§ 1 Die bedingt konvergente Eisenstein-Reihe

Vortrag zum Seminar zur Höheren Funktionentheorie, 09.04.2008 Nils Noschinski

Dieser Vortrag beschäftigt sich mit der Dedekindschen Eta-Funktion und deren Transformationsverhalten unter Modulsubsitutionen.

§ 1 Die bedingt konvergente Eisenstein-Reihe

Die bedingt konvergente Eisenstein-Reihe wird im Weiteren benötigt, um Aussagen über das Transformationsverhalten der Dedekindschen Eta-Funktion zu beweisen.

(1.1) Definition

Nach dem Vorbild von G. Eisensteindefiniert man die bedingt konvergente Eisen- stein-Reihe

G2(τ):=

∑

n6=0

n⁻²+

∑

m6=0

∑

n∈_Z

(mτ+n)⁻² für alleτ ∈_H.

Die bedingte Konvergenz ist nicht offensichtlich, wird aber im Beweis der nächsten Proposition bewiesen.

Um den Beweis der nächsten Proposition etwas übersichtlicher zu gestalten, werden zunächst die beiden folgenden Hilfssätze gezeigt.

(1.2) Hilfssatz Für alleτ ∈ _H gilt

n

∑

∈Z

(τ+n)⁻² = (−2πi)²

∑

∞ r=1

re^2πiτr.

Beweis

Aus Krieg, Analysis IV, 2007, XX (1.2) wissen wir, dass

πcot(πτ) = ¹ τ +

∑

∞ n=1

2τ

τ²−n² für alle τ ∈ _C\_Z (1)

gilt, wobei die Reihe aufC\_Zlokal gleichmäßig konvergiert. DaC\_Zoffen ist und f : τ 7→ ^2τ

τ²−n² aufC\_Zholomorph ist, folgt also mit dem Satz von Weierstraßdie gliedweise Differenzierbarkeit der Reihe.

Differenziert man beide Seiten so erhält man damit

∂

∂τ(πcot(πτ)) = ^∂

∂τ

πcos(πτ) sin(πτ)

=π−πsin²(πτ)−πcos²(πτ) sin²(πτ) =−

π sin(πτ)

2

für die linke Seite und

∂

∂τ 1 τ +

∑

∞ n=1

2τ τ²−n²

!

= ^∂

∂τ 1 τ +

∑

∞ n=1

1

τ−n + ¹ τ+n

!

=− ¹ τ² +

∑

∞ n=1

−1

(τ−n)² + −1 (τ+n)²

!

=− ¹ τ² +

∑

∞ n=1

−1 (τ−n)² +

∑

∞ n=1

−1 (τ+n)²

=− ¹ τ² +

−∞ n=−

∑

1

1 (τ+n)² +

∑

∞ n=1

1 (τ+n)²

!

=−

∑

n∈_Z

(τ+n)⁻²

für die rechte Seite, wobei man die Reihe in Zeile 2 auseinanderziehen darf, da die Reihen auf der rechten Seite offenbar konvergieren. Insgesamt bekommt man also

n

∑

∈_Z

(τ+n)⁻² =

π sin(πτ)

. (2)

Schreibt man nun den Sinus mit Hilfe der Exponentialfunktion um, ergibt sich π

sin(πτ)

= ₁ ^π

2i(e^πiτ−e^−πiτ)

!2

=

2πi e^πiτ−e^−πiτ

2

=

2πie^πiτ e^2πiτ−1

²

= (−2πi)²e^2πiτ

1 1−e^2πiτ

2

.

Es gilt |e^2πiτ| = e^−2πImτ < 1, da τ ∈ H. Daher gilt mit der geometrischen Reihe

1

1−e^2πiτ =_∑^∞_r=0e^2πiτr. Da die geometrische Reihe absolut konvergiert, kann man nun das Cauchy-Produkt anwenden und erhält

∑

∞ r=0

e^2πiτr

!2

=

∑

∞ r=0

∑

r j=0

e^2πiτje^{2πiτ(r−j)}

=

∑

∞ r=0

∑

r j=₀

e^2πiτr =

∑

∞ r=0

(r+1)e^2πiτr,

und somit π

sin(πτ) 2

= (−2πi)²·

∑

∞ r=₀

(r+1)e^2πiτ(r+1) = (−2πi)²·

∑

∞ r=1

re^2πiτr.

Mit(2)folgt dann die Behauptung.

(1.3) Hilfssatz Für alleτ ∈ _H gilt:

m

∑

≥1

∑

r≥1

re^2πiτrm konvergiert absolut.

Beweis

Seit:=Imτ. Dann gilt t>0 und es existieren Konstantenc,d >0 mit de^−2πtmr <1 für allem,r∈ N. Damit folgt dann

m

∑

≥1

∑

r≥1

re^2πiτrm =

∑

m≥1

∑

r≥1

re^−2πtrm

≤

∑

m≥1

∑

r≥1

cd^re^−2πtrm

=c·

∑

m≥1

∑

r≥1

de^−2πtmr

=c·

∑

m≥1

de^−2πtm 1−de^−2πtm

≤ ^cd

1−de^−2πt ·

∑

m≥1

e^−2πtm <_∞,

dam7→ de monoton fallend ist. Da das tauf jedem KompaktumK inH ein Mi- nimum annimmt größer 0, liefert einem das Weierstrasssche Majorantenkriterium

auch noch lokal gleichmäßige Konvergenz.

(1.4) Proposition

Die Funktion G2 : H→_C ist holomorph und fürτ ∈ _H gilt G2(τ) = ^π

2

3 · 1−24·

∑

∞ n=₁

σ₁(n)·e^2πinτ

!

mit

σs(n) :=

∑

d∈_N,d|n

d^s, s ∈_R

Beweis

Fürτ ∈ _H hat man G2(τ) :=

∑

n6=0

n⁻²+

∑

m6=0

∑

n∈_Z

(mτ+n)⁻²

=

∑

∞ n=1

n⁻²+

∑

n<₀

n⁻²+

∑

m6=0

∑

n∈Z

(mτ+n)⁻²

= 2·

∑

∞ n=1

n⁻²+

∑

m6=0

∑

n∈_Z

(mτ+n)⁻²

= 2·_ζ(2) +

∑

∞ m=1

∑

n∈_Z

(mτ+n)⁻²+

∑

m<₀

∑

n∈_Z

(mτ+n)⁻²

= 2·_ζ(2) +

∑

∞ m=1

∑

n∈_Z

(mτ+n)⁻²+

∑

m<₀

∑

n∈_Z

(mτ−n)⁻²

= 2·_ζ(2) +

∑

∞ m=1

∑

n∈Z

(mτ+n)⁻²+

∑

∞ m=1

∑

n∈Z

(−mτ−n)⁻²

= 2·ζ(2) +2·

∑

∞ m=1

∑

n∈Z

(mτ+n)⁻² (3)

1.2= 2·ζ(2) +2·

∑

∞ m=1

(−2πi)²

∑

∞ r=1

re^2πiτrm

!

= 2·ζ(2)−8π²·

∑

∞ m=1

∑

∞ r=1

re^2πiτrm.

Da die letzte Reihe nach 1.3 absolut konvergiert, folgt hier die bedingte Konvergenz vonG2. Außerdem darf man jetzt die Summanden umordnen. Fasst man alle Terme mitmr =nzusammen erhält man

2·ζ(2)−8π²·

∑

∞ m=1

∑

∞ r=1

re^2πiτrm

=2·ζ(2)−8π²·

∑

∞ n=1

∑

d|n

de^2πiτn

=₂^π

2

6 −_8π²·

∑

∞ n=1

σ1(n)e^2πiτn

= ^π

2

3

1−24π²·

∑

∞ n=1

σ1(n)e^2πiτn

| {z }

(∗)

,

wenn man ζ(2) = ^π₆² beachtet. Wegen σ₁(n) ≤ ⁿ⁽ⁿ₂⁺¹⁾ ≤ n² für alle n ∈ _N und

|e^2πiτ| < _{1 für alle τ} ∈ _{H ist ∑}^∞_n=1n²|e^2πiτ|ⁿ eine konvergente Majorante der Reihe (∗). Daτ 7→ e^2πiτn eine ganze Funktion ist, liefert das Weierstrasssche Majroanten- kriterium die lokal gleichmäßige Konvergenz von (∗). Jetzt folgt mit dem Satz von

Weierstrassdie Holomorphie.

Als nächstes wird das Transformationsverhalten vonG2 unter Modulsubstitutionen untersucht. Es handelt sich zwar um keine Modulform, aber man hat den

(1.5) Satz

Für alleτ ∈ _H gilt a) G₂(τ+1) = G₂(τ),

b) G2(−1/τ) = τ²·G2(τ)−2πiτ.

Beweis

a) Die Behauptung folgt direkt aus der Darstellung in 1.4 mit Hilfe der 2π-Periodizität vone^iz.

b) Wie im Beweis zu 1.4 gezeigt, lässt sich G2 umschreiben zu (3), also G₂(τ) =2·_ζ(2) +2·

∑

∞ m=1

∑

n∈_Z

(mτ+n)⁻²,

wobei die Reihe absolut konvergiert. Da weiterhin ∑^∞m=1(mτ)⁻² = ¹

τ² ·ζ(2) gilt, bekommt man

G2(τ) =2·_ζ(2) +2·

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

(mτ+n)⁻²+

−∞ n

∑

=−1

(mτ+n)⁻²+ (mτ)⁻²

!

= ^π

2

3 +2·

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

(mτ+n)⁻²+

−_∞ n=−

∑

1

(mτ+n)⁻²

! +2·

∑

∞ m=1

(mτ)⁻²

= ^π

2

3 +2·

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

(mτ+n)⁻²+

∑

∞ n=1

(mτ−n)⁻²

! + ²

τ² ·ζ(2)

= ^π

2

3

1+ ¹ τ²

+2·

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

(mτ+n)⁻²+ (mτ−n)⁻², und

G2

−¹ τ

= ^π

2

3





1+ ¹ −¹

τ

2







+₂·

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

m

−¹ τ

+n

−2

+

m

−¹ τ

−n −2!

= ^π

2

3

1+τ²

+2·

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

−¹ τ

−2

(m−nτ)⁻²+ (m+nτ)⁻²

= ^π

2

3

1+τ²

+2τ²·

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

(nτ−m)⁻²+ (nτ+m)⁻². Jetzt setzt man Amn := (mτ+n)⁻²+ (mτ−n)⁻²und definiert

F(τ) := ¹

2τ² ·τ²G2(τ)−G2(−1/τ) (4)

= ¹

2τ² · ^π

2

3 ·τ²+1

+2τ²·

∑

m≥1

∑

n≥1

Amn

!

− ¹

2τ² · ^π

2

3 ·1+τ²

+2τ²·

∑

m≥1

∑

n≥1

Anm

!

=

∑

m≥1

∑

n≥1

Amn−

∑

m≥1

∑

n≥1

Anm

=

∑

m≥1

∑

n≥1

Amn−

∑

n≥1

∑

m≥1

Amn.

Mit dieser Definition gilt nun

G₂(−_1/τ) = τ²·G₂(τ)−2πiτ ⇔_τ·F(τ) = πi für alle τ ∈_{H, (5)} denn

G2(−1/τ) =τ²·G2(τ)−2πiτ ⇔τ²·G2(τ)−G2(−1/τ) = 2πiτ

⇔ ¹

2τ ·_τ²·G₂(_τ)−G₂(−1/τ)=πi

⇔F(τ) =πi.

Diese Charakterisierung der Behauptung wird nun im Folgenden gezeigt. Dazu definiert man sich Bmn fürm ≥1 und n ≥1 durch

Bmn := ¹

mτ+n−1− ¹

mτ+n + ¹

mτ−n− ¹ mτ−n+1

= ¹

(mτ+n) (mτ+n−1) + ¹

(mτ−n) (mτ−n+1)^.

Nach [A. Krieg] XXIX (2.1) erhält man folgende Aussage: Zu jedem Kompaktum KinH gibt es positive Konstantenγ, βmit

|Amn−Bmn|=

1

(mτ+n)² + ¹ (mτ−n)²

− ¹

(mτ+n) (mτ+n−1) − ¹

(mτ−n) (mτ−n+1)

=

mτ+n−1−mτ−n

(mτ+n)²(mτ+n−1) + ^mτ−n+1−mτ+n (mτ−n)²(mτ−n+1)

=

1

(mτ−n)²(mτ−n+1) − ¹

(mτ+n)²(mτ+n−1)

=

(mτ+n)²(mτ+n−1)−(mτ−n)²(mτ−n+1) (mτ−n)²(mτ−n+1) (mτ+n)²(mτ+n−1)

=

(mτ+n)³−(mτ+n)−(mτ−n)³−(mτ−n) (mτ−n)²(mτ−n+₁) (mτ+n)²(mτ+n−₁)

≤ |mτ+n|³+|mτ+n|+|mτ−n|³+|mτ−n|

|mτ−n|²· |mτ−n+1| · |mτ+n|²· |mτ+n−1|

≤ ^γ |mi+n|³+|mi+n|+|mi−n|³+|mi−n| β|mi−n|²· |mi−n+1| · |mi+n|²· |mi+n−1|

= ^γ

β · ^{2 m}

2+n²³₂

+2 m²+n²¹₂ (m²+n²)²m²+ (n−1)²

m,n≥1

≤ ^4γ

β · ^m

2+n²³₂

(m²+n²)²m²+ (n−₁)²

(∗)

≤ ^4γ

β · ^m

2+n²³₂

1

10·(m²+n²)³

≤ ^40γ

β ·m²+n²−³₂ (∗∗)

≤ ^40γ

β ·(mn)⁻³² , wobei (∗) aus

m²+ (n−1)² ≥ ¹

10 ·m²+n²

⇔9m²+9n²−20n+10 ≥0

⇔9m²+

3n−¹⁰ 3

2

−¹⁰ 9 ≥₀ wegen m≥_{1, und}(∗∗) _aus

m²+n²≥_mn ⇔_m²+n²−_mn ≥₀ ⇔ ¹

2 ·_m²+n²+ (m−_n)²≥₀ folgt. Daher existiert insbesondere zu jedem τ ∈ _H ein positives γτ mit

|Amn−Bmn| ≤ γτm^−3/2n^−3/2. Damit gilt dann

m

∑

≥1

∑

n≥1

|Amn−Bmn| ≤_γτ

∑

m≥1

∑

n≥1

m^−3/2n^−3/2≤_γτ

∑

m≥1

m^−3/2

∑

n≥1

n^−3/2

!

≤_γτ

∑

n≥1

n^−3/2

!

m

∑

≥1

m^−3/2

!

<_∞.

Somit ist die Reihe absolut konvergent und man bekommt

m

∑

≥1

∑

n≥1

(Amn−Bmn) =

∑

n≥1

∑

m≥1

(Amn−Bmn).

Zusammen mit (4)gilt dann

F(_τ) = F(_τ)−

∑

m≥1

∑

n≥1

(Amn−Bmn) +

∑

n≥1

∑

m≥1

(Amn−Bmn)

=

∑

m≥1

∑

n≥1

Bmn−

∑

n≥1

∑

m≥1

Bmn. (6)

Betrachtet man∑n≥1Bmn genauer, erhält man sofort

n

∑

≥1

Bmn =

∑

∞ n=1

1

mτ+n−1− ¹

mτ+n + ¹

mτ−n− ¹ mτ−n+1

= _lim

k→_∞

∑

k n=1

1

mτ+n−1 − ¹

mτ+n+ ¹

mτ−n − ¹ mτ−n+1

= lim

k→_∞

1

mτ − ¹

mτ − ¹

mτ+k + ¹ mτ−k

=0,

da sich die anderen Terme abwechselnd wegheben. Andererseits hat man auch

τ·

∑

m≥1

Bmn =τ·

∑

m≥1

1

mτ+n−₁ − ¹

mτ+n + ¹

mτ−n − ¹ mτ−n+₁

=

∑

m≥1

1

m+ⁿ⁻_τ¹ − ¹

m+ⁿ_τ + ¹

m−ⁿ_τ − ¹ m− ⁿ⁺_τ¹

!

=

∑

m≥1







−2ⁿ⁻_τ¹ m²−ⁿ⁻_τ¹²

+ ²

n τ

m²− ⁿ

τ

2







=

∑

m≥1







2ⁿ⁻_τ¹ n−1

τ

2

−m²

− ²

n τ n τ

2

−m²







=ϕ(n−1)−ϕ(n) mit

ϕ(ξ) = (

πcot(πξ/τ)−_ξ/τ¹ fürξ ∈ _N,

0 fürξ =0

wegen der Partialbruchzerlegung des Cotangens und ξ/τ ∈/ _Z für ξ ∈ _N (vgl.

(1)). Setzt man diese Ergebnisse jetzt in(6)ein, kommt man auf

τ·F(τ) =τ·

∑

m≥1

∑

n≥1

Bmn−

∑

n≥1

∑

m≥1

Bmn

!

=−τ·

∑

n≥1

∑

m≥1

Bmn

=−

∑

n≥1

τ·

∑

m≥1

Bmn

!

=−

∑

n≥1

(ϕ(n−1)−ϕ(n))

=−_ϕ(0) + lim

n→_∞ϕ(n) = lim

n→_∞

πcotπn τ

− ^τ n

= (∗ ∗ ∗).

Um den Grenzwert zu bestimmen hilft es, den Cotangens mit Hilfe der Exponen- tialfunktion umzuschreiben. Fürz =x+iygilt

cotz= ^cosz sinz =

1

2· e^iz+e^−iz

1

2i·(e^iz−e^−iz) =i

e^ix−y+e^−ix+y e^ix−y−e^−ix+y

=i

e^ix−y

e^ix−y−_e^−ix+y + ^e

−ix+y

e^ix−y−_e^−ix+y

=i

e^−ix+y

e^−ix+y · ^e

ix−y

e^ix−y−e^−ix+y +^e

ix−y

e^ix−y · ^e

−ix+y

e^ix−y−e^−ix+y

=i

1

1−e^−2ix+2y + ¹ e^2ix−2y−1

y→−_∞

−→ i.

Für τ ∈ _{H gilt Im}¹

τ < 0 und somit Im^πn_τ ⁿ−→ −^→∞ ∞. Beachtet man noch, dass

|e^2ix|=1 für alle x ∈_Rgilt, erhält man aus obiger Nebenrechnung mit Hilfe der Grenzwertsätze (∗ ∗ ∗) = πi−0 = πi, also τF(_τ) = πi, was nach(5) genau die

Behauptung ist.

§ 2 Das Transformationsverhalten von η

In diesem Abschnitt wird die Dedekindsche Eta-Funktion eingeführt und erste Aus- sagen über deren Transformationsverhalten unter Modulsubstitutionen werden ge- macht.

(2.1) Definition

Nach R. Dedekinddefiniert manη : H →_Cdurch η(τ) :=e^πiτ/12·

∏

∞ m=1

1−e^2πimτ

. (7)

Die Wohldefiniertheit wird im Beweis der folgenden Bemerkung gezeigt.

(2.2) Bemerkung

Die Dedekindscheη-Funktion ist holomorph und es gilt offenbar

η(τ+1) =e^πi/12·η(τ) für alle τ ∈ _H. (8) Außerdem ist das Produkt absolut lokal gleichmäßig konvergent und man hat

η(τ)6=_{0 für alle τ} ∈ _{H. (9)}

Beweis

Nach [A. Krieg] XXVI (3.8) ist für die absolut lokal gleichmäßige Konvergenz des Produkts zu zeigen, dass die Reihe ∑^∞m=₁ 1−e^2πimτ−1

absolut lokal gleichmäßig konvergiert. Fürτ =x+iygilt y>0 und somit

∑

∞ m=1

|₁−_e^2πimτ−₁| =

∑

∞ m=1

|_e^2πimτ| =

∑

∞ m=1

e^−2πmy=

∑

∞ m=1

e^−2πym

<∞

als geometrische Reihe wegen|e^−2πy| <1.

Da y 7→ e^−2πy holomorph ist, bekommt man mit dem Weierstrassschen Majoran- tenkriterium die absolut gleichmäßige Konvergenz auf jedem Kompaktum K aus H, also die absolut lokal gleichmäßige Konvergenz auf H. Die Holomorphie des Produkts und damit vonη bekommt man jetzt mit [A. Krieg] XXVI (3.10).

Nach [A. Krieg] XXVI (3.2) folgt aus der Konvergenz des Produkts

0 =η(τ) = e^πi/12

∏

∞ m=1

1−e^2πimτ

⇔1−e^2πimτ =0 für einm ∈_N.

Da abery>0 ist, gilt|e^2πimτ| =e^−2πmy<1 und somit(9). Eine weitere Aussage über das Transformationsverhalten liefert uns der folgende (2.3) Satz

Es gilt

η(−_1/τ) = √

τ/i·_η(τ) für alle τ ∈ _H.

Dabei ist der Zweig der Wurzel zu wählen, der für positive Argumente selbst positiv

wird.

Beweis

Fürτ ∈ _Hbetrachte man die Funktion f (τ) :=η⁰(τ)/η(τ), also die logarithmische Ableitung von η. Da H ein Gebiet ist, τ 7→ 1−e^2πmτ ganz ist und das Produkt aus (7) absolut lokal gleichmäßig konvergiert, gilt nach [A. Krieg] XXVI (3.12)

f (_τ) =

πi

12 ·e^πiτ/12 e^πiτ/12 +

∑

m≥1

−2πim·e^2πimτ 1−e^2πimτ

= ^πi

12 · ₁−₂₄·

∑

m≥1

m·e^2πimτ 1−e^2πimτ

!

(10)

= ^πi

12 · 1−24·

∑

m≥1

m·

1

1−e^2πimτ −1 !

|e^2πimτ|<1

= ^πi

12 · 1−24·

∑

m≥1

m·

∑

r≥0

e^2πimτr

−1

!!!

= ^πi

12 · 1−24·

∑

m≥1

m·

∑

r≥1

e^2πimτr

!

vgl. Beweis zu(1.4)

= ^πi

12 · 1−24·

∑

n≥1

σ1(n)e^2πinτ

!

= ^πi

12 · ³

π² ·G2(τ) = ⁱ

4π ·G2(τ),

wenn man Proposition (1.4) anwendet. Setzt man G2(τ) = _i · f (τ) in Satz (1.5b) ein, so übersetzt sich dieser zu

f

−¹ τ

· ¹

τ² − f(τ)− ¹

2τ =0, (11)

denn G2

−¹ τ

=τ²·G2(τ)−2πiτ⇔ ^4π i · f

−¹ τ

=τ²·^4π

i · f (τ)−2πiτ

⇔ ^4π i ·

f

−¹ τ

−τ²· f (τ) +ⁱ

2τ 2

=0

⇔ f

−¹ τ

−τ²· f (τ) +ⁱ

2τ 2 =0

τ6=0

⇔ f

−¹ τ

· ¹

τ² −f (τ)− ¹ 2τ =0.

Nun definiert man g(z) := ^η(i/z)

η(iz)√

z für alle z∈ −i·_{H, also} v∈ _Rundy >0 für z=y+iv, wobei√

zden Zweig der Wurzel bezeichne, der für positive Argumente selbst posi- tiv ist. Dann ist gholomorph auf −i·_H und wegen(9) konvergiert neben

e^πii/z/12∏^∞m=1 1−e^2πimi/z

= η(i/z) auch e^−πiiz/12∏^∞m=1 1

1−e^2πimiz = ¹

η(iz), und es gilt

η(i/z) η(iz) = ^e

−π/12z

e^−πz/12 ·

∏

∞ m=1

1−e^−2πm/z 1−e^−2πmz . Das Produkt konvergiert absolut lokal gleichmäßig auf−i·_{H, da}

∑

∞ m=1

1−e^−2πm/z 1−e^−2πmz −₁

=

∑

∞ m=1

e^−2πmz−e^−2πm/z 1−e^−2πmz

≤

∑

m≥1

|e^−2πmz|+|e^−2πm/z| 1− |e^−2πmz|

≤

( 2·_∑^∞_{m=1 1−}^e−2πmy_e−2πmy ≤2·_∑^∞_m=1∑r^∞₌₁e^−2πmyr, fallsy ≤1, 2·_∑^∞_m=1 ^e−2πm/y

1−e^−2πm/y ≤₂·_∑^∞_m=1∑^∞_r=1e^−2πmr/y, fallsy >_1,

und die Reihen nach dem Beweis von Hilfssatz(1.3)absolut lokal gleichmäßig kon- vergieren.

Damit gilt nach [A. Krieg] XXVI(3.12) für die logarithmische Ableitung

g⁰(y) g(y) =

−₂^√1_y√ y

√y2 +

π 12y2·e⁻

12yπ e⁻

πy 12−

−₁₂^π·e⁻

πy 12e⁻

12yπ

e⁻

πy 12

2

e⁻

12yπ

e⁻

πy 12

+

∑

m≥1

−^2πm

y2 ·e^−2πmy ·(^{1−e−2πmy})^{−2πm·e−2πmy·}

1−e^−2πmy

(^{1−e−2πmy})²

1−e^−2πmy 1−e^−2πmy

= ^π

12y² + ^π 12 − ¹

2y +

∑

m≥1





−^2πm_y2 ·e^−2πmy 1−e^−2πmy

−^2πm·e^−2πmy 1−e^−2πmy





= ^π

12y² + ^π 12 − ¹

2y −^2π y² ·

∑

m≥1

m· ^e

−^2πm_y

1−e^−2πmy

−2π·

∑

m≥1

m· ^e

−2πmy

1−e^−2πmy, da die beiden Reihen nach dem Beweis von Hilfssatz(1.3) konvergieren. Klammert man geschickt aus, erhält man

− ⁱ y² · ^πi

12 · 1−24·

∑

m≥1

m· ^e

−^2πm_y

1−e^−2πmy

!

−i· ^πi

12 · 1−24·

∑

m≥1

m· ^e

−2πmy

1−e^−2πmy

!

− ¹ 2y

=− ⁱ y² · f

i y

−i· f (iy)− ¹

2y =i· ¹ (iy)² · f

i y

− f (iy)− ¹ 2yi

!

=i·0=0,

wenn man zuerst (10) und dann (11) verwendet. Insbesondere gilt also g⁰(y) = 0 für alle y > _{0. Da} g und somit auch g⁰ auf −i·_H holomorph sind folgt g⁰(z) = 0 für allez ∈ −i·H, also existiert eine Konstanteγ mit g(z) = γ für allez ∈ −i·_H.

Wegen der Definition von ggilt demnach

η(i/y) =γ·√

y·η(iy) für alley>0, also mit dem Identitätssatz

η(i/z) = γ·√

z·_η(iz) für allez ∈ −i·_H

⇔η(−1/(iz)) =γ·^p−i²z·η(iz) für alle z∈ −i·_H

⇔η(−1/τ) = γ·√

−iτ·η(τ) für alle τ ∈_H.

Fürτ =i folgtγ=1 und somit die Behauptung.

(2.4) Satz

Es giltη²⁴ =_∆^∗.

Dabei bezeichne ∆^∗ die normierte Diskriminante.

Beweis

Mitη ist auch f :=_η²⁴ _aufH holomorph. Wegen (7) gilt

f (τ) =e^2πiτ·

∏

∞ m=1

1−e^2πimτ24

=e^2πiτ+· · · , (12) so dass f in eine Fourier-Reihe f (τ) = _∑^∞_m=0α_f (m)e^2πimτ mit α_f (0) = 0 und αf (1) =1 entwickelbar ist. Seien weiter

J :=

0 −1 1 0

und T :=

1 1 0 1

.

Dann hat man

(f|₁₂T) (τ) = (0+1)⁻¹²· f

1τ+₁ 0τ+1

= f (τ+1)

=_η²⁴(τ+1) ⁽=⁸⁾ e^πi/12·_η(τ)²⁴

= f (τ), sowie

(f|₁₂J) (_τ) = (_τ+0)⁻¹²· f

0τ−1 1τ+0

=_τ⁻¹²· f

−¹ τ

=τ⁻¹²·_η²⁴

−¹ τ

(2.3)

= τ⁻¹²· rτ

i ·_η(τ) 24

=τ⁻¹²τ¹²(−_i)¹²· _f (τ) = f (τ).

Da die Modulgruppe Γ von J und T erzeugt wird, gilt damit f|₁₂M = f für alle M ∈ Γ. Daher ist f ∈ _S12 eine Spitzenform von Gewicht 12. Da ∆^∗ eine Darstel- lung als Fourier-Reihe der Form∑^∞m=1τ(m)·e^2πimτ mit τ(1) =1 besitzt, und nach [A. Krieg] XXIX(4.5) S12 = _C·_∆^∗ gilt, folgt die Behauptung aus der Eindeutigkeit

der Darstellung als Fourier-Reihe.

Damit ergibt (12) einen neuen Beweis für die Produktentwicklung von ∆. Zusam- mengefasst wird das in dem

(2.5) Korollar Es gilt

∆^∗(τ) =e^2πiτ·

∏

∞ m=1

1−e^2πimτ24

für alleτ ∈ _H.

(2.6) Bemerkung

Vergleicht man die klassische Theta-Reihe mit der Eta-Funktion, so erhält man für

ψ(τ) :=ϑ(τ)/η(τ) , τ ∈_H folgendes Transformationsverhalten:

ϑ(Mτ) =v(M)·_ϑ(τ) für alle M∈ _Γϑ

mit einer 12. Einheitswurzelv(M). Zur Definition vonΓϑ vergleiche man [A. Krieg]

XXVII (3.8).

Nach (9) ist ψ holomorph und wegen der Theta-Transformationsformel und Satz (2.3) giltψ(−1/τ) =_ψ(_τ). Weiterhin gilt mit(8)und ϑ(_τ+2) = _ϑ(_τ) auch

ψ(τ+2) = ^ϑ(τ+₂)

η(τ+2) = ^ϑ(τ)

e^πi/6·_η(τ) =e^−πi/6·_ψ(τ).

Da Γϑ von J und T² erzeugt wird, wobei J,T wie in (2.4) definiert sind, folgt die

Behauptung.

§ 3 Das allgemeine Transformationsverhalten von η

R. Dedekind hat in seinen Erläuterungen zu zwei Fragmenten von Riemann bereits das Transformationsverhalten von logη(τ) unter beliebigen Modulsubstitutionen bestimmt. Man findet eine moderne Darstellung z.B. bei [J. Lehner] 338–344. Eine zentrale Rolle spielt dabei die so genannte Dedkindsche Summe s(h, k), die für teilerfremde ganze Zahlen h, k mitk >0 definiert ist durch

s(h, k) :=

k−1 r

∑

=1

r k −¹

2

· rh

k − rh

k

−¹ 2

.

Man formuliert das allgemeine Transformationsverhalten vonη als den (3.1) Satz (Satz von Dedekind)

Für M= ^{a b}_{c d} ∈ _{Γmit c}>0 gilt

η(Mτ) = v(M)·

rcτ+d

i ·η(τ) mit v(M):=e^πi(^a+d_12c^{+s(−d,c)−1}₄)_.

Einen Beweis findet man zum Beispiel bei [J. Lehner] 338–344 oder [T.M. Apostol] Theorem 3.4.

§ 4 Sonstiges

Fürτ ∈ _{H und}s ∈_{C mit Re}s>0 ist die Reihe G(τ;s) :=

∑

m,n

0(mτ+n)⁻²· |mτ+n|^−s

| {z }

(∗)

absolut lokal gleichmäßig konvergent, denn nach [A. Krieg] XXIX (2.1) existiert eine positive Konstantec mit

|∗|=|mτ+n|^−2−Res ≤c· |mi+n|^−2−Res =c·m²+n²¹₂·(−2−Res)

.

[A. Krieg] XXIX (2.2) und das Weierstrasssche Majorantenkriterium liefern jetzt das Gewünschte. Da (∗) für festes τ ∈ _H holomorph in s ist für alle s ∈ _C mit Res > 0, ist die Reihe G(τ;s) nach dem Satz von Weierstrass holomorph in s. In τ hingegen ist sie nicht holomorph. Einige Eigenschaften von G(τ;s)beinhaltet der folgende

(4.1) Satz

a) Bei festemτ ∈ _H istG(τ;s)als ganze Funktion in die s-Ebene fortsetzbar.

b) Es gilt

G(τ; 0) = ^π

2

3 − ^π

Imτ −8π²·

∑

m≥1

σ₁(m)·e^2πimτ.

c) Für jedes M∈ _Γgilt G(τ; 0)|₂M=G(τ; 0). Für einen Beweis vergleiche man [B. Schoenenberg] 63–68, oder [T. Miyake] § 7.2.

Literatur

[T.M. Apostol] Modular functions and Dirichlet series in number theory.

2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1990.

[J. Lehner] Discontinous groups and automorphic functions.

Math. Surv. Monogr.VIII, Amer. Math. Soc., Providence 1964.

[A. Krieg] Skript zur höheren Funktionentheorie I.

[B. Schoenenberg] Elliptic modular functions.

Grundl. math. Wiss. 203, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1974.

[T. Miyake] Modular forms.

Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1989.