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IV. Lineare Abbildungen, Kegelschnitte, lineare Gleichungssysteme

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Ubungen zu Geometrie ¨ F. Hofbauer

I. Elementargeometrie

A. Einleitung

Winkelberechnungen

1. Man zeige, dass die Winkelsumme in einem konvexen Viereck gleich 3600 und in einem konvexen n-Eck gleich (n−2)·1800 ist. Wie groß sind die Winkel im regelm¨aßigenn-Eck. Hinweis: konvex bedeutet, dass alle Winkel <1800 sind.

2. Auf jeder Seite eines unregelm¨aßigen konvexen F¨unfecks, dessen Winkel > 900 sind, wird ein Dreieck errichtet, dessen Schenkel die Verl¨angerungen der benachbarten F¨unfeckseiten sind.

(Es entsteht ein f¨unfzackiger Stern.) Seien α1, α2, α3, α4 und α5 die Winkel an den Spitzen der aufgesetzten Dreiecke. Man zeige α1+α2+α3+α4+α5 = 1800. (analog f¨ur einn-Eck.) 3. SeiABCDein Viereck. SeigA die Gerade durchA, die die beiden Außenwinkel beim Eckpunkt

Ahalbiert. Entsprechend seiengB,gC undgD definiert. Diese vier Geraden bilden ein Viereck.

Man zeige, dass in diesem Viereck die Summe einander gegen¨uberliegender Winkel gleich 1800 ist.

4. Wie letztes Beispiel. Die GeradengA, gB,gC undgD halbieren jedoch die Innenwinkel anstatt die Außenwinkel.

5. Sei ABCD ein Rechteck, sei M der Mittelpunkt der Seite BC und N der der Seite CD. Sei P der Schnittpunkt der Geraden ℓ(B, N) und ℓ(D, M). Man zeige, dass ]M AN = ]DP N gilt. Hinweis: Sei φ = ]BM A = ]CM D und ψ = ]DN A = ]CN B. Winkel berechnen:

]M P N, ]M AB, . . .

Kongruenz¨uberlegungen

6. Durch einen PunktP auf der Diagonale eines Parallelogramms werden Parallelen zu den Seiten des Parallelogramms gezogen. Man zeige, dass von den vier entstehenden Teilparallelogram- men die beiden fl¨achengleich sind, die nicht von der Diagonale durchschnitten werden. Hin- weis: Ein Parallelogramm wird durch eine Diagonale in zwei zueinander kongruente und daher fl¨achengleiche Dreiecke zerlegt.

7. Sei ABCD ein Parallelogramm, sodass der Winkel α bei A und C spitz ist. Sei M der Mit- telpunkt der Diagonale AC. Wir w¨ahlen P auf ℓ(C, D) so, dass ]M P C =α gilt. Man zeige

|AP|=|BP|.

Orientierter Abstand

8. Seien A, B und C beliebige Punkte auf einer Gerade. Welche der folgenden Gleichungen sind richtig: AB+BC+CA= 0, AB =AC +BC,AB−AC =CB,

9. Seien A, B, C und D beliebige Punkte auf einer Gerade. Welche der folgenden Gleichungen sind richtig: ABCD = DCBA, ABAD = 1 + DBAD, AB·AC =|AB| · |AC|, |AB·AC|=|AB| · |AC|, 10. Die vier Punkte A, B, C und D liegen auf einer Gerade. Man zeige, dass DA·BC +DB ·

CA+DC ·AB = 0 gilt.

Dreiecksfl¨achen

11. Sei P ein beliebiger Punkt im Innern eines gleichseitigen Dreiecks. Die Summe der Normal- abst¨ande von P zu den Seiten des Dreiecks ist gleich der H¨ohe des Dreiecks.

12. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenl¨ange 1. Sei E der Mittelpunkt der Seite AB und F der Mittelpunkt der Seite BC. Die Strecken AF und EC teilen das Quadrat in vier Teile. Man berechne die Fl¨achen dieser Teile. Hinweis: Man zeichne noch die Diagonale BD ein. Welche

(2)

Dreiecke sind fl¨achengleich? Welche Dreiecke kann man zu einem Dreieck zusammenfassen, dessen Fl¨ache bekannt ist?

13. Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei P ein beliebiger Punkt der Seite CD. Sei R der Schnitt- punkt der Strecke AP mit der Diagonale BD. Man zeige #ADR = #BRP. Hinweis: Es gilt

#CBD = 12F und #ADP + #BCP = 12F, wobeiF die Fl¨ache des Parallelogramms ist.

B. Strahlensatz

Anwendungen des Strahlensatzes und seiner Umkehrung

14. Sei M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen eines Parallelogramms. Dann ist M der Mit- telpunkt beider Diagonalen.

Es gilt auch die Umkehrung. Hat ein Viereck die Eigenschaft, dass der Schnittpunkt M der Diagonalen der Mittelpunkt beider Diagonalen ist, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

15. Sei ABCD ein konvexes Viereck und M der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Man zeige

|M B|

|M D| = #ABC#ADC. Hat ein Viereck die Eigenschaft, dass beide Diagonalen die Fl¨ache des Vierecks halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

16. Seien g und h nicht parallele Gerade. Seien P1, P2 und P3 Punkte auf der Gerade g und Q1, Q2 und Q3 Punkte auf der Gerade h, jedoch keiner dieser Punkte liege auf beiden Geraden.

Man zeige: Wennℓ(P2, Q1) parallel zuℓ(P3, Q2) undℓ(P1, Q2) parallel zuℓ(P2, Q3) liegt, dann liegt auch ℓ(P1, Q1) parallel zu ℓ(P3, Q3). (Satz von Pappos)

17. Seien g1, g2 und g3 verschiedene Gerade, die einander in einem Punkt S schneiden. Seien P1 und Q1 Punkte auf g1, seien P2 und Q2 Punkte auf g2 und seien P3 und Q3 Punkte auf g3. Man zeige: Wennℓ(P1, P2) parallel zuℓ(Q1, Q2) undℓ(P2, P3) parallel zuℓ(Q2, Q3) liegt, dann liegt auch ℓ(P1, P3) parallel zuℓ(Q1, Q3). (Satz von Desargues)

18. Seien k1 und k2 verschieden große Kreise, sodass der eine ganz außerhalb des anderen liegt.

Seien M1 und M2 ihre Mittelpunkte und g die Gerade durch M1 und M2. Diese beiden Kreise haben vier gemeinsame Tangenten. Zwei dieser Tangenten gehen zwischen den Kreisen hindurch. Ihr Schnittpunkt B liegt auf g. Die anderen beiden Tangenten liegen außen an den Kreisen. Ihr Schnittpunkt A liegt ebenfalls auf g, jedoch nicht zwischen den Kreisen, sondern außerhalb beim kleineren Kreis. Man zeige, dass AMAM1

2

BM2

BM1 =1 gilt.

19. Man zeige, dass die Seitenmitten eines beliebigen konvexen Vierecks die Eckpunkte eines Par- allelogramms sind. Hinweis: Umkehrung des Strahlensatzes.

20. Sei △ABC ein Dreieck und s die Schwerlinie durch C. Sei P ein Punkt auf s und h die Gerade durch P parallel zur Seite AB. Sei Q der Schnittpunkt von h mit ℓ(B, C) und R der Schnittpunkt von h mit ℓ(A, C). Man zeige |P Q|=|P R|.

Ahnliche Dreiecke¨

21. In einem Dreieck △ABC sei D der Fußpunkt der H¨ohe durch C, E der Fußpunkt der H¨ohe durch A und F der Fußpunkt der H¨ohe durch B. Man zeige, dass ||CDAC|| = ||BFAB||, ||CDBC|| = ||AEAB|| und ||AEAC|| = ||BFBC|| gilt.

22. SeienM1undM2 die Mittelpunkte zweier Kreisek1 undk2, die einander nicht schneiden. Seien P1 und Q1 die Schnittpunkte des Kreises k1 mit den Tangenten vom Punkt M1 aus an den Kreisk2. SeienP2 undQ2 die Schnittpunkte des Kreisesk2 mit den Tangenten vom PunktM2

aus an den Kreis k1. Dann gilt |P1Q1|=|P2Q2|. Hinweis: Man zeichne die Gerade ℓ(M1, M2) und suche ¨ahnliche Dreiecke.

Menelaos und Ceva

23. Seien A, B, C und D vier Punkte in der Ebene. Sei E der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, C) und ℓ(B, D) und F der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D). Man zeige F AF B · EBED ·

F D

F C · ECEA = 1. Hinweis: Satz von Menelaos zweimal anwenden.

(3)

24. Umkehrung des Satzes von Menelaos: Sei △ABC ein Dreieck. Sei D ein Punkt auf ℓ(A, B), seiE ein Punkt aufℓ(B, C), und F einer aufℓ(C, A). Wenn DADB·EBEC ·F CF A = 1 gilt, dann liegen die Punkte D, E und F auf einer Gerade. Hinweis: Es ist nicht m¨oglich, dass ℓ(D, E) parallel zu ℓ(C, A) liegt (indirekter Beweis mit Strahlensatz).

25. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma, Mb und Mc. Sei g eine Gerade, die ℓ(B, C) im Punkt Pa, ℓ(A, C) im Punkt Pb und ℓ(A, B) im Punkt Pc schneidet. Sei Qa der an Ma gespiegelte Punkt Pa. Sei Qb der an Mb gespiegelte Punkt Pb. Sei Qc der an Mc gespiegelte Punkt Pc. Dann liegen die Punkte Qa, Qb und Qc auf einer Gerade.

26. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma, Mb und Mc. Sei P ein Punkt. Sei Pa der Schnittpunkt der Geraden ℓ(P, A) und ℓ(B, C) und Qa der an Ma gespiegelte Punkt Pa. Sei Pb der Schnittpunkt der Geraden ℓ(P, B) undℓ(A, C) und Qb der an Mb gespiegelte PunktPb. SeiPc der Schnittpunkt der Geradenℓ(P, C) undℓ(A, B) undQc der an Mc gespiegelte Punkt Pc. Dann schneiden die Geradenℓ(A, Qa), ℓ(B, Qb) und ℓ(C, Qc) einander in einem Punkt.

27. Sei △ABC ein Dreieck und P ein Punkt. Sei A1 der Schnittpunkt von ℓ(A, P) mit ℓ(B, C), B1 der von ℓ(B, P) mit ℓ(A, C) und C1 der von ℓ(C, P) mit ℓ(A, B). Weiters sei A2 der Schnittpunkt von ℓ(B1, C1) mit ℓ(B, C), B2 der von ℓ(A1, C1) mit ℓ(A, C) und C2 der von ℓ(A1, B1) mit ℓ(A, B). Man zeige, dass die Punkte A2, B2 und C2 auf einer Geraden liegen.

Hinweis: Menelaos und Ceva.

C. Pythagoras

Ebene Figuren

28. Man bestimme die H¨ohe eines gleichseitigen Dreiecks und die Abschnitte, in die sie durch den H¨ohenschnittpunkt unterteilt wird.

29. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenl¨ange a. Sei k der Kreis, der durch die Eckpunkte A und B geht und die Seite CD ber¨uhrt. Man berechne den Radius dieses Kreises.

30. SeiABCDein Quadrat mit Seitenl¨angea. Die PunkteE auf der SeiteBC undF auf der Seite CD werden so gew¨ahlt, dass das Dreieck△AEF gleichseitig ist. Man berechne die Seitenl¨ange

dieses Dreiecks.

31. Sei AB der Durchmesser eines Halbkreises und C ein Punkt auf AB. Aus diesem Halbkreis werden zwei Halbkreise mit Durchmessern AC und CB herausgeschnitten. Die verbleibende Figur heißt Arbelos. Sei D der Schnittpunkt der Senkrechten aufAB durch C mit dem ersten Halbkreis. Dann ist die Fl¨ache des Arbelos gleich der Fl¨ache des Kreises mit DurchmesserCD.

(Archimedes)

32. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenl¨ange a. Sei E der Mittelpunkt der Seite CD. Die Strecken AC undBEschneiden einander im Punkt S. Man berechne die L¨angen der Seiten des Dreiecks

△ABS und dessen Fl¨ache. Hinweis: Strahlensatz: CE ist parallel zu AB.

33. Sei√ a die Seite eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelm¨aßigenn-Ecks. Man zeige, dass 2−√

4−a2 die Seite eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelm¨aßigen 2n-Ecks ist.

Man berechne die Seite des regelm¨aßigen 8-Ecks und 16-Ecks.

34. Seia die Seite eines dem Einheitskreis umgeschriebenen regelm¨aßigen n-Ecks. Man zeige, dass

4 a(√

1 +a2/4−1) die Seite eines dem Einheitskreis umgeschriebenen regelm¨aßigen 2n-Ecks ist.

Man berechne die Seite des regelm¨aßigen 8-Ecks und 16-Ecks.

orper im Raum

35. Man bestimme die L¨ange der Diagonale eines W¨urfels.

36. Man bestimme die H¨ohe eines regelm¨aßigen Tetraeders.

37. Man berechne den Radius r der Umkugel und den Radius ϱ der Inkugel eines regelm¨aßigen Tetraeders.

38. Wir sind imR3. SeiA= (a,0,0), B= (0, b,0) undC = (0,0, c), wobei a, bund calle >0 sind.

Zusammen mit O = (0,0,0) bilden diese Punkte die Ecken eines rechtwinkeligen Tetraeders.

Wir betrachten die Fl¨acheninhalte der vier Dreiecke: R= #ABC, U = #ABO, V = #ACO

(4)

undW = #BCO. Man zeige, dass R2 =U2+V2+W2 gilt. Hinweis: Man berechne die H¨ohe k durch O im Dreieck △ABO und daraus die H¨ohe h durch C im Dreieck △ABC.

Ber¨uhrende Kreise

39. Zwei Kreise mit Radien r1 und r2 ber¨uhren einander von außen und haben die Gerade g als gemeinsame Tangente, die die beiden Kreise in verschiedenen Punkten ber¨uhrt. Ein weiterer Kreis mit Radius s ber¨uhrt die beiden Kreise von außen und auch die Tangente g. Man zeige, dass 1

s = 1r1 + 1r2 gilt.

40. SeiABCDein Quadrat mit Seitenl¨angea. Man berechne den Radius des Inkreises des Dreiecks

△ABC.

41. SeiABCDein Quadrat mit Seitenl¨angea. Sei k ein Halbkreis mitAB als Durchmesser, der im Innern des Quadrats liegt. Man berechne den Radius des Kreises, der k,BC undCD ber¨uhrt.

42. SeiABCD ein Quadrat mit Seitenl¨ange a. SeikA der Viertelkreis mit MittelpunktA, der den PunktB mit dem Punkt D verbindet. Ebenso sei kB der Viertelkreis mit Mittelpunkt B, der den Punkt A mit dem Punkt C verbindet. Diese beiden Viertelkreise teilen das Quadrat in vier Teile. Jedem dieser Teile wird ein Kreis eingeschrieben, der die Begrenzungslinien ber¨uhrt.

Man berechne die Radien dieser Kreise.

43. Sei AB ein Durchmesser eines Kreises k. Sei C ein beliebiger Punkt auf AB und g die Senkrechte auf AB durch C. Sei D ein Schnittpunkt von g und k. Sei l ein Kreis, der die StreckenCB undCD und den Kreisk von innen ber¨uhrt. Der Punkt, in dem l die Strecke CB ber¨uhrt, sei U. Man zeige, dass |AU|=|AD| gilt.

44. Sei AB eine Strecke und C ein Punkt auf AB. Der Kreis k1 habe AB als Durchmesser.

Seinen Radius bezeichnen wir mit r1. Der Kreis k2 habe AC als Durchmesser. Seinen Radius bezeichnen wir mit r2. (Die Kreise ber¨uhren einander in A.) Der Kreis k3 ber¨uhrt die Strecke AB, den Kreis k2 von außen und den Kreis k1 von innen. Gesucht ist der Radius von k3. 45. Sei C ein Punkt auf AB. Die Halbkreise k uber¨ AB, k1 ¨uber AC und k2 ¨uber CB bilden den

Arbelos. Sei g die Senkrechte auf AB durch C. Sei l1 der Kreis, der g, k und k1 ber¨uhrt und l2 der Kreis, der g, k und k2 ber¨uhrt. Dann haben l1 und l2 den gleichen Radius.

46. Im Arbelos aus Beispiel 45 wurde bereits die gemeinsame Tangente g im Punkt C an die Halbkreise k1 und k2 eingef¨uhrt. Sei D ihr Schnittpunkt mit dem großen Halbkreis k. Die Halbkreise k1 und k2 haben neben g eine zweite gemeinsame Tangente h. Sie ber¨uhrt k1 im Punkt U und k2 im Punkt V. Man zeige, dass |U V| = |CD| gilt. Ist S der Schnittpunkt der Tangenten ℓ(C, D) und ℓ(U, V), dann gilt |SU|=|SC|= |SV|= |SD|. Weiters liegen die PunkteA,U undDauf einer Gerade, ebenso die PunkteB, V undD. Hinweise: Wir berechen

|U V| und |CD| mit Pythagoras. Tangenten von S an k1: |SU| = |SC|. Tangenten von S an k2: |SV| = |SC|. Damit erhalten wir |SU| = |SC| = |SV| = |SD|. Weiters sind △M1U S und△M1CS kongruent, △M1CS und△ACD sind ¨ahnlich, △AM1U ist gleichschenkelig. Es folgt ]M1AU =]CAD.

Zum Satz von Carnot

47. Sei ABCD ein Rechteck und P ein Punkt. Man zeige |P A|2− |P B|2+|P C|2− |P D|2 = 0.

48. Man zeige, dass die Strecken AB und CD genau dann aufeinander senkrecht stehen, wenn AC2−AD2 =BC2−BD2 gilt.

49. Sei △ABC ein gleichseitiges Dreieck und P ein Punkt. Seien Pa, Pb und Pc die Fußpunkte der Lote von P auf die Geraden ℓ(B, C),ℓ(A, C) und ℓ(A, B). Man zeigeAPc+BPa+CPb = PcB+PaC +PbA. Hinweis: Satz von Carnot, gleichseitiges Dreieck!

50. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma, Mb undMc. SeiP ein Punkt. SeienPa,Pb und Pc die Fußpunkte der Lote von P auf die Geraden ℓ(B, C), ℓ(A, C) und ℓ(A, B). Sei Qa der an Ma gespiegelte Punkt Pa und ga die Senkrechte auf ℓ(B, C) durch Qa. Sei Qb der an Mb gespiegelte PunktPb undgb die Senkrechte aufℓ(A, C) durch Qb. SeiQc der anMc gespiegelte PunktPc undgc die Senkrechte aufℓ(A, B) durch Qc. Dann schneiden die Geradenga, gb und

(5)

gc einander in einem Punkt.

51. Sei△ABC ein Dreieck undD,EundF beliebige Punkte. Die Senkrechte durchDaufℓ(A, B), die Senkrechte durchE aufℓ(B, C) und die Senkrechte durchF auf ℓ(C, A) schneiden einander in einem Punkt genau dann, wenn |AD|2− |DB|2 +|BE|2− |EC|2+|CF|2− |F A|2 = 0 gilt.

Hinweis: Sei D der Fußpunkt des Lots von D auf ℓ(A, B). Dann gilt |AD|2 − |DB|2 =

|AD|2− |DB|2.

52. Auf den Seiten eines Dreiecks △ABC als Basis werden gleichschenkelige Dreiecke △ACB,

△BAC und △CBA gesetzt. Sei gA die Senkrechte auf ℓ(B, C) durch A, sei gB die Senkrechte auf ℓ(A, C) durch B und gC die Senkrechte auf ℓ(A, B) durch C. Dann schneiden diese drei Geraden einander in einem Punkt. Hinweis: Beispiel 51 auf das Dreieck

△ABC anwenden.

D. Dreieck

Schwerlinie, Streckensymmetrale, Winkelsymmetrale

53. Ein beliebiges Dreieck wird durch die Schwerlinien in sechs fl¨achengleiche Teile geteilt. Hinweis:

Man suche Dreiecke mit gleich langer Basis und gemeinsamer H¨ohe.

54. Sei △ABC ein Dreieck und M der Mittelpunkt der Seite AB. Sei P ein beliebiger Punkt auf der Schwerlinie CM. Sei Q der Schnittpunkt vonℓ(B, P) und ℓ(A, C). Dann gilt P MCP = 2CQQA. Hinweis: Parallele durch M zuℓ(B, P). Strahlensatz.

55. SeiAB eine Strecke,P ein Punkt und F der Fußpunkt des Lots vonP auf ℓ(A, B). Man zeige

|P A|2− |P B|2 =|F A|2− |F B|2. Damit beweise man, dass P genau dann auf der Symmetrale der Strecke AB liegt, wenn |P A|=|P B| gilt.

56. Zwei Kreise ber¨uhren einander von außen im Punkt P. Eine gemeinsame Tangente ber¨uhrt den einen Kreis im Punkt U, den anderen im Punkt V. Man zeige ]U P V = 900. Hinweis:

Welche Dreiecke sind gleichschenkelig?

57. Man zeige: Die sechs Symmetrieebenen der Kanten eines unregelm¨aßigen Tetraeders schneiden einander in einem Punkt (Mittelpunkt der Umkugel).

58. Zwei HalbebenenH1 undH2 im Raum, die von derselben Gerade ausgehen, haben eine winkel- halbierende Halbebene. Jeder Punkt dieser winkelhalbierenden Halbebene hat gleichen Nor- malabstand vonH1 undH2. Man zeige, dass ein unregelm¨aßiger Tetraeder eine Inkugel besitzt (und vier Ankugeln). Hinweis: Drei winkelhalbierende Halbebenen, von denen jede eine Kante einer Seitenfl¨ache enth¨alt, schneiden einander in einem Punkt. Dieser hat gleichen Normalab- stand von allen vier Tetraederfl¨achen.

59. In einem Viereck bezeichnen wir die Ecken der Reihe nach mit A, B, C und D. Man zeige, dass f¨ur ein Tangentenviereck |AB|+|CD|= |BC|+|DA| gilt. Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, das einen Inkreis hat.

60. Sei△ABC ein Dreieck mit Winkeln α,β undγ. Man dr¨ucke den Winkel, den die Winkelsym- metralen durch die Eckpunkte B und C miteinander bilden, durch α, β und γ aus.

61. Sei △ABC ein beliebiges Dreieck, I der Inkreismittelpunkt und Ia, Ib und Ic die Ankreis- mittelpunkte. Man dr¨ucke die Winkel des Dreiecks △IaIbI durch α, β und γ aus. Hinweis:

Beispiel 60. Die innere und ¨außere Winkelsymmetrale durch einen Eckpunkt stehen senkrecht aufeinander.

62. Sei △ABC ein beliebiges Dreieck und Ia,Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Man dr¨ucke die Winkel des Dreiecks △IaIbIc durch α,β undγ aus.

63. Sei △ABC ein Dreieck. Seien U und V die Fußpunkte der Lote von C auf die Symmetralen der Innenwinkel bei A und bei B. Seien P und Q die Fußpunkte der Lote von C auf die Symmetralen der Außenwinkel bei A und bei B. Dann liegen die vier Punkte P, Q, U und V auf einer Gerade. Auch die Mittelpunkte der Seiten AC und BC liegen auf dieser Gerade.

Hinweis: Die innere und ¨außere Winkelsymmetrale durch einen Eckpunkt stehen senkrecht aufeinander. Damit erh¨alt man Rechtecke. Was gilt f¨ur deren Diagonalen?

(6)

64. SeienAundBPunkte auf einem Kreisk. Wir nehmen an, dass die Tangenten in den PunktenA undB an den Kreisk einander im PunktC schneiden. Man zeige, dass der Inkreismittelpunkt des Dreiecks △ABC auf k liegt.

Besondere Punkte mit Ceva und Carnot

65. Sei△ABC ein Dreieck undD der Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels beiC mit ℓ(A, B). Man zeige, dass ADDB = ||ACBC|| gilt. Hinweis: Die Parallele zuAC durch B schneidet die Symmetrale des Außenwinkels in einem Punkt E. Man wende den Strahlensatz an und zeige |BE|=|BC|.

66. Sei D der Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei C mit ℓ(A, B). Sei E der Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei A mit ℓ(B, C). Sei F der Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei B mit ℓ(A, C). Dann liegen die Punkte D, E und F auf einer Gerade. Hinweis: Beispiel 65 und Beispiel 24.

67. Seien Qa, Qb und Qc die Punkte, in denen ein Ankreis eines Dreiecks △ABC die (Verl¨an- gerungen der) drei Dreiecksseiten ber¨uhrt. Man zeige mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Ceva, dass die drei Geraden ℓ(A, Qa), ℓ(B, Qb) und ℓ(C, Qc) einander in einem Punkt schneiden. Hinweis: |AQb|=|AQc|, |BQa|=|BQc| und |CQa|=|CQb|.

Zentrische Streckung, Eulergerade

68. Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei P ein Punkt auf der Diagonale AC. Weiters seien E auf AB und G auf CD so gew¨ahlt, dass E, P und G auf einer Gerade liegen. Ebenso seien F auf BC und H auf AD so gew¨ahlt, dass F,P undH auf einer Gerade liegen. Man zeige, dass EH undF Gparallel sind. Hinweis: Die zentrische Streckung mit ZentrumP, dieC aufA abbildet, bildet G auf E undF auf H ab.

69. Sei △ABC ein beliebiges Dreieck mit Inkreismittelpunkt I und Umkreismittelpunkt U. Man zeige, dass I der H¨ohenschnittpunkt und U der Mittelpunkt des Neunpunktkreises f¨ur das Dreieck △IaIbIc sind. Weiters zeige man, dass U der Mittelpunkt der Strecke IV ist, wobei V der Umkreismittelpunkt des Dreiecks △IaIbIc ist. Hinweis: Eulergerade f¨ur△IaIbIc. 70. Mit Hilfe der Eigenschaften eines Parallelogramms beweisen wir, dassMc,Rc undHc auf dem

Neunpunktkreis liegen. Das ergibt einen alternativen Beweis zum Beweis in der Vorlesung.

(a) Die H¨ohe durchCund die Symmetrale der SeiteAB sind parallel. Die Schwerlinieℓ(C, Mc) und die Eulergerade ℓ(U, H) schneiden einander im Schwerpunkt S. Der Strahlensatz ergibt

CH

McU = SMSC

c =2. Es folgtCH = 2U Mc undU Mc =CRc =RcH (Rc Mittelpunkt vonCH).

(b) Nun ist U McRcC ein Parallelogramm. Es folgt|McRc|=|U C|=r. Ebenso istU McHRc

ein Parallelogramm und N ist nach Definition der Mittelpunkt der Diagonale U H. Daher ist N auch der Mittelpunkt der anderen Diagonale McRc. Was folgt daraus f¨ur Mc und Rc? (Ist ]ACB = 900, dann gilt U =Mc und C =H =Rc.)

(c) Jetzt zum H¨ohenfußpunkt Hc: Wegen ]RcHcMc = 900 k¨onnen wir △RcHcMc zu einem Rechteck erg¨anzen. Da N der Mittelpunkt der Diagonale McRc ist, ist N Hc die H¨alfte der anderen Diagonale. Es gilt somit |N Hc|=|N Mc|. Was folgt daraus f¨ur Hc?

Wenn |AC| = |BC| gilt, dann funktioniert dieser Beweis nicht. In diesem Fall liegen C, Rc, H, S, U und Mc auf einer Gerade. Es gilt SC = 2SMc (Schwerlinie) und SH = 2SU (Eulergerade). Wie kann man damit den Beweis f¨uhren? Es gilt auch Hc =Mc.

E. Peripheriewinkelsatz

Umkreis, H¨ohen, Winkelsymmetralen

71. In einem Viereck bezeichnen wir die Winkel der Reihe nach mit α, β, γ und δ. Ein Sehnen- viereck ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen. Man zeige, dass ein Viereck genau dann ein Sehnenviereck ist, wenn α + γ = 1800 gilt. (Es gilt dann auch β+δ = 1800, da die Winkelsumme im Viereck ja 3600 ist.)

(7)

72. Sei △ABC ein Dreieck und U der Umkreismittelpunkt. Man bestimme die Winkel in den Dreiecken △ABU, △BCU und △ACU.

73. SeienMa,Mb undMc die Seitenmitten undHa, Hb undHc die H¨ohenfußpunkte eines Dreiecks

△ABC. Seiena,bundcdie Seitenl¨angen,U der Umkreismittelpunkt undrder Umkreisradius.

Man zeige |AHcb| = |AHbc| = |U Mra|. Analog gilt |BHca| = |BHac| = |U Mrb| und |CHba| = |CHab| =

|U Mc|

r . Hinweis: Die Dreiecke △ABHb, △ACHc und △U MaB sind ¨ahnlich (Beispiel 72).

74. Sei △ABC ein Dreieck. Ein Kreis, der durch A undB geht, schneide die Seite AC im Punkt F und die Seite BC im Punkt E. Man bestimme die Winkel im Dreieck △F EC. Sei V der Umkreismittelpunkt des Dreiecks△F EC. Man zeige, dassℓ(C, V) senkrecht aufℓ(A, B) steht.

Hinweis: Beispiel 72 auf △F EC anwenden.

75. Sei △ABC ein Dreieck mit α ̸=β. Sei Wc der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch C mit der Seite AB. Sei P der Schnittpunkt der Gerade ℓ(A, B) mit der Tangente im Punkt C an den Umkreis. Man zeige |P C|=|P Wc|. Hinweis: Tangentenwinkelsatz.

76. In einem spitzwinkeligen Dreieck △ABC sei D der Fußpunkt der H¨ohe durch C, E der Fußpunkt der H¨ohe durch A und F der Fußpunkt der H¨ohe durch B. Man zeige ]BED = ]CEF =α, ]AF D =]CF E =β und ]ADF =]BDE =γ. Hinweis: Die Punkte D und E liegen auf dem Kreis mit Durchmesser AC.

77. Sei △ABC ein spitzwinkeliges Dreieck und H der H¨ohenschnittpunkt. Das Dreieck, dessen Ecken die H¨ohenfußpunkte sind, heißt H¨ohenfußpunktdreieck. Mit Hilfe von Beispiel 76 zeige man, dass H der Inkreismittelpunkt des H¨ohenfußpunktdreiecks ist.

78. Sei △ABC ein spitzwinkeliges Dreieck. Das Dreieck, dessen Ecken die H¨ohenfußpunkte sind, heißt H¨ohenfußpunktdreieck. Das Dreieck, dessen Seiten die Tangenten an den Umkreis in den PunktenA,B und C sind, heißt Tangentendreieck. Man zeige, dass die einander entsprechen- den Seiten des H¨ohenfußpunktdreiecks und des Tangentendreiecks zueinander parallel liegen.

Hinweis: Tangentenwinkelsatz, Beispiel 76.

79. Sei △ABC ein Dreieck, E ein Punkt auf BC und F einer auf AC. Sei ˜wγ die Gerade durch C, die die beiden Außenwinkel bei C halbiert. Sei N der Schnittpunkt ̸= C von ˜wγ mit dem Umkreis von △BCF und M der Schnittpunkt ̸= C von ˜wγ mit dem Umkreis von △ACE.

Dann sind die Dreiecke △AEM und △BF N gleichschenkelig und zueinander ¨ahnlich. (The- bault) Hinweis: Dr¨ucke die Winkel der Dreiecke △AEM und △BF N mit Hilfe des Periph- eriewinkelsatzes durch γ aus.

80. Zum S¨udpolsatz: Man zeige, dass der Eckpunkt A und der Ankreismittelpunkt Ic gleichen Abstand vom S¨udpol P haben. Hinweis: Man zeige, dass das Dreieck △AP Ic gleichschenkelig ist. Die innere und ¨außere Winkelsymmetrale durch A stehen aufeinander senkrecht.

81. Sei △ABC ein Dreieck mit Ankreismittelpunkten Ia und Ib. Sei Q der Schnittpunkt ̸=C der

¨

außeren Winkelsymmetrale durch den Eckpunkt C mit dem Umkreis. Dann hat Q gleichen Abstand zu den vier Punkten A, B, Ia und Ib. (Nordpolsatz) Hinweis: Vorgangsweise analog zum Beweis des S¨udpolsatzes.

82. Es seiI der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks△ABC undk ein Kreis durch die PunkteA und B. Dieser Kreis schneide die Gerade ℓ(A, I) in den Punkten A und P, die Gerade ℓ(B, I) in den Punkten B und Q, die Gerade ℓ(A, C) in den Punkten A und R und die Gerade ℓ(B, C) in den Punkten B und S, wobei die Punkte A, B, P, Q, R und S paarweise verschieden sind und R beziehungsweise S auf den Strecken AC und BC liegen. Man zeige, dass die Geraden ℓ(P, S), ℓ(Q, R) undℓ(C, I) einander in einem Punkt schneiden. ( ¨OMO 2015) Hinweis: Winkel bei den Punkten Rund S berechnen.

Kreise

83. Seien A, B, C und D vier Punkte und P der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D), wobei diese f¨unf Punkte alle voneinader verschieden seien. WennP A·P B=P C·P Dgilt, dann liegen die vier PunkteA,B,C undDauf einem Kreis. (Umkehrung des Sehen-Sekantensatzes)

(8)

Hinweis: Die Dreiecke △P AC und △P DB sind ¨ahnlich, Peripheriewinkelsatz. Oder: Vor- gangsweise wie bei der Umkehrung des Strahlensatzes.

84. Sei AB eine Strecke und C ein Punkt auf AB. Sei k1 der Kreis mit Durchmesser AC und k2 der Kreis mit DurchmesserCB (sie ber¨uhren einander inC). Seig eine gemeinsame Tangente der beiden Kreise, jedoch nicht die durch C. Sie ber¨uhrt k1 im Punkt P und k2 im PunktQ.

Man zeige, dass die Punkte A, P, Q und B auf einem Kreis liegen. Hinweis: Wir bezeichnen ]BAP mit α. Man dr¨ucke die Winkel des VierecksAP QB durch α aus.

85. Der Kreis k1 mit Mittelpunkt M und der Kreis k2 mit Mittelpunkt N schneiden einander in den Punkten P und Q. Die Gerade g durch M und P schneide k2 im Punkt U und die Gerade h durch N und P schneide k1 im Punkt V, wobei U und V ungleich P sind. Man zeige, dass die Punkte M, V, U, N und Q auf einem Kreis liegen. Hinweis: Die Dreiecke

△M N P und △M N Q sind sind zueinander kongruent. Die Dreiecke △U N P und △V M P sind gleichschenkelig.

86. Seienk1undk2 zwei Kreise, die einander in den PunktenAundBschneiden. Seigeine Gerade durch A undh eine durch B, jedoch sei keine der Geraden eine Tangente an einen der Kreise.

Seien G1 und G2 die Schnittpunkte ̸= A der Gerade g mit k1 und k2. Seien H1 und H2 die Schnittpunkte ̸= B der Gerade h mit k1 und k2. Man zeige, dass die Strecke G1H1 parallel zur Strecke G2H2 liegt.

87. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenl¨angen a, b und c. Auf den Verl¨angerungen der Seiten AC undBC tragen wir vonCaus nach außen die Strecke der L¨angecab und erhalten so die Punkte Ca und Cb. Auf den Verl¨angerungen der SeitenBA undCAtragen wir von A aus nach außen die Strecke der L¨angea ab und erhalten so die PunkteAb undAc. Auf den Verl¨angerungen der Seiten AB und CB tragen wir von B aus nach außen die Strecke der L¨ange bab und erhalten so die Punkte Ba und Bc. Man zeige, dass die Punkte Ab, Ac, Ba, Bc, Ca und Cb auf einem Kreis liegen. (Satz von Conway) Hinweis: Gleichschenkelige Dreiecke helfen beim Bestimmen der Winkel.

88. SeiABCD ein Sehnenviereck mit Umkreisk. SeienkAB, kBC,kCD undkDA die B¨ogen, in die k durch die Punkte A, B, C und D geteilt wird. Sei P der Mittelpunkt von kAB, Q der von kBC,Rder von kCD undS der von kDA. Man zeige, dassℓ(P, R) senkrecht aufℓ(Q, S) steht.

89. Sei△ABC ein Dreieck mit|AC|=|BC|. Wir w¨ahlen zwei PunkteU undV auf der Seite AB.

Seien P und Q die Schnittpunkte der Geraden ℓ(C, U) und ℓ(C, V) mit dem Umkreis. Man zeige, dass die vier Punkte P, Q, U und V auf einem Kreis liegen.

90. Der Kreis k1 mit Mittelpunkt M und der Kreis k2 mit Mittelpunkt N schneiden einander in den Punkten P und Q. Eine Geradeg durch P schneidet k1 im Punkt A und k2 im Punkt B, wobei A und B ungleich P sind. Sei R der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, M) und ℓ(B, N).

Man zeige, dass M, R, Q und N auf einem Kreis liegen und ebenso A, R, Q und B. Hinweis:

Sei ]P M Q = 2α, ]P N Q= 2β und ]AP Q= γ. Damit berechne man die anderen Winkel.

Man erh¨alt ]M QN =]M RN =]ARB =]AQB = 1800−α−β.

Lote

91. Sei △ABC ein Dreieck mit H¨ohenschnittpunkt H. Sei F der Fußpunkt der H¨ohe durch C und M der Mittelpunkt der Seite AB. Sei K der Mittelpunkt der H¨ohe durch A und L der Mittelpunkt der H¨ohe durch B. Dann liegen die f¨unf Punkte F, M, K, H und L auf einem Kreis.

92. Sei△ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der H¨ohe durchC. SeienP und Qdie Fußpunkte der Lote von F auf die Seiten BC und AC. Sei g eine Parallele zur Seite AB und U und V ihre Schnittpunkte mit ℓ(B, C) und ℓ(A, C). Dann liegen die vier Punkte P, Q, U und V auf einem Kreis.

93. Sei △ABC ein Dreieck, H der Fußpunkt der H¨ohe durch C und M der Mittelpunkt der Seite AB. Seien F und G die Fußpunkte der Lote von A und von B auf die Winkelsymmetrale wγ. Dann liegen die vier Punkte H, F, M und G auf einem Kreis. Hinweis: Bestimme ]GF H

(9)

(Peripheriewinkelsatz) und ]GM H (ist D der Schnittpunkt von ℓ(B, G) und ℓ(A, C), dann gilt |BG|=|DG| und M G∥AC).

94. Sei△ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der H¨ohe durchC. SeienP und Qdie Fußpunkte der Lote von F auf die Seiten BC und AC. Seien U und V die Fußpunkte der Lote von F auf die H¨ohen durch A und durch B. Dann liegen die vier Punkte P, Q, U und V auf einer Gerade. Hinweis: Zeige ]F P Q=]F P V.

95. Sei △ABC ein Dreieck und Mb und Mc die Mittelpunkte der Seiten AC und AB. Sei P der Fußpunkt des Lots vonA auf die Symmetrale des Innenwinkels beiB. SeiQder Fußpunkt des Lots von A auf die Symmetrale des Innenwinkels bei C. Dann liegen die vier PunkteMb, Mc, P und Q auf einer Gerade. Hinweis: Zeige ]AMcMb =β und ]AMcP =β.

96. Sei △ABC ein Dreieck und F und G die Punkte, in denen der Inkreis die Seiten AC und BC ber¨uhrt. Sei P der Fußpunkt des Lots von A auf die Symmetrale des Innenwinkels bei B.

Sei Q der Fußpunkt des Lots von B auf die Symmetrale des Innenwinkels bei A. Dann liegen die vier Punkte F, G, P und Q auf einer Gerade. Hinweis: Zeige ]AF P = 12(α+β) und ]GF C = 900 12γ.

97. Sei△ABC ein spitzwinkeliges Dreieck und Wc der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch C mit der Seite AB. SeienPa undPb die Fußpunkte der Lote vonWc aufℓ(B, C) und ℓ(A, C).

Weiters sei F der Fußpunkt der H¨ohe durch C. Dann gilt ]PaF C =]PbF C.

98. Sei ABCD ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Sei U der Schnitt- punkt der Diagonalen und P, Q,R undS die Fußpunkte der Lote vonU auf ℓ(A, B), ℓ(B, C), ℓ(C, D) und ℓ(D, A). Man zeige, dass die PunkteP, Q, Rund S auf einem Kreis liegen.

99. Sei ABCD ein Viereck. SeienA und B die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten A und B auf die Gerade ℓ(C, D). Seien C und D die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten C und D auf die Gerade ℓ(A, B). Dann hat das Viereck ABCD dieselben Winkel wie das Viereck ABCD.

100. Sei ABCD ein Viereck. Seien A und C die Fußpunkte der Lote von den EckpunktenA und C auf die Gerade ℓ(B, D). Seien B und D die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten B und D auf die Gerade ℓ(A, C). Dann hat das Viereck ABCD dieselben Winkel wie das Viereck ABCD.

F. Inkreis, Ankreise, Fl¨ache

Gleichungen und Ungleichungen

101. F¨ur jedes Dreieck giltF2 =ϱϱaϱbϱc, wobei ϱ der Inkreisradius undϱa, ϱb undϱc die Ankreis- radien sind.

102. F¨ur jedes Dreieck gilt ϱ1

a + ϱ1

b + ϱ1

c = 1ϱ.

103. F¨ur jedes Dreieck gilt ϱaϱb+ϱaϱc+ϱbϱc =s2, wobeis der halbe Umfang ist.

104. F¨ur jedes Dreieck gilt ϱa+ϱb+ϱc−ϱ = 4r, wobei r der Umkreisradius ist.

105. Seien a, b und c die L¨angen der Seiten eines Dreiecks. Dann gilt abc 8(s−a)(s−b)(s−c), wobeis= 12(a+b+c) ist (Schur-Ungleichung). Hinweis: Seix=s−a,y =s−bundz =s−c.

Daraus werden a, b und c berechnet. Es gilt x+y≥2√xy, . . .

106. Seir der Umkreisradius undϱ der Inkreisradius eines Dreiecks. Dann giltr≥2ϱ(Ungleichung von Euler). Hinweis: r = abc4F , ϱ= Fs, F =√

s(s−a)(s−b)(s−c), Beispiel 105.

107. Sei r der Umkreisradius und ϱc ein Ankreisradius. Man zeige ϱc < 4r. Hinweis: r = abc4F , ϱc = s−cF , Heronformel, c= 2s−a−b. Es gilt s−a−b <0 und s2−ab >0 wegen s > a und s > b.

108. Sei F die Fl¨ache und s der halbe Umfang eines Dreiecks. Dann gilt F 313s2. Gleichheit gilt nur, wenn das Dreieck gleichseitig ist. Hinweis: geometrisch-arithmetische Ungleichung:

(xyz)1/3 13(x+y+z) mit x=s−a, y=s−bund z =s−c.

109. F¨ur die Ankreisradien und die H¨ohen eines Dreiecks gilt ϱ1

a + ϱ1

b + ϱ1

c = h1

a + h1

b + h1

c.

(10)

110. Seien Ma, Mb und Mc die Seitenmitten eines Dreiecks △ABC. Sei ϱ der Inkreisradius, U der Umkreismittelpunkt und r der Umkreisradius. Ist △ABC spitzwinkelig, dann gilt

|U Ma|+|U Mb|+|U Mc| = r +ϱ. F¨ur ein stumpfwinkeliges Dreieck ist einer der links ste- henden Summanden mit einem Minuszeichen zu versehen. (Satz von Carnot) Hinweis: Wir multiplizieren die zu beweisende Gleichung mit a + b+ c. Es gilt ϱ(a + b+ c) = 2F =

|U Ma|a+|U Mb|b+|U Mc|c. Jetzt Beispiel 73.

111. Sei I der Mittelpunkt und ϱ der Radius des Inkreises eines Dreiecks. Weiters sei Ia der Mit- telpunkt undϱa der Radius des Ankreises an die SeiteBC. Die Punkte, in denen diese beiden Kreise die (Verl¨angerung der) Seite AB ber¨uhren, bezeichnen wir mit P und Pa. Man zeige, dass die Dreiecke △IP B und△BPaIa zueinander ¨ahnlich sind. Man schließe, dass sϱb = sϱc

a

gilt. Hinweis: Bei den Ber¨uhrpunkten haben die Dreiecke rechte Winkel. Die innere und ¨außere Winkelsymmetrale im Punkt B stehen senkrecht aufeinander.

112. Es gilt ϱ= Fs und ϱa = sFa. Nach Beispiel 111 gilt sϱb = s−cϱ

a . Man eliminiere ϱ und ϱa aus diesen Gleichungen und berechne dadurch F. Das gibt einen anderen Beweis der Heronschen Fl¨achenformel.

Weitere besondere Punkte

113. Seik der Inkreis und ka, kb und kc die drei Ankreise eines Dreiecks△ABC. SeiTa der Punkt, in dem kb die Verl¨angerung der Seite BC ber¨uhrt, und Tb der Punkt, in dem ka die Verl¨an- gerung der Seite AC ber¨uhrt. Weiters sei Tc der Punkt, in dem k die Seite AB ber¨uhrt. Mit Hilfe von der Umkehrung des Satzes von Ceva zeige man, dass die die drei Geraden ℓ(A, Ta), ℓ(B, Tb) undℓ(C, Tc) einander in einem Punkt schneiden.

114. Seien Ia, Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Carnot zeige man, dass die Senkrechte durch Ia auf ℓ(B, C), die Senkrechte durch Ib auf ℓ(A, C) und die Senkrechte durchIc auf ℓ(A, B) einander in einem Punkt V (Bevanpunkt) schneiden.

115. Sei V wie in Beispiel 114. Durch Berechnen geeigneter Winkel zeige man, dass Ia, Ib und Ic den gleichen Abstand von V haben.

116. Seien I der Inkreismittelpunkt und Ia, Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Carnot zeige man, dass die Senkrechte durch I auf ℓ(A, B), die Senkrechte durch Ib auf ℓ(B, C) und die Senkrechte durch Ia auf ℓ(A, C) einander in einem Punkt W schneiden.

117. Sei W wie in Beispiel 116. Durch Berechnen geeigneter Winkel zeige man, dass I, Ia und Ib den gleichen Abstand von W haben.

II. Trigonometrie

G. Dreieck

Gleichungen und Ungleichungen

118. F¨ur die Winkel α, β und γ eines Dreiecks gilt tanα + tanβ + tanγ = tanαtanβtanγ und cotα2+cotβ2+cotγ2 = cotα2 cotβ2 cotγ2. Hinweis: tan(1800−φ) =−tanφ, cot(900−φ) = tanφ und tan(α+β) = 1tantanα+tanαtanββ.

119. F¨ur die Winkel eines Dreiecks gilt cosα+cosβ+cosγ 32. Hinweis: Cosinussatz, Beispiel 105.

120. F¨ur ein beliebiges Dreieck zeige man F = 2r2sinαsinβsinγ.

121. Man zeige sinα+ sinβ = 2 sinα+β2 cos α2β und sinα−sinβ = 2 sinα2β cosα+β2 . Hinweis: Sei φ= α+β2 und ψ= α2β. Dann gilt α =φ+ψ undβ =φ−ψ. Summensatz.

122. F¨ur ein beliebiges Dreieck gilt tanα2β = aa+bbtanα+β2 (Tangenssatz). Weitere Formeln erh¨alt man durch zyklisches Vertauschen. Hinweis: Aus dem Sinussatz ergibt sich aa+bb = sinsinαα+sinsinββ. Dann Beispiel 121.

Referenzen