von Systemen

Uber regulär-singuläre Lösungen von Systemen linearer Differentialgleichungen

Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität zu Köln

UBR069012970805

vorgelegt von

Ekkehard W a g e n f ü h r e r aus Apolda

Köln 1971

r n <*) / ~

1. B e r i c h t e r s t a t t e r : P r o f . Dr. Schäfke 2. B e r i c h t e r s t a t t e r : P r o f . Dr. Nießen Tag der mündlichen Prüfung: 17.12.1971

S e i t e

E i n l e i t u n g 1 1. Formale Lösungen

1.1. R e d u k t i o n der R e k u r s i o n s f o r m e l n 6

1.2. Zur T h e o r i e der \ - M a t r i z e n 10

1 , 3 « K o n s t r u k t i o n der formalen Lösungen 16

1⁰4. Rangabschätzungen für formale Lösungen 25

2. Konvergente Lösungen

2.1. R e d u k t i o n der Konvergenzbedingung 36

2.2. Lösung des r e d u z i e r t e n Problems kk

3. B e i s p i e l e und Anwendungen

3.1. S a t z von Lettenmeyer 53

3.2. E i n Z a h l e n b e i s p i e l 54

3*3. Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g n - t e r Ordnung 58

Schlußwort 65

L i t e r a t u r 67

E i n l e i t u n g

Thema der v o r l i e g e n d e n A r b e i t i s t d i e komplexe M a t r i x - Di f f e r e n t i a l g l e i c h u n g

(1 ) x9 + 1Y ' ( x ) - B ( x ) Y ( x ) = 0 ,

mit s p o s i t i v , g a n z z a h l i g , B holomorphe Abbildung der K r e i s - s c h e i b e

< £^R = ^{l ?}x e - ^ ( o ^ l x l ^ R J

i n Mn( (t ) , den Raum der komplexen (n,n)-Matrizen^ und B(0) ^fk 0 .

A

Wir suchen i n , der Riemannschen Fläche von a r g x über

£ N i0 l , a n a l y t i s c h e Lösungen Y von ( l ) der Form

, OD _ _

(2) Y ( x j = H ( x ) xJ = Hvx ( I = E i n h e i t s m a t r i x ) mit konstantem J £ M (et-) und

nv '

oo _ (3; H(x) = 51 xvHy konvergent für x e &R .

Die S p a l t e n der M a t r i x Y(x) s i n d dann Lösungen des Systems (4)

x

V ( x ;

"bestimmt v e r h a l t e n " , s o l c h e Lösungen heißen auch "regulär - singulär"• Unter (4) läßt s i c h d i e komplexe D i f f e r e n t i a l - g l e i c h u n g n - t e r Ordnung

(5) x *+Vn )l * > " S xiq . ( x ) ^i) ( x ; = 0 ( p ^5 <£ > holomorph) e i n g l i e d e r n .

Wegen s > 0 können w i r k e i n e Fundamentallösung der Form (2) erwarten, s t a t t dessen suchen w i r Lösungen mit größtmöglichem Rang, d.h. möglichst v i e l e l i n e a r unab- hängige regulär — s i n g u l a r e Lösungen von (4).

Das Problem im F a l l der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g n - t e r Ordnung (5) wurde 1911 von 0. Perron f 3 j gelöst. Voran- gegangen waren A r b e i t e n von Thome £13 » der k e i n e Konvergenz-

aussagen über d i e gefundenen formalen Reihen macht, und von H. • . K o c h C 2 ] , d e r das Problem m i t H i l f e u n e n d l i c h e r Determinanten löst, wobei a l s Konvergenzbedingung für d i e Determinanten zusätzlich q „= 0 v o r a u s g e s e t z t werden

n— 1

muß, Perron v e r z i c h t e t a u f l e t z t g e n a n n t e Einschränkung und umgeht u n e n d l i c h e Determinanten, indem e r d i e für d i e P o t e n z r e i h e n k o e f f i z i e n t e n e i n e r Lösung a u f t r e t e n d e n Rekur- s i o n e n samt Konvergenzbedingung i n e i n e n d l i c h e s G l e i c h u n g s - system umformt; s e i n r e c h t umständliches Vorgehen w i r d von E. H i l b [4j d u r c h F o r m u l i e r u n g e i n e s Gleichungssystems

2

im 1 entscheidend v e r e i n f a c h t ; ansonsten b r i n g t H i l b k e i n e neuen Ergebnisse«

Der b i s h e r e i n z i g e B e i t r a g i n d e r L i t e r a t u r , wann für e i n System {k) e i n z e l n e regulär-singuläre Lösungen v o r - l i e g e n , i s t d e r S a t z von F. Lettenmeyer f 5 j » d e r auch i n der neueren A r b e i t von H a r r i s , Sibuya und Weinberg C*>3 bewiesen i s t . D i e s e r Satz enthält eine h i n r e i c h e n d e B e d i n - gung für d i e E x i s t e n z e i n z e l n e r i n £ R holomorpher Lösungen von (4), was dem S p e z i a l f a l l J * 0 i n (2) e n t s p r i c h t *

I n unserem P r o b l e m b e r e i c h l i e g t auch d i e Frage nach e i n f a c h e n Bedingungen, wann eine Fundamentallösung von (1) der Form (2) v o r l i e g t . Anders a l s b e i d e r D i f f e r e n t i a l - g l e i c h u n g n - t e r Ordnung i a t im a l l g e m e i n e n F a l l d i e B e d i n - gung s a 0 dazu n i c h t notwendig. E r s t i n n e u e r e r Z e i t wurden von D.A. L u t z [7] und [8] K r i t e r i e n gefunden, d i e nur von den e r s t e n K o e f f i z i e n t e n d e r P o t e n z r e i h e n e n t w i c k - l u n g von B(x) abhängen. Die von L u t z verwendeten Methoden s i n d andere a l s i n v o r l i e g e n d e r A r b e i t , da b e i ihm von v o r n h e r e i n nur Fundamentallösungen (2) a n g e s e t z t werden.

Die a l l g e m e i n e Frage auch nach n i c h t - i n v e r t i e r b a r e n Lösungsmatrizen Y(x) d e r Form (2^ w i r d i n der b i s h e r i g e n L i t e r a t u r n i c h t b e a r b e i t e t . Im e r s t e n K a p i t e l der D i s s e r t a t i o n suchen w i r formale Lösungen von

oo v 1+J

( 1 ) , n i c h t notwendig konvergente Reihen Hyx ,

deren K o e f f i z i e n t e n d i e für eine Lösung (2) geltenden Rekursionen erfüllen; d e r maximale Rang e i n e r formalen Lösung wird den Rang j e d e r Lösung (2) nach oben abschätzen*

M i t d e r P o t e n z r e i h e n e n t w i c k l u n g von B ,

16; x B ,

l a u t e n d i e Rekursionen (7)

Z_ B H = 0 v =o /<-y v

z: B v=o f*

H - H ( J + ( M - S ) I )

(M= 0, . . . ,s-1 ) s,s+1 , . . . ) Da e i n s o l c h e s System von M a t r i z e n g l e i c h u n g e n i n d e r

L i t e r a t u r b i s h e r n i c h t behandelt w i r d , werden w i r Lösbar- k e i t s k r i t e r i e n und Lösungsverfahren dazu neu entwickeln*

E i n e e r s t e Reduktion des Problems führt a u f l i n e a r e

Gleichungssysteme m i t K o e f f i z i e n t e n m a t r i z e n , d i e von einem komplexen A. abhängen, i n B l o c k s c h r e i b w e i s e :

(8) A,(X) =

3s-1 ^o

B8- ( A+ f- s ) l .. . Bc

( 9 e A T⁰) ,

• -"s v • jr -**/*-• • ~o/

Da d e r i n A. l i n e a r e T e i l d i e s e r M a t r i z e n n i c h t i n v e r t i e r - bar i s t , können w i r d i e k l a s s i s c h e E i g e n w e r t t h e o r i e h i e r n i c h t anwenden; s t a t t dessen s t e l l e n w i r a l l g e m e i n e r e Sätze über Polynommatrizen zusammen, wozu d i e Smithsche Normalform a l s w e s e n t l i c h e s H i l f s m i t t e l d i e n t *

Kernpunkt u n s e r e r Überlegungen im A b s c h n i t t 1*3 i s t e i n D e f e k t v e r g l e i c h d e r M a t r i z e n A^ - über dem Körper <L(A.) ; a l s Ergebnis von H i l f s s a t z 1.23 n o t i e r e n w i r »

(9) Ab e i n e r Nummer q mit q £ ns-1 haben a l l e M a t r i z e n A^ ( ^ ^ q) den g l e i c h e n Defekt d.

Aus d e r M a t r i x A ^+ 1 J( A ) gewinnen w i r eine A r t " c h a r a k t e r i - s t i s c h e s Polynom", aus dem w i r m i t H i l f e e n d l i c h v i e l e r d e r

folgenden mögliche Werte für J und den maximalen Rang e i n e r formalen Lösung genau bestimmen können, gekoppelt mit einem a l g e b r a i s c h e n V e r f a h r e n , d i e formalen Lösungen zu berechnen« A b s c h n i t t 1.4 b r i n g t t h e o r e t i s c h e Abschät- zungen für den maximalen Rang rm ax e i n e r formalen Lösung«

durch d i e eine im a l l g e m e i n e n k o m p l i z i e r t e Rechnung im Sinne des vorangehenden A b s c h n i t t s vermieden w i r d . Für d i e Frage nach der E x i s t e n z von regulär-singulären Funda- mentallösungen besonders w i c h t i g i s t d i e aus Satz 1.38 fließende F o l g e r u n g

(10) r m n d = n-s 0

v ' max

Im 2. K a p i t e l überführen w i r d i e Rekursionen (7) i n e i n u n e n d l i c h e s Gleichungssystem, das nur Lösungen mit kon- v e r g e n t e r P o t e n z r e i h e b e s i t z t , und schließlich auf e i n e n d l i c h e s homogenes System, bestehend aus den R e k u r s i o n e n (7) b i s zu e i n e r e n d l i c h e n Nummer neben w e i t e r e n s l i n e a r e n M a t r i z e n g l e i c h u n g e n , deren K o e f f i z i e n t e n man durch Grenz- prozesse e r m i t t e l n müßte (Satz 2.16). An d i e s e r S t e l l e gehen w i r k u r z auf den F a l l s=0 e i n , für den w i r e i n e n neuen Beweis für d i e Konvergenz j e d e r formalen Lösung (2) gewonnen haben, gültig i n j e d e r komplexen Banach-Algebra.

Im A b s c h n i t t 2.2 suchen w i r , wieder für den F a l l s > 0 ^t h i n r e i c h e n d e K r i t e r i e n für d i e Lösbarkeit des i n Satz 2.16 a u f g e s t e l l t e n G l e i c h u n g s - systems, ohne d i e l e t z t e n s Gleichungen zu kennen. Wir gewinnen g l e i c h z e i t i g Aussagen über den mindestens e r r e i c h - baren Rang e i n e r regulär-singulären Lösung.

Die Grundgedanken des i n diesem K a p i t e l angewandten Verfahrens f i n d e n s i c h schon i n den A r b e i t e n von P e r r o n f 3 ] » H i l b [4] , Lettenmeyer [5] und H a r r i s , Sibuya und Weinberg [6] , b e n u t z t für d i e j e w e i l i g e n Spezialfälle. Zur Anwend- b a r k e i t auf das a l l g e m e i n e Problem b e d u r f t e das V e r f a h r e n f o l g e n d e r Erweiterungen, d i e b i s h e r n i c h t v o r l a g e n : 1. Verallgemeinerung auf u n e n d l i c h e l i n e a r e G l e i c h u n g s -

systeme i n e i n e r Banach-Algebra s t a t t i n C «

2. Konsequente F o r m u l i e r u n g des äquivalenten e n d l i c h e n GleichungsSystems und

3. Lösung des Systems mit den im 1*. K a p i t e l gewonnenen a l g e b r a i s c h e n Methoden •

D i e Güte der h i e r gewonnenen Rangabschätzung für eine regulär-singuläre Lösung e r w e i s t s i c h i n der Folgerung:

F a l l s d = n»s , i s t jede formale Lösung konvergent, woraus s i c h mit (10) zusammen e r g i b t :

( 1 1) (1) b e s i t z t e i n regulär-singuläres Fundamentalsystem genau dann, wenn d = n-s »

Vor dem von L u t z \S] gefundenen K r i t e r i u m z e i c h n e t s i c h (11) v o r a l l e m dadurch aus, daß w i r k l i c h höchstens d i e n-s e r s t e n By benutzt werden, während Lutz d i e Anzahl der R e c h e n s c h r i t t e , d i e man zur Anwendung s e i n e s Satzes be- nötigt, n i c h t a l l g e m e i n nach oben abschätzt. Auch f e h l t b e i L u t z e i n V e r f a h r e n , eine Fundamentallösung (2) zu berechnen.

Das 3^ K a p i t e l der v o r l i e g e n d e n A r b e i t i s t B e i s p i e l e n und Anwendungen gewidmet, beginnend mit dem S a t z von Lettenmeyer. Der enge Anwendungsbereich d i e s e s S a t z e s w i r d im anschließenden R e c h e n b e i s p i e l v e r l a s s e n , das d i e h i e r neu e n t w i c k e l t e n V e r f a h r e n zur Gewinnung f o r m a l e r bzw. konvergenter Lösungen (2) erläutert. Das ab- schließende B e i s p i e l , wieder a l l g e m e i n e r e r Natur, behan- d e l t d i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g n - t e r Ordnung. Durch d i e e i n f a c h e S t r u k t u r der M a t r i z e n By i n diesem S p e z i a l f a l l s i n d d i e Größen d und r sehr l e i c h t zu bestimmen. Die

max

Tatsache, daß h i e r s t e t s r n , l i e f e r t e i n e n neuen ' max •

Beweis für den S a t z , daß d i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g n - t e r Ordnung (5J mit s> 0 k e i n e regulär-singuläre Fundamental- lösung haben kann.

Schließlich s i n d w i r i n der Lage, d i e Sätze von P e r r o n aus unseren a l l g e m e i n e n Überlegungen h e r z u l e i t e n , wobei i n der Frage nach l o g a r i t h m e n b e h a f t e t e n Lösungen e i n b e i Perron a u f g e t r e t e n e r F e h l e r zu v e r b e s s e r n i s t .

1, Formale Lösungen Es s e i

oo

(1.1) B(x) = xvBy m i t 0 ^ r g BQ< n

d i e für x e <£ R konvergente P o t e n z r e i h e n d a r s t e l l u n g von B.

Das E i n s e t z e n e i n e r Lösung (2) i n d i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (1) l i e f e r t nach M u l t i p l i k a t i o n d e r P o t e n z r e i h e n und K o e f f i - z i e n t e n v e r g l e i c h für d i e Hy d i e Rekursionen

(1.2} I V ' H ' 3 ° ^ 0'1' - "B-1>

£i B H - H ( J + (M - S)I) = ü (M = s , s+1,... ) Venn e i n e Folge von M a t r i z e n (H v) 7 -0 d e n Gleicnun&en O »2) mit einem gewissen J e Mß( (L ) genügt, nennen w i r d i e formale Reihe

(1.3) T ( X ; = £ LQ HVXVI+J

oo

"formale Lösung" von (1). F a l l s dabei i ' H ^ für |x| <R k o n v e r g i e r t , i s t d i e durch (1.3) d a r g e s t e l l t e a n a l y t i s c h e F u n k t i o n natürlich Lösung von (1) .

Zur Lösbarkeit von (1.2) mit maximalem Rang von Y(x) muß d i e M a t r i x J vorweg bestimmt werden. Offenbar i s t d i e N i c h t - I n v e r t i e r b a r k e i t von BQ notwendig für d i e n i c h t t r i v i a l e Lösbarkeit von (1.2); a n d e r e r s e i t s g e s t a t t e t es d i e s e Vor- aussetzung n i c h t , d i e yu.-te G l e i c h u n g e i n d e u t i g nach aufzulösen. Da über M a t r i z e n g l e i c h u n g e n der Form (1.2) keine L i t e r a t u r v o r l i e g t , w i r d (1.2) im folgenden a u f Gleichungssysteme für d i e S p a l t e n d e r zurückgeführt.

1.1. Reduktion d e r R e k u r s i o n s f o r m e i n

Für jedes i n v e r t i e r b a r e T £ Mn( < D ) i s t mit Y(x) auch Y(x)T =» ZI (H T ) xJ + V l , J = T "1J T ,

N ' v=o v ' * '

formale Lösung von (1). Daher genügt es, (1.2) mit J i n Jordanscher Normalform zu lösen. S e i a l s o

(1.*) J2

0

o

o

o

(±=1,..fm;r=1,..,ti) Zur Erläuterung d e r ( n - r , n - r ) - N u l l m a t r i x i n d e r r e c h t e n u n t e r e n Ecke von J s e i f o l g e n d e s vermerkt:

Die k^ S p a l t e n d e r Hy i n d e r formalen Lösung ( 1 . 3 ) » ^{d i e}

an d e r S t e l l e von j j stehen , (h"* )*~ = (hf"T)"* (K.= 1 , . . ,k?) , erfüllen d i e - nur von A,^und k^ abhängigen - G l e i c h u n g e n

| a) £ o B ^ h ^y = 0 ( / * « ( > . ..,a-1 5 >c=1,... ,k^) ( l. 5) j b ) B ^vh * - ( A± +/ c - s ) h ^ = 0 ( ^ = s , s+1,... )

R=2, • • •,k^ ) • Venn d i e F o l g e n ( h ^ J *0 a l l e N u l l s i n d , kann man durch

K V y — o 1

e i n e b e l i e b i g e ( k * , k * ) - M a t r i x e r s e t z e n . V i r wählen dazu d i e N u l l m a t r i x und v e r s c h i e b e n s i e i n d i e r e c h t e u n t e r e Ecke von J ; entsprechend rücken d i e N u l l s p a l t e n i n den nach r e c h t s . Das r e c h t f e r t i g t a l s e r s t e Grundannahme für eine formale Lösung (1.3) :

(A) J habe G e s t a l t (1.4) m i t 0 ^ r £ n ; d i e l e t z t e n n - r S p a l t e n a l l e r f a l l s r > 0 , s e i e n

' m paarweise v e r s c h i e d e n

d i e A n z a h l d e r Kästchen (ohne Berück-

t =1 T=1

i i s i c h t i g u n g der ( n - r , n - r ) - N u l l m a t r i x ) , so daß

Die S p a l t e n d e r formalen Lösung Y ( x ) , d i e dem Jordankäst- chen J7 entsprechen, s i n d d i e Reihen

(1.6) 1

= 1 ( K - j ) ! ( l o g x ) * ~J^ « i t

(* 1 ,

durch d i e im F a l l der Konvergenz Lösungen von (k) dar- g e s t e l l t werden. Auch wenn Reihen der Form (1.6) n i c h t k o n v e r g i e r e n , w o l l e n w i r mit ihnen rechnen wie mit kon- vergenten Reihen, d i e Rechenoperationen s i n d b e i Coddington

& L e v i n s o n [ l o ] , S.114-116 eingehend erläutert. - Bei b e l i e b i g e m z ^ IN s i n d d i e F o l g e n

( hKTv-*C=o («- -1 - mit h ^ = 0 für ^ 6-1 - Lösungen von (1.5) zu z • d i e s e n Ubergang von A ^ a u f

\^-z , der im F a l l der Konvergenz d i e i n (1.6) d a r g e s t e l l - ten Funktionen ungeändert läßt, w o l l e n w i r immer dann durchführen, wenn

= A j + z mit z *z M t wobei i , j t ^ » . . . m } . Dadurch w i r d a l s zusätzliche Annahme e r r e i c h t :

(B) | Für i ^ j s e i ^ j ^ * " n i c h t g a n z z a h l i g .

Es bezeichne r g Y d i e Dimension des Raumes, den sämtliche r Reihen i n (1.6) aufspannen, zunächst a l s formale Reihen, b e i Konvergenz a l s a n a l y t i s c h e Abbildungen. Für den l e t z t e r e n F a l l w i r d s i c h z e i g e n , daß mit b e i d e n D e f i n i t i o n e n r g Y den g l e i c h e n Wert h a t . - Die l e t z t e Voraussetzung für Y(x) s e i

(C) Zu jedem A^ ( i = 1,...,m) s e i e n d i e t ^ F o l g e n

l h1V> v » o ' (h1v^v-=o • ••• ' ( h1v K=o l i n e a r unabhängig .

Zur R e c h t f e r t i g u n g z e i g e n w i r Satz 1.7

a) Unter Voraussetzung (A) und (B) i s t (C) notwendig und h i n r e i c h e n d dafür, daß r g Y = r .

b) Für eine formale Lösung Y(x) mit (A) und (B) e x i s t i e r t e i n i n v e r t i e r b a r e s T €. Mß( C ) , so daß für Y ( x ) T

zusätzlich Voraussetzung (C) erfüllt i s t .

Beweis:

Aus (C) w o l l e n w i r zunächst im F a l l d e r Konvergenz d i e l i n e a r e Unabhängigkeit a l l e r r F u n k t i o n e n (1.6) f o l g e r n . E i n e A b b i l d u n g

xXZ L U < > g x )K~Jh . ( x j mit h,: <£D > Cⁿ holomorph, h , ^ 0

j = 1 J J ^{K 1}

i s t b e k a n n t l i c h Hauptvektor K - t e r S t u f e zum Eigenwert e des UmlaufOperators U m i t

[u(y)] (x) = y ( x . e2 R i; für y J ^ R > ( Ln a n a l y t i s c h . Da es genügt, d i e l i n e a r e Unabhängigkeit d e r Hauptvektoren zum g l e i c h e n Eigenwert zu z e i g e n , beschränken w i r uns wegen (B) a u f d i e F u n k t i o n e n ( 1 . 6 ) , d i e zu einem f e s t e n X gehören Deren l i n e a r e Unabhängigkeit e r g i b t s i c h wegen (C) durch Ordnen e i n e r L i n e a r k o m b i n a t i o n nach Potenzen von l o g x und damit Z e r l e g u n g i n Hauptvektoren v e r s c h i e d e n e r S t u f e n . - Die zugehörige Rechnung l e h r t , daß auch a l s formale Reihen a l l e Reihen (1*6) l i n e a r unabhängig s i n d . Wenn umgekehrt (C) für e i n n i c h t erfüllt i s t , s i n d von den u n t e r (1.6) aufgeführten schon d i e t ^ Reihen

^ v l o *^{V l}v <*- i . . . t^±)

l i n e a r abhängig und damit r g Y < r . Diesem F a l l w o l l e n w i r

«um Beweis von b) w e i t e r nachgehen:

I« Wenn e i n (h**)°° d i e N u l l f o l g e i s t , rücken w i r h1 V ' v =o IV ^J i n Hy ans Ende und v e r k l e i n e r n um eine Z e i l e und S p a l t e

damit geht r a u f r-1 über.

I I . Im a l l g e m e i n e r e n F a l l läßt s i c h I . h e r s t e l l e n , indem man eine L i n e a r k o m b i n a t i o n d e r r e s t l i c h e n F o l g e n von e i n e r

Folge ih*Z° )"* mit k7° minimal 1V 'v=o i s u b t r a h i e r t .

Die V e r f a h r e n I . und I I . l a s s e n s i c h so lange anwenden, b i s r = r g Y

e r r e i c h t i s t .

Im folgenden suchen w i r formale Lösungen Y(x) mit Bedingung (A),(B) und (c), so daß r = r g Y maximal w i r d .

Die Rekursionen (1.2) haben w i r b e r e i t s auf (1.5) zurück- geführt; daran anschließend d e f i n i e r e n wir für j>6#^ a l s S p a l t e n v e k t o r e n des <Ln^ + 1 ^

( 1 . 8 ) x K y y ssO

sowie für A c C d i e (j> +1 ) n - z e i l i g e q u a d r a t i s c h e Matrix A ^ ( A ) , i n B l o c k s c h r e i b w e i s e n o t i e r t a l s

(1.9) ^{AJ ( A ) =}

(5 = 0,...,s-1 )

(<j> =8 ,S+1 ,

Die A^(A) s i n d Matrizenpolynome I.Grades i n A ; (1.5) i s t äquivalent den Gleichungen

( 1

-

S A t

^

^

j *

o= 0 , 1 , 2 , . . . ) . Die f o l g e n d e n A b s c h n i t t e s o l l e n s i c h mif der allgemeinen T h e o r i e von Polynommatrizen, sogenannten A - M a t r i z e n , beschäftigen.

1.2. Zur T h e o r i e der A- M a t r i z e n

E i n e A-Matrix A = A(A) hat a l s K o e f f i z i e n t e n komplexe Polynome i n A , A i s t daher M a t r i x über C ( A ) , dem Körper der komplexen r a t i o n a l e n Funktionen, a n d e r e r s e i t s i s t b e i festem Ae C A(A) komplexe M a t r i x . Für d i e folgenden A b s c h n i t t e s e t z e n w i r voraus :

(-A ) A SB A(A) s e i m - z e i l i g e q u a d r a t i s c h e A -Matrix , r g A s= r - a l s M a t r i x über C(A) •

Dabei s i n d d i e Bezeichnungen m und r unabhängig von (A) gemeint.

1.2.1. Die Smithsche Normalform U n t e r Voraussetzung ( A ) g i l t S a t z 1.11

Es e x i s t i e r e n m - z e i l i g e q u a d r a t i s c h e A- M a t r i z e n P und Q mit k o n s t a n t e r , von N u l l v e r s c h i e d e n e r Determinante, so daß

PAQ ss S (Smithsche Normalform von A) , wobei S(A) = d i a g ( ^ ( A ) , i f²( A ) , . . . , f^r( A j , 0 , 0 , . . , 0 ) ,

tf ^ f& 0 n o r m i e r t e Polynome ( i = 1,...,r) mit (p^t T e i l e r von ( i==1 , . . . , r-1 ) . Jedes Polynom

J

Yj(Ä) = .77 (f^±(A)

i s t der größte gemeinsame T e i l e r a l l e r Unterdeterminanten von A mit d e r Z e i l e n z a h l j ( j = 1,...,r); f o l g l i c h i s t S durch A e i n d e u t i g bestimmt.

E i n e n Beweis dazu f i n d e t man z.B. b e i Gantmacher [9] » S.130. P und Q s i n d E i n h e i t e n im R i n g d e r A- M a t r i z e n , i n s - besondere s i n d P(A) und Q(A) für jedes At C i n v e r t i e r b a r . Wir n o t i e r e n

K o r o l l a r 1.12

a) r = max r g A(A) ,

b) r g A ( A6) <C r ^ Vr( ^ o ) * 0 . 1.2.2. Der a u s g e a r t e t e Nullraum von A(A) Neben ( A ) s e i angenommen :

| r = r g A < m , S = PAQ Smithsche Normalform von A

Für f e s t e s £ bezeichne den Nullraum von a( A ) K ( A ) = \(A) := ( C £ lm: A(A)C = 0 }

O f f e n b a r s i n d für jedes A e C d i e kanonischen E i n h e i t s v e k t o r e n

e r + 1 ^e m ^& K^X) . Für d i e m-r Vektorpolynome des C

^ ( A ) = Q ( A j ei ( i = r+1,...,m ) g i l t

V A e C f (A) i . • • »f m(A )E ^A(A) » ün.unabhängig.

B e i festem A t r C d e f i n i e r e n w i r a l s "ausgearteten Nullraum"

zu A(A) :

U. 1 3 ) A(X) = R^a(A) := s p a n ( fR + 1( A ) , . . . , fm( A ) ) .

A

r L^A( A ) i s t s t e t s (m-r j - d i m e n s i o n a l e r Unterraum von fl^ (A) , d i e Unabhängigkeit von Q f o l g e r n w i r aus

H i l f s s a t z 1 » l 4

'S/ 'S/ M

Es s e i e n f r +- j ( A )»•••> fm( A ) Vektorpolynome im C , und V A €= £ f 1 (/V) , . . . , fM( A ; f e ^A( A ) , l i n e a r unabhängig.

Dann g i l t

V A f e C JT^A(A) = s p a n ( f^{r + 1}( A ) f^lX)) Zum Beweis benutzen w i r d i e Vektorpolynome

e.(A) = Q ( A ) "1f "±( A ) ( i = r+1,...,m) mit der E i g e n s c h a f t

S ( A ) ei( A ; = 0 ( i = r+1,...,m) . Wegen der D i a g o n a l g e s t a l t von S g i l t mit gewissen komplexen Polynomen :

e±( A ) = f_ q^{± i}(A) e ( i = r+1,...,m)

1 j=r+1 ^XJ J

und f o l g l i c h

MA) = ZI *±M) fM ) •

1 j=r+1 ^XJ J

Es e r g i b t s i c h u n m i t t e l b a r F o l g e r u n g 1.15

F a l l s B E i n h e i t im R i n g der A- M a t r i z e n , so i s t für a l l e A e C

außerdem

F o l g e r u n g 1.16

V A„ fc C : H ( A⁰) / n U⁰) j. }0| ir* ^{Y r}U⁰) - o .

1.2.3. Die M a t r i z e n >1A±

Wir untersuchen j e t z t Gleichungssysteme der Form ^1.10), a l s o mit A b l e i t u n g e n von A(A) i n der K o e f f i z i e n t e n m a t r i x . Es s e i v o r a u s g e s e t z t

(_/\. )m i t r e m ,

S s PAQ gemäß Satz 1.11

Wir d e f i n i e r e n für k e ^ T d i e k -m - z e i l i g e q u a d r a t i s c h e A- M a t r i x A^(Ä) durch

D e f.(1.17) A^{[ K ]}( A ) =

A( A; o -

A'lÄ) A(A)

\ ¹ A'l A' (A J A (A I Element der vc-ten B l o c k z e i l e , i - t e n B l o c k s p a l t e {1 ± ic ) i s t a l s o

Wir bezeichnen für f e s t e s A « C^m i t , * - i

und r t ^ ( A ) Ä |^{k l}( A ) den Nullraum bzw. a u s g e a r t e t e n Nullraum von A W ( A ) E i n Element

nur, daß C so daß

1*7 fe R6 c ] mk

(,l) - der Index [ k ] i n C Mb e d e u t e t z e r l e g e n w i r i n Vektoren des ( Lm ,

l e t z t e r e s aus s c h r e i b t e c h n i s c h e n Gründen an S t e l l e d e r Ck]

S p a l t e n s c h r e i b w e i s e . Die Komponenten von C erfüllen d i e Gleichungen

jt^ (H-))i A ^ -J^ ( A ; Cj = o (w » i,2 kj . E i n i g e Vorbemerkungen zählen w i r a u f i n

H i l f s s a t z 1,18

«) ( C1, C2, . . . , C] () 6 a^{[ k 3}( A ) ^ ( 0, Cl t. . . , Ck - 1) f e a^lk\ \ j ; ( cl fc2. . . .tck) e T lCkl( A ) ^ i o , c1, . . . , ck) a[ k + 1 ] ( M . ß ) p[ k J( A ) Ar k J( A ) q^{f k J}( A ) = S[ k ]( A ) ,

TkT f k 7

P und Q J s i n d E i n h e i t e n im R i n g der k m - z e i l i g e n A - M a t r i z e n .

r> * ik]u ) • QM( A ) nsrk]( A ) : n.[klU) = Qt k : ,u ) £ |k ]( A ) . J ) Die k ( m - r ) E i n h e i t s v e k t o r e n

Ei i^{3 = (}° ' '-" » ° »ei »0' • ' » ° ) (i«r+1,..,m; K=1,..,k) f

s i n d für jedes A& (T eine B a s i s von ftg (A) ; f o l g l i c h d i m t t1 J( A ) * k-(m-r) = k - d i m R ( A ) .

*) Vr( A0) t 0 V k £ INT <n^{C k 3}( AQ) = ÜC k J( Ao) . 5) F a l l s D^{[ k 3}= ( D^{1 §}D^{2 t}. . .^fD^k) £ R £ ° (O ,

Ql k ]( A ) Dl k ]= l Cl fC2 f. . . , Ck) , so C1 = Q(A)D1 .

Die Beweise zu CK) und f) erübrigen s i c h ; zu p) r e c h n e t man u n t e r Benutzung der P r o d u k t r e g e l für höhere A b l e i t u n g e n nach, daß z.B.

( P . A ) M . ^Pr> 0A[ k ] . Ferner i s t

det P ^k 3( A ) = (det P ( A ) )k t 0 , k o n s t a n t , fkl Tkl

a l s o s i n d Pl und Qb J im Ring der A - M a t r i z e n i n v e r t i e r b a r , was mit ( 1 . 1 5 ) s o f o r t y) l i e f e r t . c5) l e s e n w i r an d e r

G e s t a l t von S^{u k 3}( X ) ab; man s i e h t , daß für " V^r(^{x 0}) / 0

^^{S M}( A^Q) - ^ i^k]( A^o) , wegen ,) a l s o

ftJ[

(A

)

S a t z 1.19

Es s e i Ao • r N u l l s t e l l e von y d e r V i e l f a c h h e i t v> 0 ;

nach S a t z 1.11 s e i t (1 £ t £ r ) dadurch f e s t g e l e g t , daß für X m t+1,...,r A^Q n i c h t N u l l s t e l l e von (f^r , t = 1,....,t A^q k^r- f a c h e N u l l s t e l l e von ¥r r+ i » so daß

0 * kt *^kt- 1 " - k1 ' 4 ^kr - v ' Dann g i l t

1 . ) Für T=1 , . . . , t ; K =1 , . . . , k^x e x i s t i e r e n c£ e. (Lm m i t J ( c - )^{k : i} £ a^r4 A^D) ( r - I t)

C^,C^^V...,C^ lin» unabhängig bezüglich ^M^) •

i ° 2. ) Bezüglich (*) i s t k maximal : f a l l s Aussage 1•)

mit anderen Zahlen t1 c /KT , k^fc(KT ( T ^ = 1,...,t!) erfüllbar i s t , so

£

^ £

. -

•

3. ) Für k ^ k¹ i s t dim ttCk7(A_o)/ tt0*1^) = v .

Zum Beweis e r s e t z e n w i r A durch seine Smithsche Normalform S . B e i d e r entsprechenden T r a n s f o r m a t i o n geht (*) i n e i n e äquivalente Aussage für S über, d i e e r s t e Z e i l e wegen

( 1 . l 8) y ) , d i e zweite Z e i l e a u f Grund von (1.18)5) und (1.15).

Für S w i r d Aussage 1.) erfüllt durch d i e k^x- t u p e l

<^D*)*=1 " (^er- ^ 1 ' ° ' - - - ' ° ) (x=1,...,t) , da nach Voraussetzung

und d i e E i n h e i t s v e k t o r e n e „ ( ta1, , , , , t ) s i n d bezüg-

A r-^+1 ^v ' ' ' ^ö

l i e h ^^s^ o ^^linear unabhängig.

Zum Beweis d e r 3. Aussage b i l d e n w i r zu den ( D j ) ^ ^¹ d i e

folgenden v Vektoren des C ^{m k}

( * » ) - ( 0 , . . . , 0, DT 1, ,MD ^ ) = ( 0 , . . , 0 , er^ ^1, 0 , . . , 0 ) k-ic+1

( ic » 1 , . . . ,k^ ; x*1 , . . . f t) . M i t (1.18) oc) und b) f o l g t , daß sämtliche

D ° ° e *l£k^(A. ) » l i n . u n a b h . b z g l . JÜk-*(A ) s i n d , fk]

Wie man aus d e r Form von S (A_ ) a b l i e s t , g i b t es k e i n e

£ f k l °

w e i t e r e n b z g l . H. ' \K ) l i n e a r unabhängige Vektoren i n fk3 °

fl^ »aaB|i * i ßt Behauptung 3 0 bewiesen.

Schließlich s e i e n t1 e >T , k^. (t- =1 , . . , t ' ) angenommen, so daß Aussage (*) für S mit Systemen

U ) ^ ) ^ ( * - i , . . . . t . )

erfüllt i s t . Für k ^ max k! k o n s t r u i e r e n w i r wie i n (*#)

dann T k» Vektoren aus ( A ) , d i e bezüglich )

/j-— ⁱ w ^{o O o O} l i n e a r unabhängig s i n d . Aussage 3») l i e f e r t uns, daß

t'

1.3* K o n s t r u k t i o n der formalen Lösungen

An d i e D e f i n i t i o n e n (1.8) und (1.9) anschließend, b e t r a c h - t e n w i r (1.10) b e i festem x , es s e i k := k^ • Läßt man den Index x weg und d e f i n i e r t man

cCk] = (C )k

läßt s i c h (1.10) b e i festem x s c h r e i b e n a l s (1.20) A ^ U ^ C ^ = 0 ( y . 0,1,2, . . . ) ,

so daß w i r d i e T h e o r i e d e r l e t z t e n A b s c h n i t t e anwenden kön- nen. Da im folgenden das V e r h a l t e n b e i wachsendem yt. /N7Q i n t e r - e s s i e r t , w o l l e n w i r A^k^ (A.) und cj,^{k 3} anders anordnen.

Es s e i für v , ^ e hj d e f i n i e r t

jrCk] , (k) y , [k] fk]

l e t z t e r e s an S t e l l e der Spaltenschreibweise«

M i t M a t r i z e n (X) , d i e den g l e i c h e n Aufbau wie d i e A^ (A) haben, nur aus k«n-zeiligen s t a t t n - z e i l i g e n B l o c k - m a t r i z e n zusammengesetzt, w i r d (1.20) äquivalent den Gle i chungen

^ V ^ c J * ⁰ = 0 ( 5 = 0 , 1 , 2 , . . . ) ,

wobei A9 (A) durch e i n f a c h e Vertauschung von Z e i l e n und [kl

S p a l t e n aus A^ (A) hervorgeht. Wir s e t z e n daher A] ^ ( A ) und A ^ { K ) sowie c j^{k l und C ^k l}

g l e i c h ; insbesondere s c h r e i b e n w i r

(1.22) C^¹ = ( h ^ . h f *1 h P ° ) = ( h1 y \f)^o ' A l s Abkürzungen n o t i e r e n w i r für , A €. (L* :

tt^(A) = Nullraum von A^(A) ,

H. ^(A) = a u s g e a r t e t e r Nullraum von A^(A) ,

= dim tlf{\) = n(y+1) - r g A^(,\) , d = dim fi (A) = min cL ( A ) „

J r A c c y

Entsprechend s e i für k € N

fl-P^A), H ^ ( A ) Nullraum bzw. a u s g e a r t e t e r N u l l - räum von A^ ,

J^ ( A ) = dim 11™ (A) ,

Uber das V e r h a l t e n der Defekte b e i wachsendem y n o t i e r e n w i r H i l f s s a t z 1.23

Für jedes <p £. Qsf^ g i l t

I. ) V A e C cJ^y(Aj ^{6 j} <T^(A+i) ^{* <^ + 1U ) ,}

3. j ~ ^ ~^dj , j »W O D e i d ^=0 zu s e t z e n i s t , k.) d^ 4 n-s |

Außerdem g i l t für jedes k €_ N , 5 t WQ

6.) = k d .

- Aus den Ungleichungen 2 . ) - 4.) e r g i b t s i c h a l s F o l g e r u n g 1,24

Es e x i s t i e r t e i n d e u t i g q e fcf mit der E i g e n s c h a f t 3 < q d? < dy+1 ,

5 i q ^ d? - dq .

D i e Zahlen q und d l a s s e n s i c h abschätzen durch d ^ n • s ; q £' n • s - 1 •

q

Um zunächst ( 1,24) h e r z u l e i t e n , d e f i n i e r e n w i r

| d = max dv

Def.( 1 .25) \ *

| q = min \ Sel^o Id j * d } • so daß a l s o

d = d ^e q

Vegen ( 1. 2 3 ) » 4 . ) e x i s t i e r t max d , wegen 2.) und 3 « ) i s t d i e e r s t e E i g e n s c h a f t von (1.24) für q erfüllt. Zur Abschät- zung b e a c h t e t man, daß für q > 0

n*8 *dq » < V l ~ ^) ^{+ dQ ^ q + 1 ,}

l e t z t e r e s , da j e d e r Summand d - - d0 äs 1 « d ^ 1 .

5»+1 j o

Zum Beweis von H i l f s s a t z 1.23 bezeichne

U^yl A ) = U hv)v J B O e mit hc = o } ,

H j U ) = [K^ <C-"I 3 h1 t. . , hy mit ( hv) ^=o^ nfU) J . Vermöge der Zuordnung

(0,h ,...,h ) | >>(h ,...,h )

18t ^J

U/ A ) Ä Ä^ I A+ I ) ( r a i t n_1( A . ) M J o j ) , außerdem i s t mit dem Isomorphismus

( h^Q, h¹ , . . . ,h ) + \A^F(A) I * h^c

f o l g l i c h ^{5 J} *

(⁺; dim J ^ ( A J = c 5^YU) - ^ ^ A + 1) • Die U n g l e i c h u n g

f o l g t aus d e r Tatsache, daß ^ ^ ( A ) Unterraum zu ^ + 1( A ) i s t , isomorph zu n^(A+l) . - Zum Beweis, daß

<5,U) * <J^{J + 1}U ) .

beachte man, daß A ^{+ 1}( A) aus A^(A) e n t s t e h t durch Hinzufügen von n N u l l s p a l t e n - , was den Rang n i c h t ändert, - und an- schließend von n Z e i l e n , wodurch s i c h d e r Rang um höchstens n erhöht, a l s o

^+1^) " (S +² ) ⁿ - ^rS V "⁽^ " i?^{+ 1}> n - r g A⁵, ( A) = ^ ( A ) ; Durch Übergang a u f

d^D = min cL (A )

° AeC y

erhält man Aussage 2 . ) ; d^Q> 0 war i n (1.1) v o r a u s g e s e t z t . K o r o l l a r 1.12 b) l i e f e r t , daß für höchstens e n d l i c h v i e l e A e t

dy(A) > d^? g e l t e n kann .

Daher wählen w i r e i n A t <L so, daß g l e i c h z e i t i g

<J,IU1) = <S^fU) = d^? ; J^{y + 1}( A . ) - d^y+, ; d^y_ , . Aus (+) f o l g t dann Aussage 3 « ) » wenn man b e a c h t e t , daß

^.) i n t e r e s s i e r t nur für o * s :

S t r e i c h t man i n A^ (A) d i e e r s t e n n*s Z e i l e n und l e t z t e n n s S p a l t e n , i s t d i e entstandene Determinante ( a l s c h a r a k t e - r i s t i s c h e s Polynom e i n e r komplexen M a t r i x ) s i c h e r n i c h t das Nullpolynom, daher i s t - über dem Körper C(A) -

rS ^ (o+1)*n - n-s , a l s o d^ ^ n«s •

Durch Ubergang a u f d i e A ^^{K 3}( A ) , d i e d i e g l e i c h e S t r u k t u r wie d i e A^ (A) b e s i t z e n , e r g i b t s i c h Aussage 5 » ) i während 6.) schon mit (1,l8),<i) bewiesen i s t .

Im f o l g e n d e n beschäftigen uns d i e A^(A) nur noch für p ^ q.

Für a l l e A^£> /^^^0* k £ W i s t nach den vorhergehenden Sätzen

dlmÜ1^ Ak) = d i m ^t k : i( X ) = k-d .

q+/*+ 1 ^{v 1} q .

Nach A b s c h n i t t 1.2.2. s e i e n

Vektorpolynome, d i e für jedes eine B a s i s von Fl (X) b i l d e n ; dann s i n d d i e Vektorpolynome

(fx+ 1 )-mal

für jedes komplexe \ l i n e a r unabhängig und l i e g e n i n

*k"* « U ) ; nach H i l f s s a t z 1.14 erzeugen s i e H t k^ (A ) . Das h a l t e n w i r f e s t i n

H i l f s s a t z 1.26

S e i fc±NQ , A c C b e l i e b i g . Dann g i l t

tk] q⁺1^{+ /}. £ t k D j h ^W = ... = h ^ = 0 .

v • yv=o q+1 + /*• o

Wir d e f i n i e r e n für Ae(L, yucl^⁰, k e IKT Def,(1.27)

- 3 , , odaß

Außerdem s e i für /^«.N^

(^) = g.g.T. der <(( q+/k+2 )n-d]>-zeiligen Unter- D e f#s_i l. \ q+/<+ 1 ( 1 . 2 8 ) / determinanten von A - ( A ) I

X*A) - X o ^ •

( A ) i n A . ( A ) i s t u n t e r Satz 1.11 e i n z u o r d n e n a l s das

AAt^v ^' q+/< + 1 ^v '

Polynom yR( A ) i n A ( A ) . Wir beschäftigen uns zunächst nur mit ^ ( A ) = Xo(K) .

Es g i l t für b e l i e b i g e s k e ^ , AQe <L , e W ,

H i l f s s a t z 1.29

1. ) W l J^kV0) + 1,0 ] ^ = 0 , 2. ) * u „ ) * o ^ ^ \ K ⁰ ) = i ? ;^{k i}( A⁰) ,

vermöge

( ( h( k ] q ^+1 * M ( h W ^ .

Zum Beweis von 1.) und 2.) nehmen w i r an, es s e i X ^^QJ ^ ⁰ Dann i s t nach ( 1 . 1 8 ) , £ )

daher mit (1.26)

^^k ^ w i » ( X Ä ) ^ h ^ - o . Weiter g i l t

k-d < d i * * JkV0) = d Jk 3( X0) < ^ ( A 0 ) = k-d . l e t z t e r e s wegen (xx) : daraus f o l g t 2 . ) , da auch

dim ÜTK:,( A ) = k*d .

q v o'

Die unter 3 ») angegebene Zuordnung (x) i s t wegen H i l f s s a t z 1.26 i n jedem F a l l l i n e a r e und s u r j e k t i v e A b b i l d u n g . F a l l s

. ik3 . fk]

ho = = V = 0 »

so wegen 2.)

/. Ck*J x AM- q+ 1 ^ 0 0 / , . . £ [kl / . ⁴

<hx ^=^1 fe ' V ^ ' 1 " % S

und dem Beweis von (1.26) entnehmen w i r , daß

M i t Aussage 3 » ) werden Lösungen der G l e i c h u n g f k l d i e bezüglich des a u s g e a r t e t e n Nullraums vonAq+/4 + 1( ' ^0) l i n e a r unabhängig s i n d , durch d i e l i n e a r e Unabhängigkeit der A b s c h n i t t e b i s zur Komponente ^ c h a r a k t e r i s i e r t . Uber

d i e Lösbarkeit von Rekursionen der Form ( l. 5 ) n o t i e r e n w i r H i l f s s a t z 1,30

Es s e i k e b e l i e b i g ; ^{A Q} ^ ^ » P ^c H>^{m i t d e r Ei}^^enscnaft •

V/* e : yu. * p+1 -X(A^Q+/-<_) ^ 0 •

B e h⁰; Jedes (p+1)-tupel

< > l^{k l}> ? . o «

läßt s i c h zu e i n e r e i n d e u t i g bestimmten Lösungsfolge ( h ^{[ k}V

V V 'v=o

der Rekursionen

(1.31) A ^ U ^ C ™ = 0 , C ^ = ( h l^k]) J⁼⁰ ( , - 0 , 1 . 2 , . . ) f o r t s e t z e n ,

Beweis:

Für yu. ä p+1 bezeichne

V i W l ^ i A ) > W l ^ ( A ) d i e l i n e a r e Zuordnung

/•^c o p o

<^hv^{f k 3}C o ' > < * i^{k ,}> ? . . •

H i l f s s a t z 1.29,3*) zusammen mit 1 . 2 3 , 5 « ) l i e f e r t

(x) dim m^^k] (A^o) * dim rnl*] (Aq) .

A n d e r e r s e i t s nehmen w i r an, es s e i

0 t ( h^ ^v v 'v=o /-^{f k}V « <^{k) v} o( X ) mit h W „ . . . _ h⁷ o p ^{l k l}= 0 , dann wäre mi t j = min *i v e ^ p+ 1 , . . ,/* l : h^^k~^ £ 0 }

h j

U

was nach H i l f s s a t z 1,29,1.) unmöglich i s t . Es f o l g t ( ß) ^ i s t i n j e k t i v e , l i n e a r e Abbildung, mit (c<) zusammen a l s o

l f ) ^ p+1 m^/i^{k ]}( A^o) ^ h l p^{k l}( A⁰) vermöge des Isomorphismus y ^ .

B e i vorgegebenem (hf^k^ )^P * U^{t k}^ ( A ) d e f i n i e r e n w i r für

v v ' v =o p ^v o

yu. = Pf P+1 t . . . :

hj£^ » l e t z t e Komponente von ( i h ^ )*„0) » so daß für a l l e yk ^ p+1 , wie man l e i c h t s i e h t ,

Damit i s t ( h ^ )y_Q d ie gesuchte, e i n d e u t i g bestimmte Lösungsfolge von (1.31) •

Zur Lösbarkeit von (1,2) n o t i e r e n w i r zusammenfassend S a t z 1,32

1o) F a l l s y = 1 , h a t (1.2) nur d i e t r i v i a l e Lösung . 2,) S e i Y / 1 , es bezeichne

* ) ^Ai»»»»Ä d i e N u l l s t e l l e n von y mit den E i g e n s c h a f t e n A±- n i c h t g a n z z a h l i g ( i ^ j ) ,

jede N u l l s t e l l e von Y hat d i e Form A^+z mit z € , 1 £ i ^ m .

/3) p± = max J z 6 WQ | 3 ( Ai + z) = 0 } ( i = 1,..,m) ,

»n p = max p.

Schließlich s e i für i = 1,...,m

f) v ^ a V i e l f a c h h e i t von \^ a l s N u l l s t e l l e von y ^ , t± , k^ ( x = 1 . o . , ti) gemäß S a t z 1.19 für d i e N u l l -

s t e l l e von x d e f i n i e r t , so daß y k^ = v .

Behauptung: Die Rekursionen (1.2) mit den Bedingungen ( A ) , (B), (C) von A b s c h n i t t 1.1 l a s s e n s i c h lösen u n t e r Über- nahme der i n *.) und ß) d e f i n i e r t e n Größen Äj , • . . , /\m , t± , k^ i n d i e durch (1,4) d e f i n i e r t e M a t r i x J . Dabei i s t

r = Z ^v.

t = 1 1

der maximale Rang e i n e r formalen Lösung,

- Daß s t e t s v > 0 und v. ^ n , i s t im folgenden

i i = 1 1

A b s c h n i t t noch zu z e i g e n .

Zum Beweis s e i daran e r i n n e r t , daß w i r d i e n i c h t t r i v i a l e Lösbarkeit von (1.2) a u f d i e n i c h t t r i v i a l e Lösbarkeit von Systemen der Form (1.5) zurückgeführt haben. (1.5) i s t den Rekursionen (1.31) äquivalent, wenn man AQ = A^ , k^= k s e t z t . - Nehmen w i r an, es s e i eine Folge

( hlkl) ^o jf 0 mitA= min < v ^0| h 0 ) Lösung von (1.31). Wegen

i s t nach H i l f s s a t z 1.29,1.)

*(<V /«-) = 0 .

'X muß a l s o überhaupt N u l l s t e l l e n b e s i t z e n , womit 1.) g e z e i g t i s t . Wir e r s e t z e n dann

Aq durch Aq+ Z^q mit zQ = min j z e Z | X ^0+ z) = 0 ] und v e r f a h r e n mit den zu Aq gehörenden Lösungsfolgen, wie i n A b s c h n i t t 1.1 v o r (B) g e z e i g t . Daher genügt es, (1.31) bzw. (1.5) nur für d i e u n t e r ) erwähnten A ^ zu lösen.

Für f e s t e s i £ ^ 1 , . . ,m j bezeichne kurz t := tt , kT : = k* ( t - 1,...,t) .

S a t z 1.19 t angewandt auf a l s AQ , A q +i + p (A)a l s A(A) - und damit ( A ) a l s y ( A ) - l i e f e r t Systeme

<•> ^ 7 » . -p- . < v ^ : : 'p* r L j ^ p u ^ t>

- zur Bezeichnung v g l . (1.22) - , mit

( hT )q+1+P (T=1,..,t) l i n . u n a b h . b z g l . ft (A ) ,

1 v v =o Q.+ 1 + P 1

a l s o nach H i l f s s a t z 1.29,3.)

T P

(++) ( h1 s / ) (t = 1 , . . . , t) l i n e a r unabhängig .

1V v =o Die A b s c h n i t t e

l a s s e n »ich wegen H i l f s s a t z 1.30 e i n d e u t i g zu Lösungsfolgen (hW * * * ' , hk v ^vTLo v o n (¹*5.) f o r t s e t z e n (x=1,..,t), wobei Bedingung (C) durch (++) g a r a n t i e r t i s t ; - d i e

Komponenten h ^y für V=p+1,p+2,..,p+q+1 s i n d natürlich e v e n t u e l l andere a l s i n (+) . -

t

v^ = kt i s t maximal bezüglich d e r Lösbarkeit von Systemen ( 1.5) zu u n t e r Bedingung ( C j , da nach H i l f s s a t z 1.30 d i e Zuordnungen

K v »V.V C o • * >!=0 u n d

( > V C = o > > ( h * , ) * _0

b i j e k t i v und l i n e a r s i n d .

1.4. Abschätzungen für den Rang e i n e r formalen Lösung Im f o l g e n d e n w o l l e n w i r d i e Größe v i abschätzen.

Wir nehmen an, daß ^ ^ 1 f und übernehmen d i e Bezeichnungen aus S a t z 1.32. E i n e e r s t e w i c h t i g e G l e i c h u n g fließt aus H i l f s s a t z 1.33

m

Für a l l e /< ^ p i s t J>~~ = Grad X +-j - Grad

Zum Beweis zählen w i r sämtliche N u l l s t e l l e n von y und v . a u f und v e r g l e i c h e n i h r e V i e l f a c h h e i t e n .

1.) D i e Zahlen

!• A±+ v (i=1,..,m; v=0,..,p±) ,

I I . Ai- V (i=1,..,m; MU , , . . , / V und e v t . 1 ; s i n d N u l l s t e l l e n von y ^ • - Zum Nachweis von I I . für

v = 0,...,/c benutzt man ( 1.23j, 1 . j , wonach q+/k+1 i ' vq+yu+1-vv i ' q+1 i ' v

zum Beweis von I . e r s e t z t man nur A durch .