Zu Abschnitt 1

In den Potenzreihenentwicklungen (VI-68) und (VI-70) verschwinden dann bis auf den 1. Summandalle Summanden und wir erhalten die aus der Schulphysik bekannten Fall- gesetze:

v ¼ g t und s ¼ 1

2 g t² ðt 0Þ ðVI-73Þ

Sie gelten wegen t < pvE

2g ! 1 fu¨r vE ! 1 fu¨ralleZeiten, d. h. fu¨r t 0.

bungsaufgaben

Zu Abschnitt 1

1) Berechnen Sie den Summenwertder folgenden geometrischen Reihen:

aÞ X¹

n¼1

1 8 n1

bÞ X¹

n¼1

0,3ⁿ¹ cÞ X¹

n¼1

4 2

3 n1

2) Welchem allgemeinen Bildungsgesetz unterliegen die folgenden Reihen? Unter- suchen Sie diese Reihen mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz bzw.

Divergenz:

aÞ 1 þ 10 1! þ 100

2! þ 1000

3! þ . . . bÞ 1

12¹ þ 1

32³ þ 1

52⁵ þ 1

72⁷ þ . . . cÞ 1

2 þ 3 2² þ 5

2³ þ 7

2⁴ þ . . . dÞ ln 2

1! þ ðln 2Þ²

2! þ ðln 2Þ³

3! þ . . .

3) Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe X¹

n¼1

1

ðn þ 1Þ ðn þ 2Þ. Welchen Summen- werthat die Reihe?

Hinweis:Das allgemeine Glied zuna¨chst durch Partialbruchzerlegung in Teilbru¨che zerlegen, dann die Partialsumme sn bestimmen.

4) Bestimmen Sie dasKonvergenzverhaltender Reihe X¹

n¼1

ln 1 n þ 1

.

Hinweis: Zuna¨chst das allgemeine Reihenglied umformen (Rechenregeln fu¨r Loga- rithmen anwenden), dann die Partialsumme sn bestimmen.

5) Zeigen Sie: Die folgenden Reihen erfu¨llen nicht das (bekannte) notwendige Kon- vergenzkriterium und sind somit divergent.

aÞ X¹

n¼1

n þ 1 n

n

bÞ X¹

n¼1

ln 3 þ 1 2n

6) Untersuchen Sie mit Hilfe desQuotientenkriteriums, ob die folgenden Reihenkon- vergierenoderdivergieren:

aÞ 1 11þ 1

101 þ 1

1001þ 1

10 001 þ . . . bÞ X¹

n¼1

n 5ⁿ

cÞ 1 þ 1 2² þ 1

2⁴ þ 1

2⁶ þ . . . dÞ X¹

n¼1

n 1 2 n1

eÞ 2¹ 1 2²

2 þ 2³ 3 2⁴

4 þ . . . fÞ X¹

n¼1

3²ⁿ ð2nÞ!

7) Untersuchen Sie mit Hilfe des Wurzelkriteriums, ob die folgenden Reihenkonver- gierenoderdivergieren:

aÞ 1 2¹ þ 2

3² þ 3

4³ þ . . . þ n

ðn þ 1Þⁿ þ . . . bÞ X¹

n¼1

5ⁿ

4ⁿ n² cÞ X¹

n¼1

n þ 1 n

n²

8) Zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten konvergenten Vergleichsreihe (Majorante) dieKonvergenzder folgenden Reihen:

aÞ X¹

n¼1

0,5ⁿ cosð2nÞ bÞ X¹

n¼0

2 ðn þ 3Þ²

9) Zeigen Sie mit Hilfe des Minorantenkriteriums, dass die folgenden Reihen diver- gieren:

aÞ X¹

n¼1

n^a ðmit a 1Þ bÞ X¹

n¼1

1 lnðn þ 1Þ

10) Welche der folgenden alternierenden Reihen konvergieren, welche divergieren?

Verwenden Sie bei der Untersuchung das Konvergenzkriterium vonLeibniz.

aÞ 1 1 1! þ 1

2! 1

3! þ . . . bÞ 1 1

3 þ 1 5 1

7 þ . . .

cÞ X¹

n¼1

ð1Þ^nþ1 1

n² dÞ X¹

n¼1

ð1Þ^nþ1 1 n 5²ⁿ¹

Zu Abschnitt 2

1) Bestimmen Sie den Konvergenzradius und Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihen:

aÞ PðxÞ ¼ x þ 2x² þ 3x³ þ 4x⁴ þ . . . bÞ PðxÞ ¼ X¹

n¼1

ð1Þⁿ xⁿ n

cÞ PðxÞ ¼ x¹ 1² þ x²

2² þ x³

3² þ . . . dÞ PðxÞ ¼ X¹

n¼0

xⁿ 2ⁿ eÞ PðxÞ ¼ X¹

n¼0

n

n þ 1 x^nþ1 fÞ PðxÞ ¼ X¹

n¼0

n þ 1 n! xⁿ

2) Berechnen Sie den KonvergenzradiusundKonvergenzbereichder Potenzreihe

PðxÞ ¼ 1 x² þ x⁴ x⁶ þ . . .

Anleitung: Setzen Sie zuna¨chst z ¼ x² und untersuchen Sie anschließend das Konvergenzverhalten der neuen (z-abha¨ngigen) Reihe.

Zu Abschnitt 3

1) Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in eineMac Laurinsche Reihe:

aÞ fðxÞ ¼ sinhx bÞ fðxÞ ¼ arctanx cÞ fðxÞ ¼ lnð1 þ x²Þ 2) Bestimmen Sie dieMac Laurinsche Reiheder Funktion fðxÞ ¼ coshx:

a) aufdirektemWege nach Formel (VI-44),

b) aus denPotenzreihenentwicklungen von e^x und e^x unter Beru¨cksichtigung der Definitionsformel coshx ¼ 1

2 ðe^x þ e^xÞ. 3) Entwickeln Sie die Wurzelfunktion fðxÞ ¼ 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x³

p unter Verwendung der Bi- nomischen Reihe in ein Mac Laurinsches Polynom (Abbruch nach dem 3. Glied).

Berechnen Sie anschließend mit dieser Na¨herungsfunktion den Funktionswert an der Stelle x ¼ 0,2 und scha¨tzen Sie den Fehler ab.

4) Bestimmen Sie die Mac Laurinschen Reihender folgenden Funktionen, indem Sie die Potenzreihen der beiden Faktoren gliedweise multiplizieren. In welchem Be- reich konvergieren die Reihen?

aÞ fðxÞ ¼ e^2x cosx bÞ fðxÞ ¼ sin²x cÞ fðxÞ ¼ sinhx 1 þ x² 5) Entwickeln Sie die folgenden Funktionen um die Stelle x₀ in eineTaylor-Reihe:

aÞ fðxÞ ¼ cosx, x₀ ¼ p

3 bÞ fðxÞ ¼ ffiffiffiffi px

, x₀ ¼ 1 cÞ fðxÞ ¼ 1

x² 2

x, x0 ¼ 1

6) Die Funktion fðxÞ ¼ x e^x soll in der Umgebung des Nullpunktes durch ein- fache Polynomfunktionen bis maximal 3. Grades angena¨hert werden. Bestimmen Sie diese Na¨herungsfunktionen mit Hilfe der Mac Laurinschen Reihenentwicklung und skizzieren Sie ihren Verlauf.

7) Berechnen Sie den Funktionswert von fðxÞ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x

p an der Stelle x ¼ 0,05 auf sechs Dezimalstellen nach dem Komma genau.

8) Berechnen Sie cos 8 mit Hilfe der Mac Laurinschen Reihenentwicklung von cosx auf vier Dezimalstellen genau.

Hinweis:Winkel erst insBogenmaßumrechnen!

9) Ersetzen Sie die Sinusfunktion in der Umgebung ihres 1. Maximums im positiven x-Bereich durch eine Parabel.

Anleitung: Taylor-Reihe von fðxÞ ¼ sinx um die betreffende Stelle bestimmen und nach dem quadratischen Glied abbrechen.

10) Lo¨sen Sie die Gleichung coshx ¼ 4 x² na¨herungsweise durch Potenzreihen- entwicklung von coshx und Abbruch dieser Reihe nach der 4. Potenz.

11) Lo¨sen Sie das (unbestimmte) Integral FðxÞ ¼ ð^x

0

1

1 þ t² dt, indem Sie den Inte- granden zuna¨chst in eine Mac Laurinsche Reihe entwickeln (Binomische Reihe verwenden!) und diese anschließend gliedweise integrieren. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der durch Integration gewonnenen Potenzreihe, die eine Ihnen bekannte elementare Funktion darstellt. Um welche Funktion handelt es sich?

12) Die folgenden bestimmten Integrale sind elementar, d. h. in geschlossener Form nicht lo¨sbar. Sie lassen sich jedoch durchPotenzreihenentwicklungdes Integranden und anschließender gliedweiser Integration berechnen. Bestimmen Sie den Wert dieser Integrale aufvierDezimalstellen nach dem Komma genau.

aÞ

0ð,5 0

cosð ffiffiffiffi px

Þdx bÞ

0ð,2 0

e^x

x þ 1 dx cÞ

ð¹

0

sinx x dx

13) Zeigen Sie, wie man aus der als bekannt vorausgesetzten Potenzreihe von lnð1 xÞ durchDifferentiation die Mac Laurinsche Reihe von 1

1 x gewinnen kann.

Anleitung:Gehen Sie von der folgenden Entwicklung aus:

lnð1 xÞ ¼ x x² 2 x³

3 x⁴

4 . . . ð1 x < 1Þ

14) Zwischen Luftdruck p und Ho¨he h (gemessen gegenu¨ber dem Meeresniveau) besteht unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang (sog.barometrische Ho¨henformel):

pðhÞ ¼ p₀ e _{7991 m}^h ðh 0 mÞ

Leiten Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung einen linearen Zusammenhang zwischen den Gro¨ßen p und h her. Bis zu welcher Ho¨he h_max liefert diese Na¨herung Werte, die ummaximal 1 % vom tatsa¨chlichen Luftdruck abweichen?

15) Die Schwingungsdauer T eines konischen Pendels (Bild VI-15) ha¨ngt bei gegebe- ner Fadenla¨nge l und festem Ort nur noch vom Winkel j zwischen Faden und Vertikale ab:

T ¼ TðjÞ ¼ 2p

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l

g cosj s

(g: Erdbeschleunigung).

Zeigen Sie:

Fu¨rkleineWinkel j ist die Schwingungsdauer T nahezu winkelunabha¨ngig.

l f

Bild VI-15 Konisches Pendel

16) Die Schwingungsdauer T einer ungeda¨mpften elektromagnetischen Schwingung la¨sst sich nach der Beziehung T ¼ 2p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

pL C

aus der Induktivita¨t L und der Kapazita¨t C berechnen (Bild VI-16).

a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer fu¨r die Werte L0 ¼ 0,1 H und C₀ ¼ 10mF.

b) Bei einer Kapazita¨tsa¨nderung um DC a¨ndert sich die Schwingungsdauer um DT (die Induktivita¨t bleibe konstant). Leiten Sie mit Hilfe der Potenzreihen- entwicklung einenlinearenZusammenhang zwischen diesen Gro¨ßen her.

c) Berechnen Sie mit dieser linearen Na¨herungsformel die nderung DT der Schwingungsdauer fu¨r den Fall einer Kapazita¨tszunahme um DC ¼ 0,6mF und vergleichen Sie diesen Wert mit demexaktenWert.

17) In der Relativita¨tstheorie wird gezeigt, dass die Elektronenmasse m mit der Elekt- ronengeschwindigkeit v nach der Formel

m ¼ mðvÞ ¼ m₀ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1 ðv=cÞ² q

zunimmt (m0: Ruhemasse des Elektrons; c: Lichtgeschwindigkeit). Zeigen Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung, dass zwischen den Gro¨ßen m und v in 1. Na¨herungder folgende Zusammenhang besteht:

m m0 1 þ v² 2c²

18) Die folgenden Grenzwerte fu¨hren zuna¨chst auf einen unbestimmten Ausdruckvom Typ „

0 0

“ bzw.

„ 1 1

“. Berechnen Sie diese Grenzwerte unter Anwendung der Regel vonBernoulliund de L’Hospital:

aÞ lim

x!0

tanx

x bÞ lim

x!0

cosx 1

x cÞ lim

x!0

sinx x

dÞ lim

x!0

x e^x

1 e^x eÞ lim

x!a

xⁿ aⁿ

x a fÞ lim

x! 1

lnx x²

L C

Bild VI-16

Elektromagnetischer Schwingkreis

gÞ lim

x!p

3 tanx

sinð2xÞ hÞ lim

x!0

lnð1 þ xÞ

x iÞ lim

x! 1

lnx e^x

jÞ lim

x! 1

x³ 2

e^2x kÞ lim

x!0

tanhðpffiffiffiffix ffiffiffiffi Þ px

19) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

aÞ lim

x!0ð2xÞ^x bÞ lim

x!0

1 x x

cÞ lim

x!0ðx² lnxÞ dÞ lim

x! 1ðe^x ffiffiffiffi px

Þ eÞ lim

x!pðx pÞ tan x 2

fÞ lim

x!0

1 tanx 1

x

Anleitung: Die Grenzwerte sind von einem Typ, auf den die Regel von Bernoulli und de L’Hospital zuna¨chstnichtanwendbar ist. Mit Hilfe elementarerUmformun- gen gelingt es jedoch, die unbestimmte Form

„ 0 0

“ bzw.

„ 1 1

“ herzustellen, auf die man dann die Grenzwertregel anwenden darf.

20) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe einer geeigneten Potenzreihen- entwicklung:

aÞ lim

x!0

1 cosx

x² bÞ lim

x!0

2ðx sinxÞ e^x 1 þ sinx cÞ lim

x!0

coshx 1

x dÞ lim

x!0

sin²x x

21) Bestimmen Sie den Grenzwert lim

x! 1ðx e^xÞ

vom Typ „1 1“ durch Ausklammern der Exponentialfunktion und Verwen- dung der Grenzwertregel vonBernoulli-de L’Hospital.