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(a) Zeige: In solchen Dreiecken ist der Inkreisradius auch immer ganzzahlig

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BRG SCHLOSS WAGRAIN BRG SCHLOSS WAGRAIN

Schlossstrasse 31 A-4840 V¨ocklabruck

39. ¨Osterreichische Mathematik-Olympiade Qualifikationswettbewerb Ober¨osterreich

4. April 2008

1. Wenn in einem rechtwinkeligen Dreieck die Seitenl¨angen ganzzahlig sind, spricht man von einem pythagor¨aischen Zahlentripel.

(a) Zeige: In solchen Dreiecken ist der Inkreisradius auch immer ganzzahlig.

(b) Zeige: In solchen Dreiecken sind nie beide Kathetenl¨angen ungerade.

2. (a) Zeige, dass f¨ur alle reellen Zahlenx, y, z gilt:

10x2+ 2y2+ 5z2 ≥2xy+ 4yz+ 6zx (b) F¨ur welche nat¨urlichen Zahlenn gilt:

n2 + 2008<3n 3. Zeige:

n

X

i=1

(2i)5 = 32 + 1024 +. . .(2n)5 = 8n2(n+ 1)2((n+ 1)2+n2−2) 3

4. L¨ose folgendes Gleichungssystem inR3:

x+y+z2 = 6 2xy+ 3z4 = 44 x2+y2+ 2z2 = 16

Arbeitszeit: 180 Minuten

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