1.Einführung 2.Klassische Mechanik 3.Gravitation 4.Relativistische Mechanik 5.Feste Körper und Flüssigkeiten 6.Schwingungen und Wellen Inhalt

IKP in KCETA klassP1 Johannes Blümer

Inhalt

1. Einführung

1.1. Was ist Physik?

1.2. Physikalische Größen und Einheiten

1.3. Messungen, Datenauswertung, Fehler

2. Klassische Mechanik

2.1. Kinematik der Massenpunkte 2.2. Dynamik der Massenpunkte 2.3. Systeme von Massenpunkten 2.4. Rotation

3. Gravitation

3.1. Gravitationsgesetz 3.2. Feld und Potential

3.3. Planetenbahnen: Kepler 3.4. Massenverteilungen

3.5. Dunkle Materie

4. Relativistische Mechanik

4.1. Bezugsysteme und Transformationen

4.2. Spezielle Relativitätstheorie 4.3. Relativistische Kinematik

5. Feste Körper und Flüssigkeiten

5.1. Feste Körper

5.2. Hydrostatik und Hydrodynamik

6. Schwingungen und Wellen

6.1. Schwingungen 6.2. Wellen

1

Zusammenfassung von v05

Ort Geschwindigkeit Beschleunigung

Weg-Zeit-Gesetz

Relativität von Orts- und Geschwindigkeitsmessungen: hängen vom KS ab

Superpositionsprinzip! Vektorcharakter der phys. Grössen

Schräger Wurf

"Umlenkrolle"

46 2. Mechanik eines Massenpunktes

berechnen, setzen wir in (2.9) z ( x

_W

) = 0. Dann folgt:

x

_W

= v

_0x

· v

_0z

g

±

!"

v

_0x

· v

_0z

g

#

2

+ 2v

_0x²

g · h

$

1/2

. (2.11) Da x

_W

> 0 sein muss, kommt nur das positive Vor- zeichen in Frage. Wegen v

_z0

· v

_x0

=

¹₂

v

₀²

· sin 2ϕ lässt sich (2.11) umformen in

x

_W

= v

₀²

2 g sin 2ϕ

⎡

⎣ 1 +

'

1 + 2 gh

v

₀²

sin

²

ϕ

(

1/2

⎤

⎦ . (2.12) Will man wissen, für welchen Winkel ϕ bei fes- tem Betrag v

₀

der Anfangsgeschwindigkeit die größte Wurfweite erzielt wird, muss man dx

_W

/ dϕ = 0 setzen.

Das Ergebnis für ϕ( x

_{W max}

) lautet:

ϕ

_opt

= arcsin

⎛

⎝ 1

- 2 + 2 gh/v

₀²

⎞

⎠ , (2.13)

was für h = 0 wegen arcsin( √

2/2) = π/4 in ϕ

_opt

= 45

^◦

übergeht.

2.4 Bewegungen mit

nicht-konstanter Beschleunigung

Während die Differentialgleichung für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung immer elementar in- tegrierbar ist, braucht dies für zeitlich beliebig ver- änderliche Beschleunigungen nicht mehr unbedingt zu gelten. Wir wollen zuerst das einfache Beispiel der gleichförmigen Kreisbewegung behandeln, wo sich nur die Richtung, aber nicht der Betrag des Beschleunigungsvektors a ändert.

2.4.1 Die gleichförmige Kreisbewegung

Bei dieser Bewegung werden in gleichen Zeiten glei- che Strecken auf dem Kreis zurückgelegt. Der Betrag v der Geschwindigkeit bleibt deshalb konstant, aber ih- re Richtung ändert sich dauernd, da v = v · ˆ e

_t

ja immer in Richtung des Tangenteneinheitsvektors e ˆ

_t

an die Bahnkurve zeigt.

Abb. 2.10. (a) Gleichförmige Kreisbewegung. (b) Zur Defi- nition der Winkelgeschwindigkeit

Wir können den Weg ∆s auf dem Kreisbogen ausdrücken durch ∆s = R∆ϕ (Abb. 2.10), und der Geschwindigkeitsbetrag v wird dann wegen R = const

v = ds

dt = R dϕ

dt = R · ω ;

ω = dϕ

dt heißt Winkelgeschwindigkeit :

[ ω ] = rad/s .

Die Beschleunigung a ist dann a = dv

dt = d

dt (v e ˆ

_t

) = dv

dt e ˆ

_t

+ v d e ˆ

_t

dt

= v d e ˆ

_t

dt weil v = const .

Aus e ˆ

²_t

= 1 folgt durch Differentiation 2 e ˆ

_t

d e ˆ

_t

dt = 0 .

Das Skalarprodukt zweier Vektoren verschwindet, wenn einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist oder beide senkrecht aufeinander stehen. Da e ˆ

_t

̸ = 0 und d e ˆ

_t

/ dt ̸ = 0 folgt:

d e ˆ

_t

dt ⊥ e ˆ

_t

,

d. h. die Beschleunigung a steht senkrecht auf der Geschwindigkeit v. Der Vektor d e ˆ

_t

/ dt gibt an, mit wel- cher Winkelgeschwindigkeit sich die Tangente dreht.

Da e ˆ

_t

immer senkrecht auf dem Radiusvektor steht,

drehen sich beide Vektoren mit der gleichen Win-

2.4. Bewegungen mit nicht-konstanter Beschleunigung 47

kelgeschwindigkeit ω = dϕ/dt, d. h. für den Betrag gilt: |deˆ_t/dt| = ω. Deshalb erhalten wir für die Be- schleunigung

a = v · deˆ_t

dt = R · ω²eˆ_a = −Rω²rˆ , (2.14) wobei der Einheitsvektor eˆ_a = −rˆ immer zum Mittel- punkt des Kreises, also in Richtung von −R zeigt.

BEWEIS r =

!R · cos ωt R · sin ωt

"

,

v =

! −R · ω · sin ωt R · ω · cos ωt

"

,

a =

!−Rω² cos ωt

−Rω² sin ωt

"

= −ω² · r = −Rω² · ˆr .

Der Beschleunigungsvektor bei der gleichförmi- gen Kreisbewegung ist also

a = −Rω²rˆ

mit |a| = R · ω²

und heißt Zentripetalbeschleunigung, weil a zum Kreiszentrum zeigt.

Will man auch die räumliche Lage der Ebene angeben, in der die Bewegung abläuft, so ist es zweckmäßig, einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω anzugeben, der senkrecht auf der Bewegungsebene steht (Normalenvektor) (Abb. 2.10b) und dessen Betrag ω = dϕ/dt = v/R ist.

2.4.2 Die allgemeine krummlinige Bewegung

Im allgemeinen Fall wird v sich nach Betrag und Rich- tung ändern. Immer ist aber v in jedem Bahnpunkt P Tangente an die Bahnkurve. Die Beschleunigung a kann allerdings eine beliebige Richtung haben. Sie lässt sich jedoch immer zerlegen in eine Komponente tangential zur Bahnkurve und eine Komponente nor- mal zur Bahn (d. h. senkrecht auf der Bahntangente (Abb. 2.11)).

Abb. 2.11. Tangential- und Normalbeschleunigung

Sei v = v · ˆe_t, wobei eˆ_t der Einheitsvektor in Tan- gentenrichtung ist. Dann gilt für die Beschleunigung

a = dv

dt = dv

dt · ˆe_t + v deˆ_t

dt = a_t + a_n . (2.15) Die Tangentialbeschleunigung a_t = dv/dt · ˆe_t ist ein Vektor in Tangentialrichtung, also parallel zu v.

Die Änderung des Betrages der Geschwindigkeit wird durch |a_t| = dv/dt beschrieben.

Die Normalbeschleunigung a_n = v · deˆ_t/dt ist ge- mäß (2.14) ein Vektor senkrecht auf der Tangente, also in Normalenrichtung. Er beschreibt die Änderung der Richtung der Geschwindigkeit.

Ist a_n = 0, so durchläuft der Massenpunkt eine Ge- rade. Für eine gekrümmte Bahn muss a_n ̸= 0 sein. Für a_t = 0 läuft der Massenpunkt mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit auf einer Kurve, deren Verlauf durch a_n bestimmt wird. Im Beispiel des freien Falles war a_n ≡ 0, und a_t = const, während bei der gleich- förmigen Kreisbewegung a_t ≡ 0 und a_n = const ̸= 0 galt.

Wir wollen jetzt die Beschleunigung für beliebi- ge krummlinige Bewegungen berechnen: Wir legen die x-y-Ebene in die Ebene der beiden Vektoren a und v, d. h. alle Vektoren haben die z-Komponente Null. Nach Abb. 2.12 gilt für die beiden zuein- ander senkrechten Einheitsvektoren eˆ_t und eˆ_n mit eˆ_t = {cos ϕ, sin ϕ, 0}:

eˆ_t = cos ϕ eˆ_x + sin ϕ eˆ_y , eˆ_n = cos #

ϕ + ^π₂ $

eˆ_x + sin #

ϕ + ^π₂ $ eˆ_y

= − sin ϕ eˆ_x + cos ϕ eˆ_y .

48 2. Mechanik eines Massenpunktes

Abb. 2.12. Zur Herleitung der Normalbeschleunigung

Also ist:

d e ˆ

_t

dt = − sin ϕ dϕ

dt e ˆ

_x

+ cos ϕ dϕ

dt e ˆ

_y

= dϕ

dt e ˆ

_n

.

Die Normalbeschleunigung ist daher a

_n

= v · dϕ

dt e ˆ

_n

.

Wir betrachten nun ein infinitesimal kleines Kur- venstück zwischen den Punkten A und A

^′

in Abb. 2.13 und nähern dieses Kurvenstück durch den Kreisbogen A A ⌢

^′

mit dem Mittelpunkt M an. (In der Differen- tialgeometrie wird gezeigt, dass dies bei beliebigen, zweimal stetig differenzierbaren ebenen Kurven immer möglich ist.) Macht man das Kurvenstück ⌢

A A

^′

immer kürzer, d. h. lässt man A und A

^′

gegen den Punkt P

₁

streben, so wird sich die Kurve im Bereich ⌢

A A

^′

immer mehr an einen Kreisbogen mit Radius MP

₁

annähern;

ϱ = MP

₁

heißt der Krümmungsradius der Kurve im Punkte P

₁

. Dann gilt für das Bogenelement

ds = ϱ dϕ dϕ

dt = dϕ ds

ds

dt = dϕ

ds · v = 1

ϱ v .

Deshalb erhält man für den Beschleunigungsvektor

a = dv

dt e ˆ

_t

+ v

²

ϱ e ˆ

_n

(2.16)

Abb. 2.13. Lokaler Krümmungsradius einer beliebigen

krummlinigen Bahnkurve

und für den Betrag der Gesamtbeschleunigung:

| a | = a =

!" dv dt

#

2

+ v

⁴

ϱ

²

. (2.17)

Die Normalbeschleunigung ist also proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit und umgekehrt propor- tional zum Krümmungsradius ϱ der Bahnkurve. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist dv/ dt = 0, und man erhält mit ϱ = R: | a | = v

²

/ R = ω

²

· R.

BEISPIELE

1. Die Beschleunigung a(x ) = b · x

⁴

einer geradlini- gen Bewegung sei als Funktion des Ortes bekannt.

Man berechne v( x ) für die Anfangsbedingung v(x

₀

) = v

₀

.

LÖSUNG a = dv

dt = dv

d x · d x

dt = dv

d x · v ,

$

x

x₀

a d x =

$

v

v₀

v dv .

Einsetzen von a und Integration ergibt

15

b %

x

⁵

− x

₀⁵

&

=

¹₂

%

v

²

(x ) − v

₀²

& , woraus folgt:

v(x ) = '

25

b %

x

⁵

− x

₀⁵

&

+ v

²₀

.

2. Auf den geöffneten Fallschirm eines Fallschirm- springers wirkt infolge der Luftreibung die Brems- beschleunigung a = − bv

²

mit der Konstanten b = 0,3 m

⁻¹

.

a) Wie groß ist die konstante Endgeschwindigkeit v

_e

des Springers?

b) Wie sieht v(t) aus, wenn der Springer im freien Fall (Reibung vernachlässigt) bei t = t

₀

= 10 s und der Geschwindigkeit v

₀

plötzlich seinen Schirm öffnet?

LÖSUNG

a) Konstante Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn die Gesamtbeschleunigung Null wird:

g − bv

_e²

= 0 , v

_e

= (

g/b = 5,7 m/s .

48 2. Mechanik eines Massenpunktes

Abb. 2.12.

Zur Herleitung der Normalbeschleunigung

Also ist:

d e ˆ

_t

dt = − sin ϕ dϕ

dt e ˆ

_x

+ cos ϕ dϕ dt e ˆ

_y

= dϕ

dt e ˆ

_n

.

Die Normalbeschleunigung ist daher a

_n

= v · dϕ

dt e ˆ

_n

.

Wir betrachten nun ein infinitesimal kleines Kur- venstück zwischen den Punkten A und A

^′

in Abb. 2.13 und nähern dieses Kurvenstück durch den Kreisbogen A A ⌢

^′

mit dem Mittelpunkt M an. (In der Differen- tialgeometrie wird gezeigt, dass dies bei beliebigen, zweimal stetig differenzierbaren ebenen Kurven immer möglich ist.) Macht man das Kurvenstück A A ⌢

^′

immer kürzer, d. h. lässt man A und A

^′

gegen den Punkt P

₁

streben, so wird sich die Kurve im Bereich ⌢

A A

^′

immer mehr an einen Kreisbogen mit Radius MP

₁

annähern;

ϱ = MP

₁

heißt der Krümmungsradius der Kurve im Punkte P

₁

. Dann gilt für das Bogenelement

ds = ϱ dϕ dϕ

dt = dϕ ds

ds

dt = dϕ

ds · v = 1

ϱ v .

Deshalb erhält man für den Beschleunigungsvektor

a = dv

dt e ˆ

_t

+ v

²

ϱ e ˆ

_n

(2.16)

Abb. 2.13.

Lokaler Krümmungsradius einer beliebigen krummlinigen Bahnkurve

und für den Betrag der Gesamtbeschleunigung:

| a | = a =

!" dv dt

#

2

+ v

⁴

ϱ

²

. (2.17)

Die Normalbeschleunigung ist also proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit und umgekehrt propor- tional zum Krümmungsradius ϱ der Bahnkurve. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist dv/ dt = 0, und man erhält mit ϱ = R: | a | = v

²

/ R = ω

²

· R.

BEISPIELE

1. Die Beschleunigung a(x ) = b · x

⁴

einer geradlini- gen Bewegung sei als Funktion des Ortes bekannt.

Man berechne v(x ) für die Anfangsbedingung v(x

₀

) = v

₀

.

LÖSUNG a = dv

dt = dv

d x · d x

dt = dv

d x · v ,

$

x

x₀

a d x =

$

v

v₀

v dv .

Einsetzen von a und Integration ergibt

15

b %

x

⁵

− x

₀⁵

&

=

¹₂

%

v

²

(x ) − v

₀²

& , woraus folgt:

v(x ) = '

25

b %

x

⁵

− x

₀⁵

&

+ v

₀²

.

2. Auf den geöffneten Fallschirm eines Fallschirm- springers wirkt infolge der Luftreibung die Brems- beschleunigung a = − bv

²

mit der Konstanten b = 0,3 m

⁻¹

.

a) Wie groß ist die konstante Endgeschwindigkeit v

_e

des Springers?

b) Wie sieht v(t) aus, wenn der Springer im freien Fall (Reibung vernachlässigt) bei t = t

₀

= 10 s und der Geschwindigkeit v

₀

plötzlich seinen Schirm öffnet?

LÖSUNG

a) Konstante Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn die Gesamtbeschleunigung Null wird:

g − bv

²_e

= 0 , v

_e

= (

g/b = 5,7 m/s .

“Harmonische” Bewegungen, Kreisbewegung

Isaac Newton 1689

http://royalsociety.org/library/turning-the-pages/