RC-Glied als Integrator

RC-Glied als Integrator

Die obere Schaltung bezeichnet man auch als Tiefpass, da hochfre- quente Spannungen durch das C kurzgeschlossen werden. Der span- nungsabfall am Kondensator berechnet sich allgemein zu

∫

= I ( t ) dt C

U

1

Falls R hinreichend groß ist, wird der Strom durch den Widerstand be- stimmt und es gilt:

R ) t ( ) U

t (

I ≅

∫

∫ ⁼

= U ( t ) dt

RC dt 1

R ) t ( U C

U

1

Eine beliebige zeitabhängige Eingangsspannung wird am Tiefpass in- tegriert, falls

1 .

C bzw

R 1 ωτ >>

>> ω

RC-Hochpass als Differenzierglied

Der Spannungsabfall am Ohm’schen Widerstand ergibt sich zu

RI U

=

Wird R hinreichend klein im Vergleich zum kapazitiven Widerstand gewählt, so wird der Strom durch den Betrag von C bestimmt

dt C dU

I ≅

In diesem Fall erhält man wegen UC ≈U_E:

dt ) t ( RC dU

U

=

Eine beliebige zeitabhängige Eingangsspannung wird am Hochpass differenziert, falls die Bedingung

1 .

C bzw

R 1 ωτ <<

<< ω

Sinusförmige Wechselspannungen am RC-Glied

Für

t sin U

U

=

ω

erhält man allgemein am Ausgang des Tiefpass:

( ) ( )

( ) ( ^{ω + ϕ} )

ωτ

− +

= ϕ + ω ω

− +

= sin t

1 t U

RC sin 1

U U

2 0 2

0 C

Ist die Bedingung ωτ >> 1 erfüllt, so ist die Phasenverschiebung zwi- schen Gesamtspannung U_E und U_R = 0 und zwischen U_E und U_C gleich 90°. Man erhält dann:

( ) ^t

RC cos

U

U

ω

− ω

=

Dieses Ergebnis erhält man auch durch Anwendung der oben angege- benen Integrationsbeziehung.

Im Falle eines Hochpasses erhält man durch Differenzieren (im Falle der Gültigkeit von ωτ <<1 !!!) das Resultat

( ) ^{t U cos} ( ) ^t

cos RC U

U

=

ω ω =

ωτ ω

Allgemein gilt :

( ) ( ^{ω + ϕ} )

ω +

= ω sin t

RC 1

U RC

U

( ^RC )

arctan ω

=

ϕ

Integration einer Rechteckspannung

Gegeben sei eine periodische Rechteckspannung:

π

<

ω

<

π

−

=

π

<

ω

<

+

=

2 t für

U U

t 0

für U

U

0 E

0 E

Die Integration dieser Spannung liefert eine linear ansteigende Span- nung bis ωt = π und eine linear abnehmende Spannung im nachfol- genden Intervall bis ωt = 2π (Sägezahnspannung).

Eine Fourierzerlegung der Rechteckspannung in ein Spektrum von Si- nusspannungen sollte es ermöglichen, unter Anwendung der vorheri- gen Ergebnisse für harmonische Spannungen zu demselben Resultat zu gelangen. Die oben angegebene Eingangsspannung kann folgen- dermaßen in eine Reihe entwickelt werden:

( ) ( ) ( ) ( )







 ω + ω + ω + ω +

= π sin 7 t ...

7 t 1 5 5sin t 1

3 3sin t 1

4 sin U

U_{E 0}

Das Ausgangsspannungsspektrum erhält man dann zu

( )

∑

∑

=

∞

=

τ ω τ

− πω

=

=

1

n 2

1 1

0 1

n

Cn

C

n

n cos U

U 4 U

für ungerade n = 1, 3, 5, ....

In den folgenden beiden Abbildungen ist das Amplitudenspektrum der Eingangs- und Ausgangsspannung für n = 1 bis 11 sowie die berech- nete zeitabhängige Ausgangsspannung (in der Summation bis n=9 be- rücksichtigt) dargestellt.

Amplitudenspektrum der Rechteckeingangs- und Sägezahnausgangsspannung

U₀ = 10V

0 2 4 6 8 10 12 14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n - Vielfaches der Grundfrequenz Un/V

0,0001 0,001 0,01 0,1 1

UCn/V

Amplitudenspektrum der Eingangsspannung Ausgangsamplitudenspektrum

Tiefpassintegration einer Rechteckspannung Umax = 10V ; τ = 1s ; fo = 50Hz

-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

0 0,005 0,01 0,015 0,02

t/s UC/V

-15 -10 -5 0 5 10 15

UE/V

berechnet für n=1 bis 9 Eingangsrechteckspannung