1.1 Beschreibende Statistik der sechsten Klasse
Die beschreibende Statistik stellt mit Hilfe von Diagrammen und Kennzahlen erhobenen Daten in ¨ubersichtlicher Weise dar. Dazu folgendes Beispiel:
Die Unfallstation eines Krankenhauses soll ihrem tats¨achlichen Bedarf entsprechend umgebaut werden. Nun stellt sich offensichtlich die Frage, was man unter dem ” tats¨achlichen Bedarf ” genau versteht und wie man diesen beschreiben kann?
M¨oglichkeiten zur Beschreibung w¨aren zum Beispiel durch die:
• Angabe der Anzahl der Tage eines Monats, welchen voraussichtlich 0, 1, 2, 3,...Bet- ten ben¨otigt werden
• Angabe des zu erwartenden relativen Anteils an Tagen
• Angabe des zu erwartetenden minimalen Bettenbedarfs
• Angabe des zu erwartetenden maximalen Bettenbedarfs
• Angabe des zu erwartetenden durchschnittlichen Bettenbedarfs
• Angabe des zu erwartetenden h¨aufigsten Bettenbedarfs
• ...
Ausgangspunkt f¨ur jede Statistik sind also Daten, die als so genannte Urlisten vorliegen.
Meist ist die ¨Uberschaubarkeit dieser Daten recht eingeschr¨ankt. Aufgrund dessen wer- den die Daten ¨ubersichtlich mit Hilfe von Tabellen und Grafiken dargestellt. Daraus werden statistische Kennzahlen entnommen, welche nat¨urlich einem Informationsverlust unterliegen.
In den folgenden Beispielen werden - f¨ur die Statistik - kleine Stichproben entnommen (dh beispielweise nur 24 Proben), damit die Rechenfertigkeiten einge¨ubt werden k¨onnen.
1.1.1 Darstellung von Daten mit Hilfe von Listen, Tabellen und Histogrammen
Beispiel:
Es liegen zwei verschiedene Urlisten < xi>und < yi >vor, welche die erzielten Punkte einerseits im Geschichte- und andererseits im Physiktest der Klasse 6A angeben. Die Sch¨ulerInnen sind nicht namentlich angef¨uhrt, sondern mit ihren Katalognummern und ihren dazugeh¨origen Testergebnispunkten, wobei die maximale Punktezahl pro Test 48 Punkte ist.
Sch¨ulerIn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
HS -Test 14 14 14 6 8 8 6 14 10 10 14 14 14 10 8 5
PH - Test 12 3 5 6 5 14 14 14 14 11 12 13 14 13 8 6
Die Testpunktergebnisse sollen nun nach den Punkten und nicht mehr nach den Katalognummern geordnet werden. Anschlieend soll eineVerteilungstafel samt Histogrammerstellt werden.
L¨osung:
• Nach Punkten geordnet
HS -Test 5 6 6 8 8 8 10 10 10 14 14 14 14 14 14 14 PH - Test 3 5 5 6 6 8 11 12 12 13 13 14 14 14 14 14
• Verteilungstafel
Punkte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
absolute H¨aufigkeit HS-Test 0 0 0 0 1 2 0 3 0 3 0 0 0 7
absolute H¨aufigkeit PH-Test 0 0 1 0 2 2 0 1 0 0 1 2 2 5
relative H¨aufigkeit HS-Test 0 0 0 0 0,06 0,13 0 0,19 0 0,19 0 0 0 0,44 relative H¨aufigkeit PH-Test 0 0 0,06 0 0,13 0,13 0 0,06 0 0 0,06 0,13 0,13 0,31
• Histogramm
absolute H¨aufigkeit HS-Test
absolute H¨aufigkeit PH-Test
Hinweis:
• Unter derabsoluten H¨aufigkeith1, h2, h3...hn versteht man die Anzahl jener Werte, die diex1, x2, x3...xn annehmen, also h1+h2+h3+....+hn=n!
• Unter der relativen H¨aufigkeit r1, r2, r3...rn versteht man das Verh¨altnis der absoluten H¨aufigkeit zur Gesamtanzahl n des Stichprobenumfangs, also
r1 = hn1, r2 = hn2,...rn= hnn und es gilt: r1+r2+r3+....+rn= 1!
1.1.2 Ermittlung von Minimum, Maximum und Spannweite (Range)
Die Spannweite R gibt die Differenz zwischen demgr¨oßten(Maximum)xmax und dem kleinsten Element (Minimum) xmin der Liste an. Sie gibt sozusagen die Gesamtweite des Verstreut - Liegens an.
Beispiel:
HS-Test: xmax = 14 ,xmin= 1 , R = xmax - xmin = 13 PH-Test: xmax = 14 ,xmin = 1 , R =xmax - xmin = 13
1.1.3 Ermittlung vom durchschnittlichen Wert oder Mittelwert (Mean) Es gibt 2 M¨oglichkeiten zur Berechnung des Mittelwerts, n¨amlich als arithmetisches Mittel oder als gewichtetes Mittel.
• arithmetisches Mittel: x= x1+x2+n +xn
x1, x2, xn: n versch. Merkmalswerte; treten alle mit der H¨aufigkeit 1 auf
• gewichtetes Mittel: x= x1·h1+x2·h2n+ +xn·hn
x1, x2, xm: m verschiedene Merkmalswerte; treten mit den absoluten H¨aufigkeiten h1, h2, hm auf (n =h1+h2+ ... +hm )
• gegl¨attetes arithemisches Mittel: xn+1 = n·xnn+1+xn+1
Diese Rekursionsformel des arithmetischen Mittels wird verwendet, um exaktere Aussagen ¨uber den Mittelwert t¨atigen zu k¨onnen.
Beispiel HS-Test:
aM :x= 14+14+14+6+8+ +5
16 = 10,2625 gM :x= 1·0+2·0+3·0+4·0+ +14·7
16 = 10,2625
1.1.4 Ermittlung des Modalwerts (Modus)
Den Modalwert m nennt man den Wert einer Urliste, der amh¨aufigstenvorkommt. Es kann nat¨urlich auch mehrere Modalwerte geben.
Beispiel:
HS-Test: m = 14 PH-Test: m = 14
1.1.5 Ermittlung des Zentralwerts (Median)
Der Zentralwert z von n Zahlen wird in einer geordneten Liste ermittelt. Er ist
1) f¨ur eine ungerade Anzahl von n Listenelementen die genau in der Mitte stehende Zahl
2) f¨ur eine gerade Anzahl von n Listenelementen dasarithmetische Mittel der beiden in der Mitte stehenden Zahlen
Er teilt somit die Liste in eine untere und obere H¨alfte.
Beispiel:
HS-Test: z = 10
HS -Test 5 6 6 8 8 8 10 10 10 14 14 14 14 14 14 14 PH-Test: z = 12
PH - Test 3 5 5 6 6 8 11 12 12 13 13 14 14 14 14 14
1.1.6 Ermittlung von Quartilen und Veranschaulichung in Kastenschaubildern (Boxplots)
Die Quartilenq1,q2 undq3 vierteln eine geordnete Liste, wobei gilt: q2 =z.
Beispiel:
HS-Test:
HS -Test 5 6 6 8 8 8 10 10 10 14 14 14 14 14 14 14 q1 = 8, q2 = 10, q3= 14
dazugeh¨origer Boxplot:
PH-Test:
PH - Test 3 5 5 6 6 8 11 12 12 13 13 14 14 14 14 14 q1 = 6, q2 = 12, q3= 14
dazugeh¨origer Boxplot:
1.1.7 Standardabweichung
Die Standardabweichung gibt an, wie sehr sich die Merkmalswerte um ihren Mit- telwert verteilen bzw. streuen. Ihre Berechnung erfolgt gem¨aßder Formel:
sx =
q(x1−x)2+(x2−x)2+ +(xn−x)2 n
Eine etwas seltener verwendete M¨oglichkeit eine Abweichung zu errechnen liefert die Folgende.
Es gibt auch eine so genannte mittlere lineare bzw.absolute Abweichung der xi vom Wert c, welcher meist mit dem Zentralwert identifiziert wird:
dc= n1 ·(|x1−c| ·h1+|x2−c| ·h2+ ....+|xn−c| ·hn) mitn =h1+h2+ ... +hm
Beispiel:
HS-Test: sx =
q(14−x)2+(14−x)2+ +(5−x)2 16
PH-Test: sx =
q(12−x)2+(3−x)2+ +(6−x)2 16
1.1.8 Aufgaben
1. Im Zuge einer Qualit¨atskontrolle wurde die Brenndauer von 15 Leuchtstoffr¨ohren untersucht. Berechne f¨ur die Stichprobe (die) mittlere Brenndauer, (2) die Stan- dardabweichung der Brenndauer, (3) die Spannweite der Brenndauer. Interpretiere die Ergebnisse!
11013 11127 11338 1992 11055 1810 1648 11261 11442 11430 11087 11193 1713 1841 11148
2. Die untenstehende Tabelle zeigt die Anzahl der ei Verkehrsunf¨allen im Jahr 2000 get¨otete Kinder. (a) Zeichne ein Histogramm f¨ur de relativen Anteile der Bun- desl¨ander!, (2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein get¨otetes Kind aus Tirol bzw. aus Nieder¨osterreich? Ist die Bildung eines Mittel- bzw. Erwartungswertes sinnvoll?
Burgenland K¨arnten Nieder¨osterreich Ober¨osterreich Salzburg Steiermark Tirol Vorarlberg Wien
1 1 8 6 2 6 1 1 1
3. Bei einem Kongress n¨achtigt der Chef im noblen 5 Sterne Hotel (Zimmer plus Fr¨uhst¨uck 510 Euro pro Tag), die 20 k¨opfige Belegschaft im nahen 3 Sterne Hotel (je Doppelzimmer mit Fr¨ust¨uck 70 Euro pro Tag). Stell die durchschnittlichen Kosten je N¨achtigung samt Fr¨uhst¨uck pro Person mit verschiedenen ”Mittelwerten” dar.
Interpretiere die Ergebnisse!
1.1.9 Wahrscheinlichkeit
Mit Hilfe von Experimenten mit langen Versuchsfolgen z¨ahlt man die H¨aufigkeit des Auftretens eines gewissen Ereignisses und sch¨atzt dadurch die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Dabei geht man davon aus, dass die relative H¨aufigkeit der best m¨ogliche Sch¨atzwert f¨ur die Wahrscheinlichkeit ist.
1.1.10 Zufallsger¨ate
Unter Zufallsger¨aten versteht man jede Art von M¨oglichkeit, ein Zufallsexperiment durchzuf¨uhren, beispielsweise eine M¨unze oder W¨urfel werfen, aus einer Urne ziehen, ein Gl¨ucksrad drehen usw.
1.1.11 Laplace‘sche Wahrscheinlichkeit
Unter der Laplace‘sche Wahrscheinlichkeit versteht man jedes Zufallsexperiment, bei welchem jedes der n m¨oglichen Versuchsausg¨ange, oder auch Ergebnismengeω genannt, gleich wahrscheinlich ist, also P(ω) = n1 ist! Das dazuge¨orige Zufallsger¨at nennt man Laplace Ger¨at.
L¨asst sich ein Ereignis A aus den Versuchsergebnissen ω eines Laplace’schen Experi- ments mit der Ergebnismenge Ω bilden, A ist also Teilmenge von Ω, so gilt:
P(A) = Anzahl der f¨ur A g¨unstigen Versuchsergebnisse
Anzahl der m¨oglichen Versuchsergebnisse = |A||Ω| = mg Hinweis:
• IstA=∅, so heißt A unm¨ogliches Ereignis undP(∅) = 0!
• IstA= Ω, so heißt A sicheres Ereignis undP(Ω) = 1!
• Das Gegenereignis A’ berechnet man mit P(A0) = 1−P(A)!
1.1.12 Aufgaben
1. Beim Werfen einer M¨unze wurde folgende Folge erzeugt:
1111010010101010010101111111111001
Ermittle die (a) absolute, (b) relative H¨aufigkeit ihres Auftretens und (c) zeichne ein Histogramm der relativen H¨aufigkeiten, f¨ur ”1” und ”0”.
2. Jemand wettet mit der angegebenen Quote auf das Eintreten eines bestimmten Ereignisses. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss dieses Ereignis eintreten, damit die Wette auf lange Sicht fair ist? (a) 5 : 1, (b) 9 : 1, (c) 1 : 10 und (d) 1:3!
3. Ermittle die relative H¨aufigkeit der Primzahlen unter den nat¨urlichen Zahlen von (a) 1 bis 50, (b) 51 bis 100 und (c) 101 bis 150! Zeichne das dazugeh¨orige His- togramm! Werden die Primzahlne zunehmend sp¨arlicher oder h¨aufiger? Vermute!
4. Welche Wahrscheinlichkeiten haben die folgenden Ereignisse beim W¨urfeln? Die Augenzahl ist (a) gerade, (b) ≤5, (c) >5, (d) negativ, (e) ein Teiler von 60, (f) kein Teiler von 60.
5. Simuliere den Reißnagelwurfmittels einer Urne, wenn P(Spitze unten) = P(1) = 0,7 und P(Spitze oben) = P(0) = 0,3 ist!
6. Eine Urne enth¨alt lauter gleicher Kugeln, die von 10 bis 42 durchnummeriert sind.
Es wird zuf¨allig eine Kugel gezogen. Gib die Ergebnismenge Ω des Versuches an!
Berechne die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Eintreten von: (a) die Zahl endet auf 3, (b) die Zahl beginnt mit 2, (c) die Zahl ist durch 7 teilbar, (d) das Zahl hat 2 gleiche Ziffern!
1.1.13 Erste Pfadregel
Hierbei besch¨aftigt man sich mit geordneten Stichproben, welche entweder mit oder ohne Zur¨ucklegen der Elemente untersucht werden k¨onnen.
Ziehen geordneter Stichproben MIT Zur¨ucklegen
Bei dieser Ziehung wird aus einer geordneten (= der Reihe nach geordneten)
Stichprobe vom Umfang n aus N Elementen mit Zur¨ucklegen gezogen. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der gezogenen Elemente an!
Aufgaben
1. Im Zuge einer Werbeaktion f¨ur ein Mundwasser wird folgendes Gewinnspiel ver- anstaltet: In einer Urne liegen 4 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln: O, D, O, L. Man zieht nun blind ene Kugel nach der anderen mit Zur¨ucklegen. Zieht man auf diese Weise das Wort ODOL, gewinnt man eine Flasche Mundwasser. Wie großist die Gewinnchance bei diesem Spiel?
2. Im Zuge einer Werbeaktion f¨ur das neue Fastfoodprodukt wird folgendes Gewinn- spiel veranstaltet: In einer Urne liegen 5 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln:
A, F, M, M, P. Man zieht nun blind ene Kugel nach der anderen mit Zur¨ucklegen.
Zieht man auf diese Weise das Wort MAMPF, gewinnt man eine Kostprobe. Wie großist die Gewinnchance bei diesem Spiel?
Ziehen geordneter Stichproben OHNE Zur¨ucklegen
Bei dieser Ziehung wird aus einer geordneten (= der Reihe nach geordneten)
Stichprobe vom Umfang n aus N Elementen ohne Zur¨ucklegen gezogen. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Elemente an!
Ist n = N spricht man von einer Permutation!
Aufgaben
1. Im Zuge einer Werbeaktion f¨ur ein Mundwasser wird folgendes Gewinnspiel ver- anstaltet: In einer Urne liegen 4 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln: O, D, O, L. Man zieht nun blind ene Kugel nach der anderen ohne Zur¨ucklegen. Zieht man auf diese Weise das Wort ODOL, gewinnt man eine Flasche Mundwasser. Wie großist die Gewinnchance bei diesem Spiel?
2. Im Zuge einer Werbeaktion f¨ur das neue Fastfoodprodukt wird folgendes Gewinn- spiel veranstaltet: In einer Urne liegen 5 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln:
A, F, M, M, P. Man zieht nun blind ene Kugel nach der anderen mit Zur¨ucklegen.
Zieht man auf diese Weise das Wort MAMPF, gewinnt man eine Kostprobe. Wie großist die Gewinnchance bei diesem Spiel?
Erste Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit einer geordneten Stichprobe ist das Produkt aller Wahrschein- lichkeiten l¨angs des zugeh¨origen Pfades im Baumdiagramm.
Gemischte Aufgaben
1. Wie groß ist bei blindem Ankreuzen die Chance, beim Toto einen 12er zu machen?
Jedem der 12 Spiele wird 1 (Heimmannschaft siegt) oder x (unentschieden) oder 2 (Ausw¨artsmannschaft siegt) zugeordnet.
3. Das Passwort eines Computers besteht aus genau 8 Kleinbuchstaben (ohne Um- laute und ohne ß). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch das Passwort zuf¨allig zu erraten?
4. Der PIN Code einer Kreditkarte ist eine vierstellige nat¨urliche Zahl. Bei der dritten Fehleingabe des Codes wird die Karte vom Geldautomaten eingezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kartendieb, der rein zuf¨allig Codes ausprobiert, Geld abheben kann?
5. Die Wahrscheinlichkeit f¨ur eine Knabengeburt K sei 0,52, f¨ur eine M¨adchengeburt M 0,48. Berechne die Wahrscheinlichkeit f¨ur de Geburtenfolge KKMK bzw KMKK und MMMK bzw. KMMM! Spielt die Reihenfolge eine Rolle hinsichtlich des Ergeb- nisses?
6. F¨ur das Elferschießen werden aus 10 Feldspielern 5 Sch¨utzen ausgew¨ahlt. Wie groß ist bei Losentscheid die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit der Nummer 8 als 4. Sch¨utze bestimmt wird?
7. Wie groß ist bei zuf¨alliger Wahl 2er Klassensprecher die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 10 M¨adchen und 15 Burschen (a) beide weiblich sind, (b) beide Burschen sind, (c) der erste Klassensprecher ein Bursche und die zweite weiblich ist, (d) die erste Klassensprecherin weiblich ist und der zweite ein Bursche ist?
8. Auf einem Schulfest wird ein Feuerwehrspiel angeboten. In einer Urne sind 5 bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln, n¨amlich 1, 1, 2, 2, 2. Man zieht dreimal je eine Kugel und legt diese nicht in die Urne zur¨uck. Der Einsatz betr¨agt 1 Euro. Zieht man den Feuerwehrnotruf 122, so erh¨alt man 5 Euro, dh 4 Euro Gewinnpr¨amie und 1 Euro Einsatz, ansonsten ”verbrennt” der Einsatz. Gib alle m¨oglichen Spielverl¨aufe samt Wahrscheinlichkeit an. Wie groß sit die Gewinn- chance f¨ur den Spieler und f¨ur die Bank? Ist das Spiel fair?
9. Ein Affe tippt auf den 11 Tasten (10 Tasten + Komma) des Ziffernblocks eines Computers 20 mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei die Folge der ersten 20 Zeichen von π tippt?
1.1.14 Zweite Pfadregel
Hierbei besch¨aftigt man sich mit ungeordneten Stichproben, welche entweder mit oder ohne Zur¨ucklegen der Elemente untersucht werden k¨onnen.
Ziehen ungeordneter Stichproben MIT Zur¨ucklegen
Im Unterschied zu einer geordneten Stichprobe geht man bei einer ungeordneten Stich- probe davon aus, dass man alle Stichproben gleichzeitig entnimmt und nicht der Reihe nach, wie bei geordneten Stichproben, hierbei mit Zur¨ucklegen.
Ziehen ungeordneter Stichproben OHNE Zur¨ucklegen
Im Unterschied zu einer geordneten Stichprobe geht man bei einer ungeordneten Stich- probe davon aus, dass man alle Stichproben gleichzeitig entnimmt und nicht der Reihe nach, wie bei geordneten Stichproben, hierbei ohne Zur¨ucklegen.
Zweite Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit einer ungeordneten Stichprobe ist die Summe aller zugeh¨origen Pfadwahrscheinlichkeiten.
Gemischte Aufgaben
1. Wie groß ist bei blindem Ankreuzen die Chance, beim Toto einen 11er zu machen?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei ”6 aus 45” 5 richtige Zahlen zu erraten?
3. F¨ur eine Rundfunkwerbung sollen 3 der 10 Kinder einer Klasse interviewt werden.
Wie hoch ist die Chance f¨ur ein bestimmtes Kind, bei zuf¨alliger Auswahl interviewt zu werden?
4. Franz, Fritz, Pia und Petra spielen Schnapsen. Wie hoch ist die Chance, dass Petra alle 5 Karten einer Farbe und alle 4 Asse erh¨alt?
5. Zeni Zollfrei n¨ahert sich mit 49 anderen Personen in einem Autobus der Grenze.
Sie weiß, dass 2 Insassen vom Z¨ollner zuf¨allig ausgew¨ahlt und untersucht werden.
Wie groß ist f¨ur sie die Chance, kontrolliert zu werden?
6. Ein Pr¨ufungsbogen mit 6 Fragen, zu denen je 4 Antworten vorgegeben sind, wovon genau 1 richtig ist, ist dann positiv absolviert, wenn mindestens die H¨alfte der Antworten richtig angekreuzt wurden. Berechne die Wahrscheinlichkeit, einen pos- itiven Abschluss zu bekommen, wenn man blindlings je eine Antwort ankreuzt! Wie hoch ist die Chance die Pr¨ufung zu bestehen, wenn man 2 mal wiederholen darf?
7. Aus den 5 Damen Antonia, Babsi, Cilli, Doris und Elfi soll ein 3er Team ausgelost werden. (a) Wieviele verschiedene Teams gibt es?, (b) Wie groß ist f¨ur jedes M¨adel dieWahrscheinlichkeit, ins Team zu kommen?, (c) Babsi m¨ochte mit Antonia spielen- berechne diese Wahrscheinlichkeit!, (d) Cilli m¨ochte mit Antonia, aber nicht mit Doris spielen- Wahrscheinlichkeit daf¨ur ist?
8. Die Twins Peter und Paul Faul haben nichts f¨ur die Mathematikwiederholung gelernt. Sie wissen, dass stets 2 Sch¨uler zur Pr¨ufung ausgew¨ahlt werden. Wie groß ist die Wahrschienlichkeit , dass (a) sowohl Peter als auch Paul, (b) Peter, aber nciht Paul, (c) Paul,m aber nicht Peter, (d) Peter, (e) Paul, (f) weder Peter noch Paul, drankommen, wenn insgesamt 20 Sch¨uler anwesend sind?
9. Eine Lehrerin kontrolliert die Haus¨ubungen so, dass jede Stunde 4 der insgesamt 24 Hefte absammelt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, (a) nur Hefte mit fehlender, (b) nur Hefte mit erbrachter H ¨U auszuw¨ahlen, wenn (1) 10 Kinder keine H ¨U haben, (2) 12 Kinder die H ¨U gemacht haben?
10. In einer Klasse mit 24 Sch¨ulernInnen werden die beiden KlassenordnerInnen jede Woche per Los ausgew¨ahlt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sch¨ulerin Petra Pech mit der Katalognummer 13 diesmal nicht eingeteilt wird?
11. In einer Klasse mit 18 Sch¨ulernInnen werden die drei KlassenordnerInnen jede Woche per Los ausgew¨ahlt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sch¨uler Peter und PaulFaul eingeteilt werden?
1.1.15 Kombinatorik
Die Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten mittles Baumdiagrammen und
Laplace‘schen Regel sind ja sehr einfach, aber bei einem großen Stichprobenumfang N aber auch vielen Z¨ugen n sehr m¨uhsam wird, da es sehr viele Pfade geben kann. Daher besch¨aftigt sich die Kombinatorik mit Ableitungen von den Pfadregeln, in einfacher Form, kurz gesagt, Formeln!
Stichprobe geordnet ungeordnet
ohne Zur¨ucklegen (Nn)·n! (Nn) mit Zur¨ucklegen Nn (N+n−1n )
1.1.16 Aufgaben
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt f¨ur eine aus lauter verschiedenen Ziffern beste- hende vierstellige Zahl, dass sie (a) gerade ist, (b) durch 5 teilbar ist, (c) zwischen 5700 und 5800 liegt, (d) die Ziffern 1 und 3 enth¨alt?
2. Wie viele Fahnen k¨onne n aus den Farben weiß , rot, gold, blau und gr¨un zusam- mengestellt werden, wenn eine Fahne aus 3 verschiedenen Farben in fester Lage und Reihenfolge besteht?
3. In einer Jugendherberge ist in den Zimmern 1,2,4,7,8 und 9 je ien Bett frei.
Berechne, auf wie viele Arten 4 Wanderer auf diese Zimmer aufgeteilt werden k¨onnen!
4. Aus 6 L¨auferinnen soll eine Staffel bestehend aus 4 L¨auferinnen zusammengestellt werden. Berechne die ANzahl der m¨oglichen Staffeln!
5. Aus 7 Bewerbern soll eine Staffel aus 4 Schwimmern zusammengestellt werden, wobei der (a) Schlussschwimmer, (b) Startschwimmer schon feststeht. Wie viele verschiedene Staffeln gibt es?
6. Auf wie viele Arten k¨onnen 4 Personen in einem PKW mit insgesamt 4 Sitzpl¨atzen sitzen, wenn (a) alle 4, (b) 3, (c) 2 Insassen einen F¨uhrerschein besitzen?
7. Wie viele M¨oglichkeiten gibt es, aus einem 16 Mann Kader 10 Felsspieler auszuw¨ahlen?
8. Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es in einer Klasse mit 20 Sch¨ulern und 24 freien Pl¨atzen?
9. Auf wie viele Arten kann man 11 Leiberl auff 11 Spieler aufteilen, wenn der Goalie die Nummer 1 bzw. irgendeine Nummer bekommt?
10. Wie viele verschiedene Tnazpaare kann man aus 13 Damen und 13 Herren bilden?
11. In Mathematanien sind die Einstellm¨oglichkeiten von Fahrradschl¨ossern durch vierziffrige Hexadezimalzahlen gegeben. Wie viele verschiedene Kombinationen gibt es?
12. Bie einer Pr¨ufung werden 10 Fragen vorgelegt, von denen 3 Fragen zu ziehen sind.
Wie viele Wahlm¨oglichkeiten gibt es? Wie viele Reihenfolgen der Beantwortung gibt es?
1.1.17 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wie man aus den vielen besprochenen Aufgaben sieht, kann man zwischen bedingten unbebedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden. Ein weit verbreitetes Beispiel f¨ur eine unbedingte Wahrscheinlichkeit liefert das W¨rfelspiel. Franz hat nun 20 mal verge- blich versucht, einen Sechser zu w¨rfeln. Er meint, jetzt muss endlich eine Sechs kommen.
Franz’s Meinung, dass es sehr unwahrscheinlich ist, eine Wurfserie mit ”erst beim 21.
Mal kommt ein Sechser” zu erwischen, hat er Recht. Die Wahrscheinlichkeit f¨ur ein solches Ereignis lautet (56)20·16 ≈0,004!
Aber wenn Franz meint, dass wegen des langen Nichterscheinens des Sechsers dieser beim n¨achsten Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit gr¨oßer als 16 ist, liegt er falsch, denke an Laplace! Jeder Versuchsausgang ist also unabh¨angig vom Ausgang des vorherigen.
Der W¨urfel hat ja kein Ged¨achtnis!
Selbiger Sachverhalt jedoch umgelegt auf das Ziehen aus einer Urne ohne Zur¨ucklegen, ist klarerweise abh¨angig vom vorangegangenen Versuchsausgang!
Diese so genanntebedingte Wahrscheinlichkeit wird durch die SchreibweiseP(A|B) verdeutlicht. Das heißt, dass das Eintreten vom Ereignisses A von der Bedingung, dass
A spielt, alsostochastisch unabh¨angigist, dann schreibt man stattP(A|B) lediglich P(A) und nennt diesunbedingte bzw. absolute Wahrscheinlichkeit!
Verdeutlich werden Beispiele mit bedingten Wahrscheinlichkeiten am besten mit den so genannten Vierfeldtafeln.
Beispiel: In Mathematanien treffen Merkmalsauspr¨agungen der Haarfarbe blond bzw.
br¨unett und die Augenfarbe blau bzw. braun zusammen. In einer Vierfeldtafel aus- gedr¨uckt schaut der Sachverhalt folgendermaßen aus:
blond br¨unett blau¨augig 0,20 0,10 braun¨augig 0,15 0,55
1. Wieviel Prozent der Gruppe sind (a) blond, (b) br¨unett, (c) blau¨augig, (d) braun¨augig?
2. Wieviel Prozent (a) der Blonden haben blaue Augen, wieviele (b) der Blau¨augigen sind blond und (c) wieviele der Blau¨augigen sind br¨unett?
L¨osung:
1. Es werden die Zeilen- und Spaltensummen berechnet. Das heißt:
(a) P(blond) = 0,20 + 0, 15 = 0,35 also ca. 35 Prozent (b) P(br¨unett) = 0,10 + 0, 55 = 0,65 also ca. 65 Prozent (c) P(blau¨augig) = 0,20 + 0, 10 = 0,30 also ca. 30 Prozent (d) P(braun¨augig) = 0,15 + 0, 55 = 0,70 also ca. 70 Prozent 2. (a) P(blau|blond) = P(blond und blau)
P(blond) = 0,200,35 ≈0,57, also ca. 57 Prozent (b) P(blond|blau) = P(blond und blau)
P(blau) = 0,200,30 ≈0,66, also ca. 66,7 Prozent (c) P(br¨unett |blau) = P(br¨unett und blau)
P(blau) = 0,100,30 ≈0,33, also ca. 33,3 Prozent
Daraus ergibt sich der bekannte Satz von BAYES: P(B|A) = P(A|B)·PP(A)(B) f¨ur bedingte Wahrscheinlichkeiten!
Weitere daraus ergebene praktische Formeln sind:
• Summenformel f¨ur Spalten und Zeilen: P(A∧ B) +P(A ∧B’) =P(A)
• Regel der totalen Wahrscheinlichkeit:P(A
B) +P(A’
B) = 1
• Produktregel: P(A ∧B) =P(B |A)·P(A) =P(A|B)·P(B)
Aufgabe:
Unter den Kindern, die an einem Schwimmkurs teilnehmen, sind 60 Prozent weiblich.
50 Prozent der Kinder k¨onnen noch nicht schwimmen; unter den Knaben sind es nur 25 Prozent.
(a) Wie viel Prozent der Kinder, die noch nicht schwimmen k¨onnen, sind Knaben?
(b) Wie viel Prozent der M¨adchen k¨onnen noch nicht schwimmen?
