Zweite Klausur: L¨ osungen
Aufgabe 1
Die Addition und Multiplikation in N unterliegen unter anderem den folgenden Regeln:
(A1) F¨ur alle`, m, n∈N gilt (`+m) +n=`+ (m+n).
(A2) F¨ur allem, n∈N gilt m+n=n+m.
(M2) F¨ur allem, n∈N gilt mn=nm.
(D) F¨ur alle `, m, n∈N ist`(m+n) =`m+`n.
Seienp, q, r, s ∈N. Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass (p+q)(r+s) = ((pr+qr) +sq) +sp .
L¨osung Es gilt
(p+q)(r+s) (D)
= (p+q)r+ (p+q)s (M2)= r(p+q) +s(p+q)(D)
= (rp+rq) + (sp+sq) (M2)= (pr+qr) + (sp+sq)(A2)
= (pr+qr) + (sq+sp) (A1)= ((pr+qr) +sq) +sp .
Aufgabe 2
Seienm, n, p, q ∈Z. Man zeige:
(1) Es gilt (p+q) + ((m−p) + (n−q)) =m+n.
(2) Es gilt (m+n)−(p+q) = (m−p) + (n−q).
Hinweis zu (1): Nach Lemma 1 unten gilt m=p+ (m−p) undn =q+ (n−q).
Beim L¨osen dieser Aufgabe darf man lediglich die folgenden Aussagen ¨uber die ganzen Zahlen benutzen:
Die Addition in Zunterliegt den folgenden Regeln:
(A1) F¨ur alle`, m, n∈Z gilt (`+m) +n=`+ (m+n).
(A2) F¨ur allem, n∈Z gilt m+n=n+m.
(A3) F¨ur jedes m∈Z ist 0 +m=m.
(A4) Zu jedem m∈Z gibt es eine eindeutige Zahl−m ∈Zmit −m +m= 0.
Seienm, n∈Z; dann wird die Zahl m+ −n mit m−n bezeichnet.
Lemma 1 Seien m, n ∈ Z; dann ist m − n die eindeutige Zahl k ∈ Z mit m=n+k: Es gilt also m=n+ (m−n) und istk ∈Z eine Zahl mitm =n+k, so ist k=m−n.
L¨osung
(1) Nach Lemma 1 istp+ (m−p) =m und q+ (n−q) =n und folglich ist (p+q) + ((m−p) + (n−q)) (A1)
= ((p+q) + (m−p)) + (n−q) (A1)= (p+ (q+ (m−p))) + (n−q) (A2)= (p+ ((m−p) +q)) + (n−q) (A1)= ((p+ (m−p)) +q) + (n−q)
= (m+q) + (n−q)
(A1)= m+ (q+ (n−q)) =m+n .
(2) Nach (1) ist m+n = (p+q) + ((m−p) + (n−q)) und daraus ergibt sich nach Lemma 1, dass (m+n)−(p+q) = (m−p) + (n−q).
Aufgabe 3
Beim L¨osen dieser Aufgabe kann man annehmen (wie man das stets in der Schule getan hat), dass bei der Summe vonn Zahlen keine Klammern n¨otig sind, da die Summe nicht von der Reihenfolge der einzelnen Additionen abh¨angt. F¨ur diese Aufgabe darf man also Regeln wie (A1) und (A2) vergessen.
Man zeige durch vollst¨andige Induktion: F¨ur alle n∈N gilt Xn
k=1
(3k2−3k+ 1) =n3 .
L¨osung
F¨ur jedes n∈N sei P(n) die Aussage, dass Xn
k=1
(3k2−3k+ 1) =n3 .
() Es gilt P(1), da P1
k=1(3k2−3k+ 1) = (3−3 + 1) = 1 = 13. (?) Sei n ein Element von N, f¨ur das P(n) gilt. Dann ist
Xn+1
k=1
(3k2−3k+ 1) = Xn
k=1
(3k2−3k+ 1) + 3(n+ 1)2−3(n+ 1) + 1
=n3+ 3(n+ 1)2−3(n+ 1) + 1
=n3+ 3n2+ 6n+ 3−3n−3 + 1
=n3+ 3n2+ 3n+ 1 = (n+ 1)3 ,
d.h.P(n+ 1) gilt. Dies zeigt, dass P(n+ 1) f¨ur jedes n ∈N gilt, f¨ur dasP(n) gilt.
Daraus folgt nach dem Prinzip der vollst¨andigen Induktion, dass P(n) f¨ur jedes n∈N gilt. Es gilt also
Xn
k=1
(3k2−3k+ 1) =n3 f¨ur jedes n∈N.
Aufgabe 4
Seien m, n ∈ Z mit n 6= 0 (und damit sind m/n und m/(−n) beide Br¨uche, da −n 6= 0, falls n 6= 0). Setze r = [m/n] und s = [m/(−n)]. Man zeige, dass r+s= 0.
Beim L¨osen dieser Aufgabe darf man lediglich die Regeln (A1) F¨ur alle`, m, n∈Z gilt (`+m) +n=`+ (m+n).
(A2) F¨ur allem, n∈Z gilt m+n=n+m.
(A3) F¨ur jedes m∈Z ist 0 +m=m.
(A4) Zu jedem m∈Z gibt es eine eindeutige Zahl−m ∈Zmit −m +m= 0.
(D) F¨ur alle`, m, n∈Z ist`(m+n) =`m+`n.
f¨ur die Addition und Multiplikation inZzusammen mit der folgenden Information benutzen:
Lemma 2 F¨ur alle n∈Z ist 0·n= 0.
Ein Bruch ist ein Ausdruck der Formm/nmitm, n∈Zundn 6= 0. Br¨uche m/n und p/q heißen ¨aquivalent, und wir schreiben dann m/n≈p/q, wenn mq =pn.
Die folgenden Aussagen fassen die Beziehung zwischen Br¨uchen und rationalen Zahlen zusammen:
(Q1) Jedem Bruch m/n wird eine rationale Zahl zugeordnet, die mit [m/n] be- zeichnet wird.
(Q2) F¨ur Br¨uche m/nundp/q gilt [m/n] = [p/q] genau dann, wennm/n≈p/q.
(Q3) Zu jeder rationalen Zahlr gibt es einen Bruch m/n mit r= [m/n].
(Q4) Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Q5) F¨ur jedes n∈Z istn = [n/1].
Seienm/nund p/q Br¨uche; die Summe m/n+p/q vonm/n undp/q wird durch m/n+p/q = (mq+pn)/(nq)
definiert.
Lemma 3 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Br¨uche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt a/b+c/d≈m/n+p/q.
Seienr unds rationale Zahlen; nach (Q3) gibt es dann Br¨uche m/nundp/q mit r= [m/n] und s= [p/q]. Die Summe r+s von r und s wird definiert durch:
r+s= [m/n+p/q].
Nach Lemma 3 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Br¨uche mit r= [a/b] und s= [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b≈m/nundc/d≈p/q, damit ist nach Lemma 3a/b+c/d≈m/n+p/q und daraus ergibt sich nach (Q2), dass [a/b+c/d] = [m/n+p/q]. Die Definition von r+s h¨angt also nicht davon ab, welche Br¨uche man w¨ahlt, um r und s darzustellen.
L¨osung
Es giltr+s = [m/n+m/(−n)] undm/n+m/(−n) = (m(−n) +mn)/(n(−n)).
Da nach Lemma 2 0·m= 0, ist nun m(−n) +mn(D)
= m(−n+n)(A4)
= m·0(A2)
= 0·m = 0 und damit ist m/n+m/(−n) = 0/(n(−n)). Aber nach Lemma 2 ist
0·1 = 0 = 0·(n(−n))
und folglich is 0/(n(−n))≈0/1. Nach (Q2) ist also [0/(n(−n))] = [0/1] und nach (Q5) ist [0/1] = 0. Daraus ergibt sich, dass
r+s= [m/n+m/(−n)] = [0/(n(−n))] = [0/1] = 0.
