¨Ubungen zur Vorlesung Mathematik 2 (Media Systems) Zahlentheorie

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Ubungen zur Vorlesung Mathematik 2 (Media Systems) ¨ Zahlentheorie

Prof. Dr. N. Martini

Liste von Primzahlen bis 2000

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027

1. Primfaktorzerlegung

Zerlegen Sie die folgenden Zahlen in ihre Primfaktoren a) 210 =

b) 637 = c) 182 = d) 578 =

e) 144039 = f) 1702 = g) 31941 =

2. Teilbarkeit

a) Ist die Zahl 31941 · 12347 = 394375527 durch 3 teilbar?

Antwort: ja, weil durch 3 teilbar ist. Warum gilt dies?

b) Ist die Zahl 1702 · 369852 = 629488104 durch 23 teilbar?

Antwort: ja, weil durch 23 teilbar ist.

c) Ist die Zahl 701 · 929 = 651229 durch 37 teilbar? Nein, weil ...

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d) Ist die Zahl 323 · 424242 = 137030166 durch 17 teilbar? Ja, weil ...

3. Gr¨ oßter gemeinsamer Teiler

3.1 Berechnen Sie den ggT nach dem Hauptsatz der Zahlentheorie

Beispiel: ggT (9, 24) : 9 = 3

²

, 24 = 2

³

· 3

¹

und damit ggT (9, 24) = 2

⁰

· 3

¹

= 3 a) ggT (18, 60)

b) ggT (100, 175) c) ggT (210, 144039) d) ggT (1702, 1666)

e) ggT (29, 41) f) ggT (443, 577) g) ggT (401, 701) h) ggT (67, 117)

i) ggT (29, 1302)

3.2 Berechnen Sie den ggT mit dem Euklidischen Algorithmus a) ggT (18, 60)

b) ggT (365, 10000) c) ggT (1095, 30000) d) ggT (72, 240)

e) ggT (8942, 2312) f) ggT (172, 4117) g) ggT (98, 441) h) ggT (15, 22) 4. Kongruenzen

4.1 Schreiben Sie mindestens f¨ unf L¨osungen der Kongruenz a mod b ≡ x in der Form a − k · b = x

Beispiel: 3 mod 5 ≡ x ist 3 − k · 5 = x

hat L¨osungen u.a. f¨ ur x = {..., −17, −12, −7 − 2, 3, 8, 13, 18, ...}

a) 8 mod 5 ≡ x b) 24 mod 5

c) 4 mod 5 d) 10 mod 3

e) −54 mod 10

(3)

f) −17 mod 3 g) −1 mod 7 h) −42 mod 7

4.2 Welche L¨osungen sind jeweils richtig (keine, eine, mehrere oder alle k¨onnen richtig sein) a) 68 mod 17 ≡ a) 1, b) -1, c) 0, d) 17

b) 87 mod 4 ≡ a) 0, b) 7, c) 79, d) -17

c) −306 mod 21 ≡ a) -12, b) -33, c) 30, d) -117 d) −71 mod 9 ≡ a) -3, b) -7, c) -1, d) 29

4.3 Bei diesen Aufgaben die L¨osungen der vorhergehenden Aufgaben beachten, z.B. folgt aus 8 mod 5 ≡ −2 und 4 mod 5 ≡ 4, dass gilt 12 mod 5 = (8 + 4) mod 5 ≡ (−2 + 4) = 2

a) (24 + 3) mod 5 ≡ x b) (−1 − 42) mod 7 ≡ x

c) (8 · 4) mod 5 ≡ x d) −170 mod 3 ≡ x

e) 100 mod 3 ≡ x f) 64 mod 5 ≡ x

4.4 Die folgenden Aufgaben nicht in den Taschenrechner eintippen sondern L¨osung be- gr¨ unden, z.B.: Ist 3

⁴

+ 7 durch 11 teilbar? Ja, weil 3

²

mod 11 ≡ −2 ⇒ 3

⁴

mod 11 ≡ (−2)

²

= 4 und 7 mod 11 ≡ −4 und damit 3

⁴

+ 7 mod 11 ≡ 4 − 4 = 0

a) 22

¹⁷

mod 21 ≡ x b) 3

²⁵

mod 17 ≡ x

c) 5! · 7! mod 17 ≡ x d) 3! · 9! · 34! mod 17 ≡ x 4.5 K¨ urzungsregeln anwenden

a · c ≡ b · c mod n ⇒ a ≡ b mod

ⁿ_d

mit d = ggT (c, n) Hinweis: Zerlegen Sie die Zahlen zuerst in ihre Primfaktoren

Beispiel: 12 ≡ 32 mod 5 ⇒ 3 · 4 ≡ 8 · 4 mod 5 mit ggT (4, 5) = 1 damit folgt 3 ≡ 8 mod 5 a) 120 ≡ 328 mod 13

b) 124 ≡ 328 mod 12 c) −45 ≡ 225 mod 18 d) 48 ≡ 28 mod 10

e) −55 ≡ 200 mod 15

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5. ” Quersummenregeln“

a) 3|123456789 ? b) 3|111222 ?

c) 3|8765 ? d) 3|56123 ?

e) 9|123456789 ? f) 11|12345 ? g) 11|91828 ?

6. Lineare Kongruenzen

6.1 Bestimmen Sie alle L¨osungen (sofern existent) der linearen Kongruenzen.

Hinweis: Zun¨achst die Kongruenz zur Vereinfachung des Problems k¨ urzen.

Beispiel: 5x ≡ 25 mod 15, d = ggT (5, 15) = 5, und weiter 5|25 , damit gibt es f¨ unf L¨osungen K¨ urzen f¨ uhrt zu: 1 · x ≡ 5 mod 3, eine leicht ersichtliche L¨osung ist x

0

= 2, die weiteren L¨osungen sind x

⁰

+ k ·

ⁿd

: 2 +

¹⁵₅

= 5, 2 +

³⁰₅

= 8, 11, 14

a) 36x ≡ 66 mod 15 b) 100x ≡ −15 mod 35

c) 20x ≡ 8 mod 14 d) 16x ≡ 3 mod 22 e) 18x ≡ 3 mod 23

6.2 Lineare Kongruenzen mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus a) 17x ≡ 9 mod 7

b) 8x ≡ 17 mod 26 c) 10x ≡ 7 mod 35 d) 7x ≡ 1 mod 5

e) 29x ≡ 1 mod 10 f) 29x ≡ 3 mod 10 g) 304x ≡ 282 mod 26 7. Simultane Kongruenzen

Geben Sie die kleinste positive L¨osung an.

a) x ≡ 5 mod 8, x ≡ 3 mod 7, x ≡ 1 mod 9 b) x ≡ 1 mod 2, x ≡ 2 mod 3, x ≡ 4 mod 5

c) x ≡ 7 mod 17, x ≡ 56 mod 62

(5)

d) x ≡ 1 mod 9, x ≡ 5 mod 12, x ≡ 3 mod 17

e) x ≡ 7 mod 12, x ≡ 8 mod 25, x ≡ 3 mod 7, x ≡ 1 mod 13

f) Ein Lehrer vers¨aumt es zu Beginn des Klassenausflugs die Zahl der Sch¨ uler abzuz¨ahlen;

nun kann er am Ende des Ausflugs nicht mehr feststellen, ob alle Sch¨ uler wieder an- gekommen sind. Er weiß aber noch, dass beim Einsteigen in den Zug die Sch¨ uler zu zweit nebeneinander gingen und dabei einer alleine als letzter einstieg. Im Zug saßen alle in den Dreier-Reihen der Abteile, wobei in einer Reihe noch zwei Pl¨atze frei waren.