Berechnen Sie die Spektralnorm vonk(I−hA)kundk(I−hA)−1k

Numerik, Wintersemester 2013 Aufgabenblatt 4

Prof. Dr. Peter Bastian Abgabe 20. November 2013 bis 11:15

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 KONVERGENZ DES IMPLIZITENEULERVERFAHREN FUR LINEARE¨ AWA

Sei die MatrixA∈R^n×nnegativ definit mit Eigenwertenλ_n< λn−1 <· · ·< λ₁ <0undb∈Rⁿ. Wir betrachten den impliziten Euler Verfahren zur L ¨osung der linearen AWA

u⁰(t) =Au(t) +b u(t₀) =u₀ ∈Rⁿ.

1. Finden Sie die Lipschitz-konstanteL˜ aus dem Satz 3.4 (Konvergenz allgemeiner Einschrittver- fahren) f ¨ur dieses Problem.

2. Berechnen Sie die Spektralnorm vonk(I−hA)kundk(I−hA)⁻¹k. 3. Gibt es eine Schrittweitebedingung f ¨ur unsere Problem?

3 Punkte U¨BUNG2 APRIORIFEHLERABSCHATZUNG F¨ UR IMPLIZIT¨ EULER

Betrachten Sie das implizite Euler-Schema

y_n=yn−1+h_nf(t_n, y_n), t_n≥t₀, y₀ ≈u₀,

zur Diskretisierung der ¨ublichen L-stetigen AWA u⁰(t) = f(t, u(t)), t ≥ t0, u(t0) = u0. Beweisen Sie unter der Annahme einer geeigneten Schrittweitenbedingung diea prioriFehlerabsch¨atzung (mit einem geignetenγ >0)

ky_n−u(tn)k ≤e^γL(tn−t0){ky₀−u0k+1

2(tn−t0) max

1≤m≤nhm max

t∈[tm−1,tm]ku⁰⁰(t)k}.

5 Punkte U¨BUNG3 HP- VERFEINERUNG

F ¨ur eine gegebene AWA gebe es Einschrittverfahren mit Lipschitz-stetigen Verfahrensfunktionen Fp(hi, t_k, y_k, yk−1) der Ordnung p und hi = 2⁻ⁱ. Wir nehmen an, die damit berechneten Approxi- mationenY_p,ider exakten L ¨osungu(T)zum ZeitpunktT gen ¨ugen

ke_p,ik:=kY_p,i−u(T)k=K T h^p_i +O(h^p+1_i ).

Hierbei sei die KonstanteK ∈Runabh¨angig von der Wahl vonp, i.

Eine L ¨osungYp,isei berechnet, aber ihre Genauigkeit unbefriedigend. Die Kosten der Berechnung seien gegeben durch

r(i, p) = 2ⁱ·m(p)

mit einer monoton wachsenden Funktionm. Diskutieren Sie unter welchen Voraussetzungen ani, p undmdie Berechnung vonYp+1,iviel versprechender ist als die Berechnung vonYp,i+1.

2 Punkte

U¨BUNG4 AUTONOMISIERUNG

Unter Autonomisierung einer AWA versteht man das L ¨osen des erweiterten Systems

˜

y⁰ = ˜f(˜y)mity˜= t

y

,f˜(˜y) = 1

f(t, y)

undy(t˜ 0) = t0

y0

welches offensichtlich ¨aquivalent ist zum Problem

y⁰ =f(t, y), y(t0) =y0.

Ein Einschrittverfahren heißt invariant gegen Autonomisierung, wenn die zuf bzw. f˜geh ¨orenden VerfahrensfunktionenFbzw.F˜dieselben Ergebnisse produzieren, also

F˜(h,y) =˜

1 F(t, y, h)

.

Zeigen Sie, dass ein explizites Runge-Kutta Verfahren der StufeRgenau dann invariant gegen Au- tonomisierung ist, wenn gilt

c_i=

i−1

X

j=1

a_ij, (1≤i≤R).

3 Punkte U¨BUNG5 ARENSTORF-ORBIT(PROGRAMMIERAUFGABE, ABGABE 27.11)

Der Arenstorf-Orbit beschreibt geschlossene Trajektorien eines Satellits rund um die Erde und den Mond. In einem restringierten Koordinatensystem ist dieses 3-K ¨orper Problem f ¨ur diexundyKoor- dinaten des Sateliten gegeben durch

x⁰⁰ = x+ 2y⁰−µ₁x+µ₂ N1

−µ₂x−µ₁ N2

, y⁰⁰ = y−2x⁰−µ₁ y

N₁ −µ₂ y N₂, wobeiN1undN2definiert sind durch

N1= (x+µ2)²+y²³₂

, N2= (x−µ1)²+y²³₂ .

undµ₂= 1−µ₁. Der Mond befindet sich dabei im Punkt(µ₁,0), die Erde im Punkt(−µ₂,0). Mit den Anfangswerten

x(0) = 0.994, x⁰(0) = 0, y(0) = 0 y⁰(0) =−2.0015851063790825

und f ¨urµ2 = 1/81.45hat das System eine periodische L ¨osung mit der PeriodeT = 17.06521656015796.

Die Berechnung solcher Arenstorf-Orbits ist sehr sensitiv gegen ¨uber kleinen St ¨orungen, deswegen sind sie beliebte Testbeispiele f ¨ur die Genauigkeit numerischer Methoden.

Implementierung

1. Implementieren Sie eine ModelklasseArenstorf Orbit f ¨urHDnum, als Beispiel kann das Mo- delproblemNBody examples/nbody.hhdienen.

2. Wenden Sie das klassische explizite Runge-Kutta Verfahren der 4. Ordnung (imHDnumheißt das VerfahrenRungeKutta4) auf das Arenstorf-Orbit Problem an. W¨ahlen Sie einen festen Zeit- schritth, so dass diek · k₂des Fehlers int=T kleiner als2.42·10⁻⁸ist. Die letzte Schrittweite soll so bestimmt werden, dass t = T erreicht wird. Wie klein muss man h w¨ahlen? Wie oft wertet das Program die rechte Seitef aus?

Schrittweitensteuerung

In der Vorlesung wurden zwei Algorithmen f ¨ur die Schrittweitensteuerung vorgestellt - eigebettete Verfahren und Verfahren mit Richardson-Extrapolation. Die Runge-Kutta-Fehlberg (RKF) sind be- sonders gut geeignet f ¨ur Schrittweitensteuerung. Sie bestehen aus zwei RK Verfahren mitsStufen, eines der Ordnungmund eines der Ordnungm+ 1, wobei diesStufen f ¨ur beide Verfahren identisch sind. Damit spart man bei der Fehlerabsch¨atzung viele Operationen in Vergleich zu zwei allgemeinen RK Verfahren.

3. Die RKF45 Klasse ist schon in HDnum implementiert, siehe src/ode.hh. Mit Hilfe von dieser Klasse implementieren Sie das dreistufige RKF23 Verfahren

0 1 1

1 2

1 4

1 4

m= 2 ¹₂ ¹₂ 0 m= 3 ¹₆ ¹₆ ⁴₆

4. Das Richardson-Extrapolation Verfahren ist inHDnumauch implementiert (KlasseRE). Kom- binieren Sie dieses Verfahren mitHeun2.

5. Wenden Sie das Program (mitRKF23undRE/Heun2) auf das Problem der Arenstorf-Orbits an.

Wie klein mussT OLgew¨ahlt werden, das der Fehler kleiner als2.42·10⁻⁸ist? Vergleichen Sie die Anzahl der Auswertungen vonf mit demRungeKutta4Verfahren.

6. Mit der KlasseTimer kann man die Laufzeit des Programms messen. Vergleichen Sie die Re- chenzeit die f ¨ur alle drei Algorithmen ben ¨otigt wird, um diesselbe Genauigkeit zu erreichen.

Begr ¨unden Sie ihre die Beobachtung.

3+3+3+1+2+2=14 Punkte