Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 4, Abgabe bis 19. Mai 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Zeilen- und Spaltentransformationen durch Matrixmultiplikation)
Wir betrachten auf 3×3-Matrizen folgende Zeilentransformationen:
(a) Multiplikation der ersten Zeile mit−1;
(b) Vertauschung der ersten mit der dritten Zeile.
Finden Sie 3×3-MatrizenA1, . . . , A4, sodass f¨ur jede 3×3-MatrixC
• A1C ausC durch Anwendung von (a) entsteht;
• A2C ausC durch Anwendung von (b) entsteht;
• A3C ausC Anwendung von (a), gefolgt von (b), entsteht;
• A4C ausC Anwendung von (b), gefolgt von (a), entsteht.
Finden Sie nun Matrizen B1, . . . , B4, sodass CBi aus C jeweils durch Anwendung der entsprechenden Spalten- statt Zeilentransformationen entsteht. Pr¨ufen Sie dabei, wie sichA3 undA4 beziehungsweiseB3und B4 als Produkt vonA1und A2 beziehungsweise von B1 und B2 schreiben lassen.
Aufgabe 2. (Verkn¨upfung linearer Abbildungen)
(a) Seienα, β∈R. Zeigen Sie, dass in der Ebene eine Spiegelung entlang der Geraden Eα(vgl. Aufgabe 1 von Blatt 3) und anschließende Spiegelung entlang der Geraden Eβ zusammen eine Drehung um einen gewissen Winkel φ ergeben, indem Sie die Matrizen zu diesen drei Abbildungen betrachten.
(b) Bestimmen Sie alle linearen AbbildungenF:R2 → R2, die mit der Spiegelung an derx-Achse kommutieren, also F ◦S0=S0◦F erf¨ullen.
(Hinweis: Betrachten Sie dazu die Darstellungsmatrizen vonF undS0).
Aufgabe 3. (Nilpotente Matrizen)
Einen×n-MatrixA heißt nilpotent, fallsAk= 0 f¨ur ein k∈N.
(a) Zeigen Sie, dass die MatrixB =
0 2 1 0 0 5 0 0 0
nilpotent ist.
(b) Pr¨ufen Sie, f¨ur welche t∈Rdie Matrix Ct= 0 1
t 0
nilpotent ist.
Aufgabe 4. (Permutationsmatrizen)
Sei n ∈ N und Sn die Gruppe aller Permutationen, also Bijektionen, von {1, . . . , n}.
Abzugeben sind alle Aufgaben 1–4.
Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Bezeichne ei ∈Rn den i-ten Einheitsvektor, alsoei = (δ1i, . . . , δni)> mit
δji=
(1, i=j,
0, i6=j f¨ur allei, j ∈ {1, . . . , n}.
(a) Sei π ∈ Sn. Finden Sie eine n×n-Matrix E(π) = (e(π)ij )i,j mit E(π)ej = eπ(j) f¨ur alle j ∈ {1, . . . , n}. (Hinweis: Verwenden Sie das Kronecker-Symbol δij und betrachten Sie ggf. die MatrixA2 aus Aufgabe 1 als Beispiel.)
(b) Zeigen Sie, dassE(π)E(π0) =E(π◦π0) f¨ur alle π, π0 ∈Sn.
(Hinweis: Dazu brauchen Sie nicht die Eintr¨agee(π)ij zu kennen!)
(c) Sei A eine n×n-Matrix, die in jeder Spalte und in jeder Zeile jeweils genau eine Eins und (n−1) Nullen hat. Zeigen Sie, dass A=E(π) f¨ur ein π∈Sn.
Abzugeben sind alle Aufgaben 1–4.
