J. M¨uller WiSe 2019/2020 11.12.2019
6. ¨Ubung zur H¨oheren Funktionentheorie
A21: Berechnen Sie die Umkehrfunktionψ:C\(−∞,−1/4]→Dder Koebe-Abbildungϕ.
Hinweis: Setzt man√
ζ:=elog(ζ)/2 f¨urζ∈C\(−∞,0], so gilt (√
ζ)2=ζ.
A22: Zeigen Sie: Istf ganz und injektiv, so istf affin-linear und nicht konstant, also von der Form f(z) =a+cz mit a∈Cundc∈C∗.
Hinweis: Verwenden Sie, dassg(C\D) f¨ur ganze Funktioneng, die kein Polynom sind, dicht inCist (dies folgt aus B. 1.17).
A23: a) Es seien Ω ⊂ C offen, (S, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum und F eine normale Familie inC(Ω, S). Zeigen Sie: Sind (fn)n∈N eine Folge in F und f ∈C(Ω, S), so gilt fn → f f¨ur n → ∞ in C(Ω, S) genau dann, wenn alle konvergenten Teilfolgen von (fn)n∈N inC(Ω, S) gegenf konvergieren.
b) (Satz von Vitali) Es seienG⊂Cein Gebiet,F ⊂M(Ω) sph¨arisch normal und (fn)n∈N eine Folge inF. Beweisen Sie: HatA⊂Geinen H¨aufungspunkt inGund ist (fn(z))n∈N f¨ur alle z ∈ A sph¨arisch konvergent, so existiert ein f ∈ M(G) mit fn → f sph¨arisch lokal gleichm¨aßig aufG.
A24: Zeigen Sie:
a) F¨ur allet >0 gilt (1 +t/s)s→exp(t) f¨urs→+∞.
b) Istfn(z) := (1 +z/n)n, so giltfn →exp f¨urn→ ∞ lokal gleichm¨aßig aufC.
