Analysis IV

Analysis IV

Maß- und Integrationstheorie 7. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik SS 2012

Prof. Dr. Burkhard Kümmerer 30. Mai bis 4. Juni 2012

Walter Reußwig Miroslav Vržina

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Bildmaße I)

Seien f:(Ω,Σ)→(Ω⁰,Σ⁰)und g:(Ω⁰,Σ⁰)→(Ω⁰⁰,Σ⁰⁰)messbare Abbildungen undµein Maß auf(Ω,Σ).

Zeigen Sie: g◦ f ist messbar und(g◦f)(µ) =g(f(µ)).

Aufgabe G2 (Bildmaße II) Wir betrachten die Abbildung

s_α:R^d →R^d, (x₁, . . . ,x_d)^>7→(α·x₁,x₂, . . . ,x_d)^>, α∈R\ {0}.

Warum ists_αBorel-messbar? Bestimmen Sies_α(λ^d)([0, 1]^d). Aufgabe G3 (Maßerhaltende Abbildungen I)

Sei d eine positive natürliche Zahl, Ω0 :={1, . . . ,d} und Ω:=Q_∞

k=0Ω0. Mit Σbezeichnen wir die von den Zylindermengen erzeugte σ-Algebra auf Ω. Ferner betrachten wir für n ∈ N auf dem endlichen ProduktraumΩ_n:=Qn

k=0Ω0 dieσ-AlgebraP_n:=P(Ω_n). Siehe auch H3 auf Übungsblatt 4.

(a) Zeigen Sie, dass dereinseitige Shift

S:(Ω,Σ)→(Ω,Σ), (ωn)_n∈N7→(ω_n+1)_n∈N

eine messbare Abbildung ist.

(b) Sei µ0 ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω0,P(Ω0)). Wir definieren für n ∈ N auf Pn ein Wahr- scheinlichkeitsmaßµn durch

µn({(ω0,ω1, . . . ,ωn)}) =µ0({ω0})·. . .·µ0({ωn}).

Zeigen Sie, dass(µn)_n∈N eine konsistente Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist, d.h. jedes µn

ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß und für allen∈Nund alleA∈ P_ngiltµ_n+1(A×Ω0) =µ_n(A).

(c) Nach dem Konsistenzsatz von Kolmogorov induziert die Familie (µn)_n∈N ein Wahrscheinlichkeits- maß aufΩmit

µ(Z_I,J) =µ0({j₁})·. . .·µ0({j_r}).

Zeigen Sie, dassS:(Ω,Σ,µ)→(Ω,Σ,µ)maßerhaltend ist.

Bemerkung. Das 4-Tupel (Ω,Σ,µ,S) wird auch Bernoulli-Shift genannt. Bernoulli-Shifts sind das Para- digma für chaotische dynamische Systeme in der Mathematik, mit denen andere chaotische Systeme verglichen werden.

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Aufgabe G4 (Direktes Bild)

Gegeben seien Mengen Ω und Ω⁰ und sei Σ eine σ-Algebra auf Ω. Für eine Abbildung f: Ω → Ω⁰ betrachten wir

f_∗(Σ):={A⁰⊆Ω⁰: f⁻¹(A⁰)∈Σ}.

Wir nennen f_∗(Σ) direktes Bild von Σ unter f. Nach Abschnitt 3.2 aus der Vorlesung ist f_∗(Σ) eine σ-Algebra.

(a) Sei nunΣ⁰ eine σ-Algebra auf Ω⁰. Zeigen Sie: Die Abbildung f:(Ω,Σ)→(Ω⁰,Σ⁰)ist genau dann messbar, wenn Σ⁰ im direkten Bild enthalten ist. In diesem Sinne ist das direkte Bild die größte σ-Algebra aufΩ⁰, so dass f messbar ist.

(b) Betrachten Sie die Abbildung

f:(R,B(R))→Z, x7→ bxc:=max{n∈Z: n≤x}

und bestimmen Sie das direkte Bild der Borel-σ-Algebra unter f. (c) Betrachten Sie nun

g:(R,B(R))→R, x7→ |x|

und bestimmen Sie g_∗(B(R)).

Aufgabe G5 (Messbarkeit und Vervollständigungen von Maßräumen) Gegeben seien Maßräume Ω,Σ,µ

und Ω⁰,Σ⁰,µ⁰

mit ihren Vervollständigungen €

Ω,Σ, ˜e µŠ und

€Ω⁰,Σe⁰,µe⁰Š

sowie eine messbare Abbildung f : Ω,Σ

→ Ω⁰,Σ⁰

. Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) Gilt für jedeµ⁰-NullmengeN⁰ auchµ(f⁻¹(N⁰)) =0, so ist f: € Ω,ΣeŠ

→€ Ω⁰,Σe⁰Š

messbar.

(b) Istµ⁰= f(µ), so gilt ßf(µ) = f(˜µ).

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Hausübung

Aufgabe H1 (Produkt-σ-Algebra) (1 Punkt)

In dieser Aufgabe soll der Satz aus Abschnitt 3.4 der Vorlesung bewiesen werden. Für i∈ I sei(Ωi,Σi) ein Messraum,Ω:=Q

i∈IΩ_i das kartesische Produkt undN

i∈IΣ_i die Produkt-σ-Algebra aufΩ. Für jedes i∈I sei außerdemEi ein Erzeuger fürΣi. Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) Das System

E_k× Y

i∈I\{k}

Ωi:k∈I undE_k∈ Ek

ist ein Erzeuger vonN

i∈IΣi.

(b) Ist I={1, . . . ,n}endlich (npositive natürliche Zahl) und existiert füri∈I eine Folge(E_{i`</sub>)<sub>`∈N}inEi

mitS

`∈NE<sub>i`</sub>= Ωi, so ist

E:=

E₁× · · · ×E_n:E_i∈ Ei füri∈ {1, . . . ,n} ein Erzeuger fürΣ1⊗ · · · ⊗Σn.

Aufgabe H2 (Transformation des Lebesgue-Maßes unter linearen Abbildungen) (1 Punkt) Sei g eine invertierbare d×d-Matrix und L_g:R^d →R^d, x 7→ g·x die assoziierte lineare Abbildung.

Wir betrachten hier als Maßraum (R^d,L(R^d),λ^d) und durch Identifikation von g mit L_g schreiben wir auch g(λ^d)für L_g(λ^d). In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, dass für das Bildmaß g(λ) folgende Transformationsformel gilt:

g(λ^d) = 1 det(g)

·λ^d.

(a) Zeigen Sie, dass es eine eindeutig bestimmte Konstantec(g)∈R\ {0}gibt mitg(λ) =c(g)·λ.

(b) Zeigen Sie, dass

c:GL_d(R)→R\ {0}, g7→c(g) ein Gruppenhomomorphismus ist.

(c) Nach einem Satz ist jeder Gruppenhomomorphismus von GL_d(R)nachR\ {0}von der Formϕ◦det mit einem Gruppenhomomorphismus ϕ: R\ {0} → R\ {0}. Bestimmen Sie ϕ konkret für den Gruppenhomomorphismuscaus Aufgabenteil (a) und (b) und folgern Sie damit die Behauptung.

Aufgabe H3 (Maßerhaltende Abbildungen II) (1 Punkt)

Seideine positive natürliche Zahl,Ω0:={1, . . . ,d}undµ0 ein Wahrscheinlichkeitsmaß aufP(Ω0). Den Zeilenvektor p:= (µ0({1}), . . . ,µ0({d})) nennen wir auch Wahrscheinlichkeitsvektor. Sei ferner P eine d×d-Matrix mit

p_{i j} ≥0 und 1=

d

X

j=1

p_{i j} für allei,j∈Ω0.

Wir nennenP auchstochastische Zeilenmatrix.

(a) Zeigen Sie: Auf der von den Zylindermengen erzeugtenσ-AlgebraΣaufΩ:=Q_∞

k=0Ω0 gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaßµ, so dass für jedes(r+1)-Tupel(j,j₁, . . . ,j_r)∈Ωr gilt:

µ {ω∈Ω:ω0= j,ω1= j₁. . . ,ωr= j_r}

=p_jp_{j j}

1p_j

1j₂. . .p_jr

−1jr.

(b) Zeigen Sie: Der einseitige ShiftS:(Ω,Σ,µ)→(Ω,Σ,µ)ist genau dann maßerhaltend, wennpP=p gilt.

Bemerkung. Das4-Tupel(Ω,Σ,µ,S)in dieser Aufgabe ist auch alsMarkov-Shiftbekannt.

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Ergodizität – Ein mathematischer Zugang

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum(X,Σ,µ)sei eine maßerhaltende Abbildung T:(X,µ)→(X,µ)ge- geben. Gilt T⁻¹B = B für B ∈ Σ, so ist auch T⁻¹(B^c) = B^c. Also könnte man T durch T|B und T|B^c

studieren. Dies ist aber nur eine Erleichterung, wenn0< µ(B)<1gilt. Ist µ(B) =0 oderµ(B) =1, so haben wirT durch obige Zerlegung nicht wesentlich vereinfacht.

Solch eine Überlegung bringt einen auf die Idee, diese „unzerlegbaren“ Abbildungen zu studieren und zu versuchen jede maßerhaltende Abbildung durch „unzerlegbare“ Abbildungen darzustellen. Diesen

„unzerlegbaren“ maßerhaltenden Abbildungen geben wir einen Namen:

Definition (Ergodizität). Sei (Ω,Σ,µ)ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine maßerhaltende Abbildung T von (Ω,Σ,µ)heißtergodisch, wenn für jedesB∈Σ mitT⁻¹(B) = Bentweder µ(B) =0oder µ(B) =1 gilt.

Aufgabe H4 (Ergodizität des Bernoulli-Shifts) (1 Punkt)

Betrachten Sie den Bernoulli-Shift aus Aufgabe G3. Zeigen Sie, dassSergodisch ist. Gehen Sie dabei wie folgt vor.

(a) Nach einem Approximationssatz gibt es für alle" >0und alleB∈Σeine endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Zylindermengen Z mitµ(B4Z)< ".

Zeigen Sie:|µ(B)−µ(Z)|< ".

(b) Ist Z eine endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Zylindermengen, so gibt es n ∈ N mit µ(Z∩(Sⁿ)⁻¹(Z)) =µ(Z)².

(c) Sei nun B in Σ mit S⁻¹(B) = B. Zeigen Sie µ(B) = µ(B)², indem Sie |µ(B)−µ(B)²|durch eine beliebig kleine Zahl approximieren.

Hinweis:WennZ die MengeBwie in (a) approximiert, wie gut approximiertZ∩(Sⁿ)⁻¹(Z)dannB (mitn∈Nwie in (b))?

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