Lichtgeschwindigkeit Versuchsauswertung

Lichtgeschwindigkeit Versuchsauswertung

Marco A. Harrendorf, Thomas Keck, Gruppe: Mo-3 Karlsruhe Institut f¨ur Technologie, Bachelor Physik

Versuchstag: 22.11.2010

Inhaltsverzeichnis

1 Drehspiegelmethode 3

2 Messdaten 3

3 Berechnung der Lichtgeschwindigkeit 4

3.1 Fehlerrechnung . . . 5 3.2 Endergebnis . . . 7 3.3 Verbesserungsvorschl¨age . . . 7

4 Brechzahlbestimmung 7

4.1 Fehleranalyse . . . 8

Literatur 10

1 Drehspiegelmethode

Der Versuch wurde entsprechend der Vorbereitung aufgebaut und wie in der Aufgabenstellung beschrieben justiert. Die Drehfrequenz des Motors wurde mit der Stimmgabel bestimmt und mit der digitalen Anzeige verglichen. Hierbei wurde ebenfalls der Fehler f¨ur die Drehfrequenzan- zeige abgesch¨atzt.

2 Messdaten

Gemessen wurde der Lichtmarkenort in Abh¨angigkeit von der Drehfrequenz des Spiegels. Ins- gesamt wurden hierbei 36 Messwerte genommen, jedoch konnte der Lichtmarkenort nur sehr ungenau abgelesen werden:

Ablenkungdx[mm] Frequenzf_{Dreh min}^U

0.3 2500

0.4 3000

0.5 3500

0.6 4000

0.6 4500

0.7 5000

0.7 5500

0.7 6000

0.8 6500

0.8 7000

0.9 7500

1.0 8000

1.0 8500

1.1 9000

1.1 9500

1.2 10000

1.3 11000

1.5 12000

1.7 13000

1.8 14000

1.8 15000

1.9 16000

2.05 17000

2.2 18000

2.3 19000

2.5 20000

2.7 21000

2.8 22000

2.9 23000

3.0 24000

3.1 25000

3.2 26000

3.4 27000

3.5 28000

3.7 29000

3.8 30000

Tabelle 1: Messdaten: Ablenkung in Abh¨angigkeit von der Frequenz, der Nullwert wurde jeweil bei 2500, 10000, 25000 neu justiert

3 Berechnung der Lichtgeschwindigkeit

Mit den oben angegebenen Messdaten wurde mithilfe von ROOT eine Geradenregression durch-

statistischer Fehler. Wie in Formel 3.1 angegeben. Die Formel zur Berechnung wurde dabei bereits in der Vorbereitung hergeleitet.

Abbildung 1: Auswertung der Messwerte mit ROOT

3.1 Fehlerrechnung

F¨ur die beiden Messgr¨oßen, DrehfrequenzfDrehund die Lichtmarkenauslenkungdxwurde ein systematischer Fehler abgesch¨atzt. Desweiteren waren die Strecken von Laseraustritts¨offnung,

¨uber den Drehspiegeld₁, zum Umlenkspiegeld₂ und bis zum Endspiegeld₃, ebenfalls fehler- behaftet. ¨Uber die Gaußsche Fehlerfortpflanzung, ergibt sich so ein systematischer Fehler f¨ur die Gesamtmessung, sowie mithilfe der Regression ein statistischer Fehler, f¨ur unsere Lichtge- schwindigkeitsmessung:

y=f(x₁, x₂, ..., x_n)

∆y= v u u t

n

X

i=1

φΘ ∂f

∂x_i ·∆x_i

(1)

Die zur Lichtgeschwindigkeitsberechnung verwendete Formel:

c= 8π·f_Dreh·d1·(d2+d3)

dx (2)

dx=x₀−x (3)

Drehfrequenz f_Dreh ∆f_Dreh=±120_min^U =±2Hz Laser-Drehspiegel d₁ = 6.579m ∆d₁=±1cm =±0.01m Dreh-Umlenkspiegel d2 = 7.23m ∆d2=±1cm =±0.01m Umlenk-Endspiegel d₃ = 6.57m ∆d₃=±1cm =±0.01m Lichtmarkenauslenkung dx ∆dx=±0.1mm =±0.0001m

Nullpunkteichung x0 ∆x0 =±0.1mm =±0.0001m Tabelle 2: Verwendete Gr¨oßen und deren Fehler

Der statistische Fehler der Messung, dieser wird durch die Ableseungenauigkeit der Lichtmar- kenauslenkung und den Fehler der Drehfrequenz des Spiegels, bestimmt. Die Messwerte wurden von ROOT anhand dieser Messfehler gewichtet und ein Gesamtfehler berechnet. Dies entspricht dem statistischen Fehler der Messung, da dieser Fehler durch weitere Messungen immer kleiner wird, ja sich Fehler gegenseitig herausmitteln.

∆c_einzel= 8π· v u u t

n

X

i=1

∂f

∂x_i ·∆xi

2

= 8π· s

∂f

∂f_Dreh ·∆f_Dreh 2

+ ∂f

∂dx ·∆dx 2

= 8π· s

d1·(d2+d3)

dx ·∆f_Dreh 2

+

−f_Dreh·d1·(d2+d3)

dx² ·∆dx

2

In Schaubild 1 sind diese Fehler als vertikale Balken dargestellt. Der Gesamtfehler nach der Regression, ist wie oben bereits erw¨ahnt, der statistische Fehler, der ebenfalls in Schaubild 1 angegeben ist.

Der systematische Fehler besteht aus der Ungenauigkeit der Nullpunkteichung, und den Feh- lern der einzelnen Strecken, die das Licht im Experiment zur¨ucklegen muss. Zur Absch¨atzung

des Fehlers wird der Fehler der gr¨oßten gemessenen Ablenkung verwendet.

∆c= 8π· v u u t

n

X

i=1

∂f

∂x_i ·∆x_i 2

= 8π· s

∂f

∂d1

·∆d₁ 2

+ ∂f

∂d2

·∆d₂ 2

+ ∂f

∂d3

·∆d3

2

+ ∂f

∂x0

·∆x0

2

= 8π· s

fDreh·(d2+d3) dx ·∆d1

2

+

fDreh·d1

dx ·∆d2

2

+ f_Dreh·d1

dx ·∆d3

2

+

−f_Dreh·d1·(d2+d3) dx² ·∆x0

2

Der systematische Fehler ist in Schaubild 1 ebenfalls mit angegeben.

3.2 Endergebnis

Messwerte aus Tabelle 1 c= (3.040·10⁸±2.49·10⁶±7.91·10⁶)^m_s

Tabelle 3: Ergebnis der Lichtgeschwindigkeitsmessung mit der Drehspiegelmethode. Wert ± Statistischer Fehler±Systematischer Fehler

Die Messung best¨atigt den Literaturwert vonc = 299792458^m_s innerhalb der Messungenau- igkeit

3.3 Verbesserungsvorschl ¨age

1. Anstatt einer Milimeterskala, sollte eine feinere Skala gew¨ahlt werden, sodass die Licht- markenauslenkung genauer bestimmt werden kann.

2. Die Drehfrequenzanzeige schwankte sehr stark, es ist jedoch unklar, ob dies am Messin- strument, oder am Motor selbst liegt. Je nachdem sollte eine der Komponenten verbessert werden.

3. Je gr¨oßer die Drefrequenz und je gr¨oßer die Auslenkung desto kleiner sind die relativen Fehler beim Ablesen der beiden Werte. F¨ur zu große Ablenkungen sollte man hierbei jedoch auf die Kleinwinkeln¨aherung verzichten.

4. Der gesamte Versuch k¨onnte im Vakuum stattfinden, da die gemessene Geschwindigkeit sich nat¨urlich auf die Luft bezieht, dies w¨are jedoch sehr aufwendig und br¨achte bei dieser Methode aufgrund des hohen Ablesefehlers bei der Milimeterskala erstmal keinen Vorteil, da der Brechungsindex von Luft mitn= 1.000292sehr nahe an dem des Vakuums ist.

4 Brechzahlbestimmung

Zur Bestimmung der Brechzahl in Wasser un Plexiglas, wurde der Phasenunterschied zwischen der Streckedmit Luft und der gleichen Streckedmit dem jeweiligen Medium gemessen:

In Luft x= 175cm ϕ= 3.65µs In 1 Meter Wasser x= 175cm ϕ= 4.95µs In Luft x= 135cm ϕ= 1.4µs Mit 30cm Plexiglas x= 135cm ϕ= 2.0µs Mit 8cm Plexiglas x= 135cm ϕ= 1.6µs

Tabelle 4: Messdaten: Phasenverschiebung zwischen Luft un Medien

In diesen Rohmessdaten fehlt noch der ZeitdehnungsfaktorΩ = 599.88sowie der Eichfaktor k = 0.53344_cm^µs um aus der Phasenverschiebung am Oszilloskop, die wirkliche Laufzeitdiffe- renz∆tzu erhalten.

Man erkennt deutlich dass der Lichtweg im Medium scheinbar anw¨achst, bzw. die Phasenge- schwindigkeit des Lichts im Medium langsamer ist. Es gilt:

n= c₀ cm

=

s t s t+∆t

= 1 + ∆t

t = 1 + ∆t·c₀

s (4)

F¨ur die gleiche Streckes, die jeweils der Strecke entspricht die durch das Medium ersetzt wird, be¨otigt das Licht∆tl¨anger.∆t= ^ϕ2−ϕ_Ω ¹·kist jedoch aus der Phasenverschiebung zwischen den beiden Messungen bekannt. Die urspr¨ungliche Zeit tist einfach die bekannte Streckesdurch die Lichtgeschwindigkeit ohne Mediumc0, in diesem Fall in Luft!

Hieraus ergibt sich der Brechungsindex f¨ur die jeweiligen Materialien, mit dem in der vorheri- gen Messung bestimmten Lichtgeschwindigkeit in Luft:c0±∆c₀= 2.917e+08±6.849e+06^m_s

Wasser s= 1m n= 1.337 Plexiglas s= 0.3m n= 1.518 Plexiglas s= 0.08m n= 1.648

Tabelle 5: Gemessener Brechungsindex f¨ur die Medien

4.1 Fehleranalyse

1. Die Hauptfehlerquelle war der Ablesefehler auf dem Oszilloskop, dieser wird mit∆ϕ=

±0.05abgesch¨atzt. Der Fehler von∆tergibt sich ¨uber Gr¨oßtfehlerabsch¨atzung damit zu:

δt= 8.89∗10⁻¹¹s

2. Weiterhin ergibt sich bei dem Wasserohr durch die beiden Ein- und Austrittsfenster des Rohres im Lichtweg eine weitere Fehlerquelle, da der Brechungsindex von Glas im All- gemeinen h¨oher als der von Wasser ist, kann man vermuten, dass der gemessene Bre-

chungsindex zu groß sein wird. Dieser Fehler ist prinzipiell vermeidbar, indem 2 bau- gleiche Rohre, mit unterschiedlicher L¨ange vermessen werden und deren Phasendifferenz bestimmt wird.

3. Die in 2.1 bestimmte Lichtgeschwindigkeit in Luft ist fehlerbehaftet mit: c0 ±∆c0 = 2.917e+ 08±6.849e+ 06^m_s

4. Die vermessenen Strecken sind laut Aufgabenstellung nicht fehlerbehaftet, der Fehler wird hier also vernachl¨assigt, dieser Fehler, im Bereich von ∆s = 0.001m ist jedoch geringer als der Ablesefehler auf dem Oszilloskop und kann vernachl¨assigt werden.

Mit Gauß ergibt sich:

∆n= v u u t

n

X

i=1

∂f

∂x_i ·∆xi

2

= s

∂f

∂c₀ ·∆c₀ 2

+ ∂f

∂∆t·δt 2

= s

∆t s ·∆c0

2

+ c0

s ·δt 2

Wasser s= 1m n= 1.337±0.027 Plexiglas s= 0.3m n= 1.518±0.087 Plexiglas s= 0.08m n= 1.648±0.324

Tabelle 6: Gemessener Brechungsindex f¨ur die Medien mit Fehlern

Alle 3 gemessenen Werte passen innerhalb der Unsicherheit sehr gut mit den Literaturwerten zusammen.

Literatur

[Aufgabenstellung] Aufgabenstellung der Versuche P1-42,44 [Vorbereitungshilfe] Vorbereitungshilfe zu den Versuchen P1-42,44

[Demtroeder] Demtr¨oder, W.: Experimentalphysik 2 – Elektrizit¨at und Optik, 3. Auflage, 2004