basis von V. Welche x ∈ V haben die Eigenschaft, dass {b₁, . . . b_n, x} \ {b_i} f¨ur alle i∈ {1, . . . , n} eine Basis von V ist?

Abgabe je Zweier-/Dreiergruppe eine L¨osung bis Donnerstag 23.01.2020, 10.15 Uhr vor der Vorlesung oder im Abgabekasten zwischen B138 und Bibiliothek

1