Geheimnisse des Pythagoras

GEHEIMNISSE DES PYTHAGORAS Rätselhaftes rund um den Satz des Pythagoras – Bestell-Nr. P11 833

Inhalt

Vorwort Dreiecke

Prüfung für Dreiecke (Blatt 1 und Blatt 2)

Eigenschaften von Dreiecken und Berechnungen im Kreuzzahlrätsel (Blatt 1 und Blatt 2)

Begriffe am rechtwinkligen Dreieck kreuz und quer (Blatt 1 und Blatt 2) Der Satz des Pythagoras – Grundlagen

Biografisches zu Pythagoras – Ein Kreuzworträtsel (Blatt 1 und Blatt 2) Beweise zum Satz des Pythagoras (Blatt 1 und Blatt 2)

Pythagoras lyrisch

Jetzt geht es an die Wurzeln – Bereitstellen von Rechenfertigkeiten Aufgaben zum Satz des Pythagoras

Kreuzzahlrätsel zum Satz des Pythagoras Pythagoreische Tripel

Weisheiten auf den Kopf gestellt – Lässt sich der Satz des Pythagoras umkehren?

Aufgaben zur Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Anwendung des Satzes des Pythagoras bei Flächen und Körpern (Blatt 1 und Blatt 2)

Höhen- und Kathetensatz als Geschwister des Satzes des Pythagoras – Der Höhensatz

Höhen- und Kathetensatz als Geschwister des Satzes des Pythagoras – Der Kathetensatz (Blatt 1 und Blatt 2)

Der Satz des Thales (Blatt 1 und Blatt 2)

Problemlösen mit Zirkel, Zeichendreieck und Lineal (Blatt 1 und Blatt 2) Lustige Figuren zur Satzgruppe des Pythagoras

Das große Aufgabenpuzzle zur Satzgruppe des Pythagoras (Blatt 1 – Blatt 3) Anwendung der Berechnung rechtwinkliger Dreiecke in der Märchenpraxis (Blatt 1 und Blatt 2)

Berechnungen an der Cheopspyramide (Blatt 1 und Blatt 2) Sinus und Kosinus – ein Ausblick für Wissbegierige

Der trigonometrische Pythagoras

Der Kosinussatz erweitert den Satz des Pythagoras (Blatt 1 und Blatt 2 ) Die Behauptung von Fermat

Pythagoras trees (Blatt 1 und Blatt 2) Lösungen

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

4 5 6 - 7 8 - 9

10 - 11 12 13 - 14 15 - 16 17 18 19 20 21 22

23 24 - 25

26

27 - 28

29 - 30 31 - 32 33 34 - 36 37 - 38

39 - 40 41 - 42 43 44 - 45 46 47 - 48 49 - 66 Seite

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Inhalt

Die Kenntnis der Gesetze am rechtwinkligen Dreieck mit dem Lehrsatz des Pythagoras an erster Stelle und deren vielfältigen Anwendungen gehören zu den grundlegenden Bildungsinhalten des Mathematikunterrichts aller Schularten.

Vorliegendes Heft bietet zahlreiche Aufgaben zum Üben und Festigen des Lehrsatzes des Pythagoras, des Katheten- und Höhensatzes sowie deren Anwendungen beim Lösen innermathematischer Probleme, bei Konstruktionsaufgaben und bei praktischen Sachverhalten.

Die Anforderungen bei den Aufgabenstellungen reichen von einfachen Übungen und Konstruktionen bis zum Nachweisen, Begründen und Beweisen. Auch kreative Lösungs- ansätze, die mit Ausdauer und Zielstrebigkeit zur Problemlösung führen, sind gefragt.

So wird auch die Frage aufgeworfen, ob der „Satz des Pythagoras“ im erweiterten Sinne auch für andere natürliche Exponenten, die größer als zwei sind, gilt und die knobelfreu- digen Schüler werden dahin gelockt, an einer Begründung von Fermats Behautung zu

„basteln“. Auch gilt – für Vieles nutzbar – die Umkehrung des Satzes des Pythagoras, was die Schüler leicht einsehen. Die allgemeine Frage nach der Umkehrbarkeit von Wahrheiten und mathematischen Sätzen wird untersucht.

Historische und biographische Aspekte ergänzen allgemeinbildend die mathematischen Aufgaben, denn Pythagoras soll den Schülern nicht nur als Vater des berühmten, nach ihm benannten Lehrsatzes vorgestellt werden, sondern auch als allseitig forschender Gelehrter seiner Zeit.

Die letzten Kapitel geben Wissbegierigen schon einen kleinen Ausblick auf trigonome- trische Begriffe wie Sinus und Kosinus und bereiten die Schüler darauf vor, dass eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras für die Berechnung an

allgemeinen Dreiecken nötig ist.

Das uralte Thema „Satz des Pythagoras“ wird – und das ist das Besondere an diesem Heft – in Rätsel, Puzzles, Märchen und ma- thematisch verästelte Bäume eingebunden, sodass die Schüler beim Bearbeiten der entsprechenden Aufgaben zu Zielstrebigkeit und Ausdauer beim Rechnen, Rätseln und Knobeln motiviert werden und Freude bei der Arbeit mit vorliegendem Material haben.

Viel Freude und Erfolg beim Einsatz der vorliegenden Kopiervorla- gen wünschen Ihnen der Kohl-Verlag und

Barbara Theuer

Vorwort

Bedeutung der Symbole:

EA PA

GA

GA Einzelarbeit

Arbeiten in kleinen Gruppen Rechne in deinem

Heft/Ordner

Partnerarbeit

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Inhalt

Vorwort

1 ^Dreiecke

EA

EA

Aufgabe 1: Schüler verwenden für den Mathematikunterricht folgende beide Arten von rechtwinkligen Dreiecken.

Aufgabe 2: Mathe - Tangram

Mit welchem dieser beiden Dreiecke kannst du ohne Winkelmesser einen Winkel von 45 Grad zeichnen? Begründe deine Antwort und weise sie durch Rechnung nach. Benenne vorher die Dreiecke (1) und (2) in der üblichen Weise wie in unten angegebenem Beispiel.

a) Schneide die vier kongruenten Dreiecke aus und lege mit diesen Bausteinen ein Dreieck.

b) Zeichne hier das Bild des entstandenen Dreiecks einschließlich der Teildreiecke.

c) Begründe, dass sich bei Verwendung kongruenter gleichseitiger Dreiecke als Bausteine durch Zusammensetzen ebenfalls wieder ein gleichseitiges Dreieck ergibt.

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• (1) Innenwinkelsatz

• (2) Seitenwinkelbeziehung

• (3) Dreiecksungleichung

• (4) Kongruenzsätze Gebote

Es genügt nicht, drei Bestimmungsstücke aus Winkeln und Seiten anzugeben, um ein Dreieck zu definieren bzw. eindeutig zu konstruieren. Es müssen folgende Sätze erfüllt werden:

Alle folgend verwendeten Symbole, Gleichungen und Ungleichungen beziehen sich auf ein Dreiecke mit der Benennung wie oben im Kasten.

1. Innenwinkelsatz

Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck 180 Grad.

α + β + γ = 180°

2. Dreiecksungleichung

Jede Seite in einem beliebigen Dreieck ist höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten.

c ≤ a + b b ≤ a + c und a ≤ b + c

4. Kongruenzsätze Zwei Dreiecke, die in ...

- ihren drei Seitenlängen SSS - zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel SWS - einer Seitenlänge und in den

dieser Seite anliegenden

Winkeln übereinstimmen WSW - zwei Seitenlängen und in

jenem Winkel übereinstim- men, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, sind

kongruent. SsW 3. Seiten-Winkel-Beziehung

In jedem Dreieck liegt der größeren von zwei Seiten auch der größere Winkel gegenüber.

Aus a > b folgt α > β, a > c folgt α > γ, und b > c folgt β > γ

EA

Aufgabe 1: (siehe Blatt 2):

Nicht jedes Tripel von Seiten und Winkeln beschreibt ein Dreieck. Einige der folgenden Tripel werden den Anforderungskriterien an Dreiecke nicht standhalten, weil elementare Gebote verletzt werden. Prüfe nachfolgende Angaben. Schreibe die Buchstaben zur Kennzeichnung der Tripel, welche Dreiecke nicht eindeutig beschreiben in den Papierkorb. Die „Abfallbuchsta- ben“ ergeben geschüttelt ein Lösungswort. Sämtliche Angaben beziehen sich auf Dreiecke mit der Bezeichnung wie oben im Kasten.

2 Prüfung für Dreiecke

1

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2

Vorsicht!

Falsche Dreiecke!

Blatt

2

Lösungswort

a = 8 cm, β = 110° , γ = 30°

A

α = 30°, c = 5 cm, β = 120°

B

a = 8 cm, β = 120°, c = 6 cm C

a = 8 cm, b = 8 cm, c = 6 cm D

b = 12 cm, β = 120° , γ = 60°

E

a = 5 cm, b = 5 cm , c = 5 cm F

a = 6 cm, β = 55°, c = 6 cm G

b = 8 cm, α = 30° , γ = 60°

H

c = 8 cm, a = 12 cm , γ = 90°

I a = 8 cm, b= 5 cm , γ =120°

J

α = 70°, β = 12° , γ = 99°

K a = 8 cm, b = 6cm, c = 15 cm

L M a = 9 cm, b = 7 cm , c = 7 cm

a = 8 cm, b = 12 cm , c = 4 cm

N O β = 120° , b = 8 cm, c = 5 cm

a = 8 cm, α = 110° , γ = 20°

U a = 1 cm, b = 1 cm , c =1 cm

P

a = 8 cm, β = 45° , γ = 75°

V

α = 8 cm, b = 7 cm , c = 5 cm Q

β = 120° , b = 5 cm, c = 6 cm W

β = 90° , γ = 45° , a = 6 cm R

b = 8 cm, α = 50° , γ = 40°

X

c = 8 cm, β = 120° , a = 4 cm S

γ = 30°, c = 8 cm, β = 70°

Y

a = 8 cm, b = 8 cm , γ = 90°

T

β = 10° , c = 10 cm , a = 10 cm Z

Falsche Dreiecke

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3

2

Kontrollergebnis:

Die Summe aller waagerecht eingetragenen Ergebnisse und aller senkrecht eingetragenen Ergebnisse (insgesamt 18) beträgt 6107. Rechne in deinem Heft/Ordner.

Lösungsfeld

a)

q)

n) l)

e)

j) j)

c)

m)

r) p)

b)

f)

g)

d)

k)

EA

Aufgabe 2: Ein geometrisches Zahlenrätsel

In einem rechtwinkligen Dreieck unterscheiden sich die Seiten jeweils um 2 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 24 cm².

Ermittle die Länge aller Dreieckseiten.

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18

Der Satz des Thales 2

Der Satz des Thales besagt:

Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck.

EA

EA

Aufgabe 3: Beweise den Satz des Thales. Benutze nebenstehende Skizze.

Auf folgende Voraussetzungen kannst du zurückgreifen:

- In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.

- Die Winkelsumme beträgt 180°.

Aufgabe 4: Berechne den Winkel β in nebenstehender Skizze, wenn gilt: α = 20°.

A M B

C

α

γ1 γ2

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19 Problemlösen mit Zirkel, Zeichendreieck und Lineal

Blatt

1

EA

Aufgabe 1: Zu einem gegebenen Rechteck soll ein flächen- gleiches Quadrat konstruiert werden.

a) Benenne in der Zeichnung die Punkte und Strecken sinnvoll passend zu untenstehendem Text und ergänze den Text zu einer Konstruk- tionsbeschreibung.

b) Führe die Konstruktion aus. Bei Platzmangel zeichne in dein Heft/Ornder.

- Zu einem gegebenen Rechteck DEFA mit den Seiten ___ und ___

soll ein flächengleiches Quadrat konstruiert werden.

- Dazu dreht man die Seite ___ des Rechtecks mit dem Drehwinkel von 90° entgegen dem Uhrzeiger um den Punkt F. Den rechts liegenden Endpunkt der Strecke q nennen wir B.

- Die Strecke AB fassen wir nun als ___________________ eines rechtwinkligen Dreiecks auf, wobei p und q die Hypotenusen- abschnitte bilden.

- Nun wird die Senkrechte im Punkt F, dem Fußpunkt der __________ , errichtet.

- Da die Maßzahl der Höhe h = FC unbekannt ist, nutzen wir den Satz des _________________, um den Punkt C zu konstruieren.

- Den __________________ des Thaleskreises erhalten wir, indem wir den Mittelpunkt M der Strecke AB mit dem Zirkel konstruieren und dann einen Kreis mit dem Radius r = MB = MA um M zeichnen.

- Der _______________________ des Thaleskreises mit der Senk- rechten in F ist der gesuchte Punkt C des Dreiecks mit dem rechten Winkel bei C.

- Da nach dem _________________ gilt h² = p ^∙ q, ist die Strecke h = FC Seite eines mit Rechteck DEFA flächengleichen Quadrates, welches nun ergänzt wird.

A P F

q

D E

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19

Problemlösen mit Zirkel, Zeichendreieck und Lineal 2

EA

EA

Aufgabe 2: a) Stelle die irrationale Zahl √5 geometrisch dar, indem du das Verfahren im untenstehenden Bild fortsetzt.

Aufgabe 3: a) Wie groß muss p gewählt werden, damit unter den Voraussetzungen nebenstehender Skizze für die Höhe h = √x gilt? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

b) Zeige durch Rechnung, dass die von dir konstruierte Strecke tatsächlich √5 beträgt.

b) Konstruiere nach diesem Verfahren eine Strecke der Länge √3. Wähle den gleichen Maßstab wie bei Aufgabe 2. Vergleiche abschließend die Konstruktionsergebnisse für die Strecken der Länge √3.

Skizze nicht maßstäblich.

Maßstab: 1 entspricht 3 cm

A B

C

C‘

h = √x

p q = x

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20 Lustige Figuren zur Satzgruppe des Pythagoras

EA

EA

EA

Aufgabe 1: Nach welchem Satz wurde Figur A gezeichnet?

Aufgabe 2: Ergänze die zweite Figur zum Thema „Vater und Sohn“.

Welchen Satz soll Figur B veranschaulichen?

Aufgabe 3: Zeichne die Grundfigur zum Höhensatz und gestalte aus dieser Figur einen Hund (Figur C).

Figur A Figur B

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21 Das große Aufgabenpuzzle

zur Satzgruppe des Pythagoras

Blatt

1

EA

Aufgabe 1: Löse die folgenden Aufgaben.

Die Lösungen findest du ungeordnet in der Wühlkiste mit Lösungs- bausteinen auf Blatt 3. Die Bausteine sind mit Buchstaben gekenn- zeichnet. Ein Lösungsbaustein und somit ein Lösungsbuchstabe kann zu verschiedenen Aufgaben passen.

Die Nummerierung der Buchstabenfelder für den Lösungsspruch auf Blatt 3 entspricht der Nummerierung der Aufgaben. Zu jeder Num- mer gehört ein Buchstabe. Da einige Aufgaben die gleiche Zahl als Ergebnis haben, werden die Buchstaben mitunter mehrfach verge-

ben. Wenn du die Aufgaben richtig gelöst hast und die Zuordnung passend vorge- nommen hast, erhältst du einen Ausspruch von Pythagoras.

1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 3 cm und die Hypotenuse 5 cm lang.

Welche Länge hat die zweite Kathete?

2. Gesucht ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten 5 cm und 4 cm lang sind.

3. Wie lang sind die Seiten eines Quadrates, wenn sein Flächeninhalt 2 cm² beträgt?

4. Wie lang ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten 10 cm und 24 cm lang sind?

5. Gesucht ist die kürzere der beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Höhe die Hypotenuse in zwei Abschnitte der Länge 4 cm und 32 cm teilt.

6. Ein Rechteck ist 15 cm lang und 8 cm breit. Wie lang ist seine Diagonale?

7. Wie lang ist die Raumdiagonale eines Quaders, der 8 cm lang, 4 cm hoch und 1 cm tief ist?

8. In einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten √5 cm lang.

Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat über der Hypotenuse?

9. Die Raumdiagonale eines Würfels ist 20 ^∙ √3 cm lang. Wie lang sind die Seiten des Würfels?

10. Wenn man zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm passend aneinander legt, erhält man ein Rechteck. Wie groß ist sein Flächeninhalt?

11. In einem rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Höhe die Hypotenuse in zwei Abschnitte der Länge 2 cm und 8 cm. Berechne die Höhe.

12. Wie lang ist die längere Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn die kürzere Kathete 5 cm lang ist und die Hypotenuse eine Länge von 13 cm hat?

13. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck hat einen Flächeninhalt von 400 cm². Welches Maß hat die Höhe?

14. Gesucht ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge 6 cm.

15. Wie lang ist die Hypotenuse in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck, wenn seine Katheten jeweils 1 cm lang sind?

16. Die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks bilden ein pythagoreisches Tripel. Die Länge der Hypotenuse beträgt 29 cm. Wie lang ist die kürzere Aufgaben

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21

2

17. Welche Länge haben die Hypotenusenabschnitte in einem gleichschenkligen rechtwink- ligen Dreieck mit der Höhe √2 cm?

18. Die Hypothenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks ist 25 cm lang. Eine Kathete ist nur einen Zentimeter kürzer. Wie groß ist der Umfang des Dreiecks?

19. Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 2 √27 cm. Wie lang sind die Dreiecks- seiten?

20. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 41 cm lang. Wie lang ist die kürzere von beiden Katheten, wenn eine Kathete nur einen Zentimeter kürzer als die Hypotenuse ist?

21. Welche Kantenlänge hat ein Würfel, wenn seine Raumdiagonale 9 ^∙ √3 cm lang ist?

22. Welches Maß hat die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2 ^∙ √(2/3) cm?

23. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrates, wenn seine Diagonale √2 cm lang ist?

24. Die Höhe eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks ist 2 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?

25. Berechne den Flächeninhalt eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks mit einer 2 ∙ √10 cm langen Hypotenuse.

26. Wie lang ist ein Rechteck, wenn seine Diagonale eine Länge von 65 cm hat und das Rechteck 33 cm breit ist?

27. Aus zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten der Längen 11 cm, 60 cm und 61 cm wird ein Rechteck gelegt. Wie groß ist der Umfang dieses Rechtecks?

28. Die Höhe in einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck ist ½ ^∙ √2 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?

Aufgaben (Fortsetzung)

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23 Berechnungen an der Cheopspyramide

1

Die Cheops-Pyramide ist die ältes- te und größte der drei Pyramiden von Gizeh und wird deshalb auch als Große Pyramide bezeichnet. Die höchste Pyramide der Welt wurde als Grabmal für den ägyptischen König (Pharao) Cheops (altägyptisch Chufu) errichtet, der während der 4. Dynastie im Alten Reich regierte (etwa 2620 bis 2580 v. Chr.). Sie wird zu den Sieben Weltwundern der Antike gezählt.

EA

Aufgabe 1: Berechne die Länge der Seitenkante der Cheopspyramide unter Verwen- dung des heutigen Maßes für die Höhe. Entnimm die nötigen Maße obenstehender Tabelle und nutze für deine Berechnungen die nach- folgende schematische Darstellung. Berechne in deinem Heft/Ordner.

Ort Gizeh

Erbauer Cheops

Bauzeit 4. Dynastie

Basismaß* 230,33 m

Höhe (ursprünglich) 146,59 m Höhe (heute) 138,75 m

Volumen 2.583.283 m³

Neigung 51°50′

Kultpyramide ja Königinnenpyramiden 3

* Mit „Basismaß“ ist die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche gemeint.

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