Zillertal/21.06.2012–24.06.2012 MaximilianWank Die p -Laplace-Gleichung:ExistenzeinerschwachenL¨osung

Die p-Laplace-Gleichung:

Existenz einer schwachen L¨ osung

Maximilian Wank

LMU M¨unchen

Zillertal / 21.06.2012 – 24.06.2012

Von der klassischen zur schwachen Formulierung

Ausgangspunkt: Existiert u ∈ X = ˚ W

(Ω) mit

− div(|∇u|

∇u) + su = f in Ω und u = 0 auf ∂Ω

f¨ ur 1 < p < ∞, Ω ⊂ R

beschr¨ ankt mit ∂Ω ∈ C

und s ≥ 0?

Ubergang zur ¨ schwachen Formulierung: Existiert u ∈ X mit Z

Ω

|∇u |

∇u · ∇ϕ + suϕ dx = Z

Ω

f ϕ dx ∀ϕ ∈ X

f¨ ur f ∈ (L

(Ω))

∼ = L

(Ω) f¨ ur p

=

?

Operatorgleichung

Definiere Operator A via hAu, ϕi :=

Z

Ω

|∇u|

∇u · ∇ϕ + suϕ dx ∀u, ϕ ∈ X

und Funktional b via hb, ϕi := R

Ω

f ϕ dx f¨ ur alle ϕ ∈ X . Lemma

F¨ ur p ≥

gilt

1. A : X → X

und A ist beschr¨ ankt.

2. b ∈ X

und die schwache Formulierung ist ¨ aquivalent zu Au = b.

Beweis von 1.

Setze X := ˚ W

(Ω) und kuk

= k∇u k

. Es gilt

|hAu, ϕi| ≤ k∇uk

k∇ϕk

+ s kuk

kϕk

. Einbettungen:

• W ˚

(Ω) , → L

(Ω) f¨ ur 1 ≤ p < d und p ≥

• W ˚

(Ω) , → W

(Ω) , → L

(Ω) f¨ ur p ≥ d

⇒ ∀ϕ ∈ X und p ≥ 2d

d + 2 : kϕk

≤ c k∇ϕk

Also

|hAu, ϕi| ≤ c (k∇uk

+ sk∇uk

)k∇ϕk

Beweis von 1. und 2.

kAuk

= sup

ϕ∈X kϕk≤1

|hAu, ϕi| ≤ c (k∇uk

+ s k∇uk

)

Damit Au ∈ X

und A beschr¨ ankt!

Zu 2.:

kbk

= sup

ϕ∈X kϕk≤1

|hb, ϕi| ≤ sup

ϕ∈X kϕk≤1

kf k

(Ω)

kϕk

≤ c kf k

(Ω)

Damit b ∈ X

und

(∀ϕ ∈ X : hAu, ϕi = hb, ϕi) ⇔ Au = b.

Bemerkung zum letzten Lemma: F¨ ur s = 0 ist p ≥

nicht notwendig.

Untersuchung von A ergibt:

Lemma

A ist strikt monoton, koerziv und stetig.

Strikte Monotonie von A:

Setze g = (g

, . . . , g

) : R

→ R

via ζ 7→ |ζ |

ζ . Damit f¨ ur u 6= v ∈ X :

hAu − Av , u − v i = Z

Ω d

X

i=1

(g

(∇u) − g

(∇v))(∂

u − ∂

v) dx + sku − vk

≥ Z

Ω d

X

i=1

Z

d

d τ g

(∇v + τ (∇u − ∇v)) d τ (∂

u − ∂

v )

| {z }

≥c|∇u−∇v|²R1

0|∇v+τ(∇u−∇v)|^p−2dτ >0

dx

> 0

Koerzivit¨ at von A:

F¨ ur u ∈ X gilt hAu, ui =

Z

Ω

|∇u|

+ s|u|

dx = k∇u k

+ s kuk

≥ k∇uk

.

Damit ist insgesamt hAu, ui

ku k

≥ k∇u k

→ ∞ f¨ ur kuk

→ ∞,

falls p > 1.

Stetigkeit von A: (1/2)

Sei x

Folge mit u

−→ u in X (⇒ ∇u

→ ∇u in L

(Ω)).

Definiere den Nemyckii–Operator F via

F : (L

(Ω))

→ (L

(Ω))

u 7→ g(u) = |u|

u F ist stetig ⇒ F(∇u

) → F(∇u) in (L

(Ω))

.

W ˚

(Ω) , → L

(Ω) f¨ ur p ≥

sichert kϕk

≤ c kϕk

.

Stetigkeit von A: (2/2)

Daher

hAu

− Au, ϕi = Z

Ω

(F(∇u

) − F(∇u)) · ∇ϕ dx + s Z

Ω

(u

− u)ϕ dx

≤ c kF(∇u

) − F(∇u)k

k∇ϕk

+ s ku

− uk

kϕk

≤ c (kF(∇u

) − F(∇u)k

+ ku

− uk

)kϕk

, also gesamt

kAu

− Auk

= sup

ϕ∈X kϕk≤1

|hAu

− Au, ϕi|

≤ c(kF(∇u

) − F(∇u)k

| {z }

→0

+ ku

− uk

| {z }

→0

) → 0

R¨ uckblick:

Theorem (Browder, Minty)

Sei X ein seperabler, reflexiver, reeller Banachraum mit Basis (ω

)

. Weiters sei A : X → X

ein strikt monotoner, koerziver, stetiger Operator.

Dann existiert f¨ ur alle b ∈ X

eine eindeutige L¨ osung u ∈ X von Au = b.

• X = ˚ W

(Ω) ist seperabler, reflexiver, reeller Banachraum.

• Nach den Lemmata ist A : X → X

strikt monotoner, koerziver,

stetiger Operator.

Existenz der schwachen L¨ osung

Theorem

Sei 1 < p < ∞, Ω ⊂ R

beschr¨ ankt mit lipschitzstetigem Rand und f ∈ L

(Ω), s ≥ 0 und p ≥

.

Dann gibt es genau ein u ∈ W ˚

(Ω) mit Z

Ω

|∇u |

∇u · ∇ϕ + suϕ dx = Z

Ω

f ϕ dx ∀ϕ ∈ W ˚

(Ω).