2 Beispiele von Wellen 3

Erg¨ anzungen zur Physik I: Wellen (Zusammenfassung)

U. Straumann, 28. Dezember 2013 Physik - Institut Universit¨ at Z¨ urich

Inhaltsverzeichnis

1 Wellengleichung 2

2 Beispiele von Wellen 3

3 Energietransport in einer Welle 4

4 Dopplereffekt 5

5 Reflexion und Transmission 5

6 Stehende Wellen 6

7 Fourieranalyse 7

Erg¨ anzungen zu Physik I 1 Wellengleichung

1 Wellengleichung

Wenn eine physikalische Gr¨ osse als Funktion von Ort und Zeit in einer kausal zusammenh¨ angender Art variiert, spricht man von einer Welle. Beispiele sind die Ausbreitung von Auslenkungen auf einem Seil (Seilwelle), Druckwellen in Gasen, Fl¨ ussigkeiten und Festk¨ orpern (Schallwellen), elek- tromagnetische Wellen (z.B. Licht) oder Oberfl¨ achenwellen von Fl¨ ussigkeiten.

Die Erregung der Welle an einem Ort s zur Zeit t bezeichnen wir mit u(x, t). u kann zum Beispiel eine Auslenkung (bei der Seilwelle), ein Druck (bei der Schallwelle) oder eine elektrische Felst¨ arke (bei der e.m. Welle) sein.

Die Erregung der Welle breitet sich im Raum mit der Wellengschwindigkeit v aus. Bei der Ausbreitung wird in der Regel keine Materie transportiert, aber Energie.

Es gibt eindimensionale oder ebene Wellen, deren Erregung senkrecht zur Ausbreitungsrich- tung z ¨ uberall im Raum gleich ist. Es ist dann u(z, t). Zum Beispiel “gerade” Oberfl¨ achenwellen im Wasser.

Im allgemeinen sind die Wellen dreidimensional, und werden durch eine Funktion

u(~ r, t) mit ~ r = (x, y, z) (1)

beschrieben.

Formal heisst eine Funktion u(x, t) eine Welle, falls die Wellengleichung erf¨ ullt ist:

∂ ² u

∂t ² − a ∂ ² u

∂x ² = 0 Wellengleichung ebene Welle (2) Dies ist eine homogene und lineare, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung f¨ ur die Funkion u(x, t). Die Konstante a bestimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit v = √

a.

Das Ortsbild der Welle erhalten wir, wenn wir bei festem t die Erregung u als Funktion der Koordinate x darstellen. Mit Zeitbild bezeichnen wir die Darstellung der Funktion u an einem festen Ort x als Funktion der Zeit.

Falls das Ortsbild einer Welle immer gleich aus sieht, ausser dass es sich im Laufe der Zeit mit der Geschwindigkeit v entlang der Koordinate x fortbewegt, nennen wir die Welle formstabil. In diesem Fall sind die beiden Variablen x und t miteinander korreliert, es gilt

x = x 0 + v · t formstabile Welle (3)

Eine Welle heisst harmonisch, wenn sie als Kosinusfunktion dargestellt werden kann.

u(x, t) = u ₀ cos (kx − ωt) harmonische Welle (4) Eine harmonische Welle ist formstabil. Die Konstanten sind

k = 2π

λ ω = 2π

T (5)

Die Wellenl¨ ange λ bezeichnet dabei den Abstand zwischen 2 Maxima der Welle im Ortsbild (bei fester Zeit). Die Periode T bezeichnet den Abstand zweier Maxima im Zeitbild (am festen Ort).

k heisst die Wellenzahl, ω die Kreisfrequenz und f = 1/T die Frequenz.

Das Argument der Cosinusfunktion kann man wegen der Formstabilit¨ at auch wie folgt umwan- deln:

kx − ωt = k (x − v t) und somit v = ω

k = f · λ (6)

Bei gegebener Wellengeschwindigkeit v ist also die Wellenl¨ ange λ umgekehrt proportional zur Frequenz f .

Harmonische Kugelwellen k¨ onnen wie folgt dargestellt werden:

u(~ r, t) = f(r) · cos (kr − ωt) Kugelwelle (7)

2 Beispiele von Wellen

• Seilwelle: Die Seilwelle ist transversal, das heisst die Auslenkung steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Transversale Welle heissen polarisiert, wenn sie die Auslenkung in nur eine Richtung stattfindet. Die Wellengeschwindigkeit wird

v = r σ

ρ = s

Z

µ Seilwelle (8)

mit σ = Spannung im Seil, Z = Zugkraft im Seil, ρ = Massendichte pro Volumen und µ

= Massendichte pro L¨ angeneinheit.

• Longitudinale Druckwelle in duenner Stange: Unter Anwendung des Hooke’schen Ge- setzes erh¨ alt man

v = s

E

ρ londitudinale Druckwelle (9)

mit E = Elastizit¨ atsmodul und ρ = Massendichte.

• Transversale Welle in der Stange:

v = s

G

ρ transversale Welle (10)

mit G = Schubmodul und ρ = Massendichte. Da G < E sind transversale Wellen langsamer als longitudinale. Dies ist wichtig in der Interpretation von seismischen Erdbebenwellen.

• Schalldruckwellen in Gasen: Unter Annahme von adiabatischer Kompression erh¨ alt man

v = r Rκ

M · T londitudinale Druckwelle im Gas (11)

mit R = universelle Gaskonstante, κ = Verh¨ altnis der spezifischen W¨ armen, M = Mol-

masse, T = absolute Temperatur in Kelvin.

Erg¨ anzungen zu Physik I 3 Energietransport in einer Welle

3 Energietransport in einer Welle

Sei u = u 0 cos(kx − ωt) die Auslenkung einer harmonischen longitudinalen Schallwelle. Die kinetische Energie einer kleinen Masse ∆m = ρ · ∆V , die von der Welle getroffen wird, ergibt demnach:

E _kin = 1

2 ∆m u ˙ ² = 1

2 ρ ∆V u ² ₀ ω ² sin ² (kx − ωt) (12) Wenn das Gas zusammengedr¨ uckt wird, so wird potentielle Energie gespeichert. Da E _pot +E _kin = E tot = konst. wegen der Energieerhaltung, muss die Summe also konstant sein. Das kann nur erreicht werden, wenn die potentielle Energie mit cos ² und derselben Amplitude schwankt, also:

E pot = 1

2 ρ ∆V u ² ₀ ω ² cos ² (kx − ωt) (13) Wegen cos ² + sin ² = 1 wird die gesamte Energie

E _tot = 1

2 ρ ∆V u ² ₀ ω ² (14)

Die Energiedichte w ist als Energie pro Volumen definiert:

w = 1

2 ρ u ² ₀ ω ² (15)

Man definiert die Intensit¨ at J einer Welle als die Energie die pro Fl¨ ache und pro Zeiteinheit durch eine Fl¨ ache A transportiert wird. Dies ist die Energie, die in einem Volumen der L¨ ange

∆x vor der Fl¨ ache A steckt und welche in der Zeit ∆t durch die A geschoben wird. Es wird J = E _tot

A · ∆t = ∆x · w

∆t = v · w = 1

2 v ρ u ² ₀ ω ² [J ] = W

m ² (16)

Der Ausdruck Z = v ρ heisst auch die Schallkennimpedanz oder Schallh¨ arte des Materials.

F¨ ur physiologische Sensoren gilt allgemein das Weber-Fechner’sche Gesetz, welches pos- tuliert, die Empfindung des Menschen sei proportional zum Logarithums der Instensit¨ at einer ankommenden Welle. Deshalb verwendet man die Logarithmen der Intensit¨ aten als Einheiten, die so erhaltenen Zahlenwerte heissen auch Pegel. Zum Beispiel misst man die Lautst¨ arke (ei- gentlich Schallleistungspegel) L einer Schallwelle in DeziBel (dB):

L = 10 · lg J J 0

Lautstaerke [L] = dB (17)

Dabei ist J 0 = 10 ⁻¹² W/m ² eine Konstante, die der Lautst¨ arke 0 dB entspricht.

Die Empfindlichkeit des menschlichen Ohres ist frequenzabh¨ angig, am besten h¨ oren wir bei 3

kHz, der Frequenz mit der die kleinen Kinder schreien. Bei kleineren und gr¨ osseren Frequenzen

nimmt die Sensitivit¨ at ab. Um dieser Empfindlichkeitsvariation Rechnung zu tragen, wird die

gemessene Intensit¨ at mit einer frequenzabh¨ angigen Filterfunktion gewichtet, die die frequenz-

abh¨ angige Empfindlichkeit des Ohrs kompensieren soll. Die dazugeh¨ orige Einheit f¨ ur den so

bewerteten Schallleistungspegel heisst dB _A .

4 Dopplereffekt

Bewegt sich die Quelle oder der Beobachter bez¨ uglich dem Medium, das die Welle ¨ ubertr¨ agt, ergibt sich der Dopplereffekt. Bewegt sich zum Beispiel die Quelle gegen¨ uber dem ruhenden Medium und dem ruhenden Boebachter, dann rennt die Quelle den von ihr erzeugten Wellen hinterher. Die vom Beobachter wahrgenommene Wellenl¨ ange verk¨ urzt sich dadurch. Dies wirkt sich ¨ uber c = λ · ν auf die wahrgeno5mmene Frequenz ω _B aus. Es gilt allgmein

ω _B = ω _Q 1 ± ^v _c

1 ∓ ^v _c

(18)

Dabei bedeuten v _Q und v _B die Geschwindigkeiten der Quelle und des Beobachters gegen¨ uber dem Medium und c die Wellengeschwindigkeit im Medium. Die oberen Vorzeichen gelten, wenn sich Quelle und Beobachter einander n¨ ahern, die unteren wenn sie auseinandergehen.

Bei ruhender Quelle und Beobachter, aber bewegtem Medium (Wind!) ergibt sich kein Dopp- lereffekt, denn es gilt dann v _B = v _{W ind} und v _Q = −v _{W ind} .

N¨ ahert sich v Q der Wellengeschwindigkeit c wird die Wellenl¨ ange immer k¨ urzer, bei v Q = c addieren sich die Wellen zu einer einzigen sehr grossen Wellenfront (Ueberschallknall). Bei v _Q > c breitet sich die Wellenfront kegelf¨ ormig aus, dem Mach’schen Kegel (Bild Enten im Teich). Der halbe Oeffnungswinkel des Mach’schen Kegels berechnet sich zu

sin θ = c v Q

(19)

5 Reflexion und Transmission

Wir senden eine longitudinale Schalldruckwelle von einem Material 1 in ein anderes Material 2 (zum Beispiel Schallwelle von Luft in Wasser). An der Grenze der beiden Materialien kann ein Teil der Welle reflektiert werden, der Rest geht in das 2. Material. Wir nennen die Wellenampli- tuden der drei Komponenten: u _e einfallende Welle, u _d durchgehende Welle und u _r reflektierte Welle.

An der Grenze zwischen den zwei Materialien (also bei festem x) muss sich eine eindeutige Schwingung ergeben. Das heisst die Auslenkung an der Grenzfl¨ ache muss stetig sein, und somit m¨ ussen die Amplituden links und rechts der Grenze gleich sein:

u _e + u _r = u _d Stetigkeit (20)

Aussdem muss die Energie erhalten sein, das heisst die einfallende Intensit¨ at muss gleich der durchgehenden plus der reflektierten sein:

Z ₁ ω ² u ² _e = Z ₁ ω ² u ² _r + Z ₂ ω ² u ² _d Energieerhaltung (21) Aus der Forderung nach der Stetigkeit folgt ausserdem, dass die Frequenzen auf beiden Seiten gleich sein m¨ ussen. Es wird demnach

Z ₁ u ² _e = Z ₁ u ² _r + Z ₂ u ² _d (22)

Erg¨ anzungen zu Physik I 6 Stehende Wellen Daraus kann man leicht die Amplituden berechnen. Wir nehmen den Summanden mit u _r in (22) auf die linke Seite, dividieren die erhaltene Gleichung durch Z ₁ und dann durch (20) und addie- ren (bzw. subtrahieren) das Resultat noch einmal mit (20). Die durchgehende und reflektierte Amplitude wird damit:

u _d = u e · 2 Z 1

Z ₁ + Z ₂ (23)

u _r = u _e · Z 1 − Z 2

Z ₁ + Z ₂ (24)

Offenbar bestimmen die Schallimpedanzen, was an der Grenzfl¨ ache passiert:

• Z 1 = Z 2 Hier wird nichts reflektiert, die gesamte Energie passiert die Grenze. Man spricht von angepasster (Schallkenn-)Impedanz.

• Z 2 < Z 1 teils Reflexion, teils Transmission.

• Z 2 > Z 1 Reflexion mit Vorzeichenwechsel: u r < 0.

• Z ₂ = ∞ Starre Wand: u _r = −u _e , es wird alles reflektiert, aber mit umgekehrtem Vorzeichen der Auslenkung.

• Z ₂ = 0, offenes Ende (zum Beispiel eines Stabes). u _r = u _e es wird alles reflektiert. (Es ist zwar u _d = 2u _e aber es wird wegen Z ₂ = 0 keine Energie ins Material 2 transportiert.)

6 Stehende Wellen

Lassen wir eine harmonische Welle zwischen zwei starren W¨ anden im Abstand L vollst¨ andig reflektieren (jeweils Vorzeichenwechsel), ergibt sich eine stehende Welle, falls die folgende Be- dingung erf¨ ullt ist:

λ = 2 L

n n = 1, 2, 3, ... (25)

Wir bezeichnen

u _e = A · cos(kx − ωt) einfallende Welle (26) u _r = −A · cos(−kx − ωt) reflektierte Welle (27) und beachten, dass die reflektierte Welle die Richtung ¨ andert (−kx) und die Amplitude das Vorzeichen wechselt (−A), wie im verhergehenden Abschnit erkl¨ art. Mit Hilfe des Additions- theorems erhalten wir f¨ ur die gesamte Bewegung als Summe der einfallenden und reflektierten Welle

u = u e + u r = −2A · sin(kx) · sin(ωt) (28) Dies ist die Gleichung einer stehenden Welle. In der Tat ergeben sich f¨ ur x = π/k = λ/2 periodische Nullstellen, die sogenannten Knoten der stehenden Welle. An der starren Wand m¨ ussen sich solche Knoten befinden, was mit der oben genannten Bedingung λ = 2L/n erf¨ ullt ist.

F¨ ur n = 1 spricht man von der Grundfrequenz, n > 1 heissen die Oberschwingungen. Musikali-

sche Saiten- und Blasinstrumente machen sich diese Eigenschaften zu Nutze.

7 Fourieranalyse

Lassen wir ein schwingendes System harmonisch Schwingen, und zwar mit zwei unterschiedlichen Frequenzen ω ₁ und ω ₂ ,

y ₁ = A · cos ω ₁ t und y ₂ = A · cos ω ₂ t (29) ergibt sich als resultierende Bewegung der beiden Schwingungen

y = y ₁ + y ₂ = 2A · sin( ω ₁ − ω ₂

2 t) · sin( ω ₁ + ω ₂

2 t) (30)

Die l¨ asst sich analog zum vorhergehenden Kapitel mit dem Additionstheorem zeigen. Sind die beiden Frequenzen sehr ¨ ahnlich ω 1 ≈ ω 2 wird der erste Sinusterm sehr langsam variieren, was zu einer an- und abschwellender Lautst¨ arke f¨ uhrt. Dies nennt man Schwebung.

Durch Addition mehrerer harmonischer Schwingungen kann man so im Prinzip jede beliebige nicht-harmonische, aber periodische Funktion erzeugen.

Fourier erkannte 1822, dass umgekehrt jede periodische Funktion f (t) = f (t + T ) (T = Periode) als Summe von harmonischen Schwingungen mit ganzzahligem Vielfachen der Grundfrequenz ν ₁ = 1/T = ω ₁ /2π dargestellt werden kann.

f (t) = a ₀ +

∞

X

n=0

(a _n · cos ω _n t + b _n · sin ω _n t) mit ω _n = n · ω ₁ (31) Die Terme mit ω _n heissen die n-te Oberschwingung.

Beachte die Analogie zu einer stehenden Welle, die ebenfalls aus einer Grundschwingung und aus Oberwellen mit ganzahligem Vielfachen der Grundfrequenz besteht.

Bei gegebener periodischer Funktion f (t) berechnen sich die Fourierkoeffizienten a _n und b _n wie folgt:

a n = 2 T

Z

f (t) · cos(ω n t) und b n = 2 T

Z

f (t) · sin(ω n t) (32) Die Integrale laufen ¨ uber eine ganze Periode.

Der Satz von Fourier l¨ asst sich verallgemeineren auf nicht-periodische Funktionen, indem man einfach T → ∞ gehen l¨ asst. Die Summe wird dabei zum Integral. Man bedient sich hier ublicherweise der komplexen Schreibweise. Jede hinreichend brave (aber nicht-periodische) Funk- ¨ tion f (t) l¨ asst sich darstellen als

f (t) = 1 2π

Z +∞

−∞

a(ω ⁰ ) · e ^iω

^t · dω ⁰ (33) Die Funktion a(ω) heisst das Frequenzspektrum. Das Spektrum berechnet man durch

a(ω) = 1 2π

Z +∞

−∞

f (t ⁰ ) · e ^iωt

· dt ⁰ (34) Dabei sind a und f komplexe Gr¨ ossen, die physikalischen Werte sind die Realteile dieser Funk- tionen. Diese Berechnung der a(ω) heisst Fourieranalyse. Beachte die Symmetrie der Transfor- mationen zwischen dem Frequenzraum a(ω) und dem Zeitraum f (t)!

Handelt es sich bei f (t) um T¨ one eines Musikinstrumentes, dann bestimmt a(ω) den Klang der

T¨ one.