SS 2004
Prof.Dr. G. Nebe
Andreas Martin Blatt 9
Ubungen zur Linearen Algebra¨ Abgabe : Dienstag, 22.6.2004, vor den ¨Ubungen
1. Es seien K ein K¨orper, m, n ∈ N, A ∈ Km×m, B ∈ Km×n, C ∈ Kn×n. Zeigen Sie.
det
A B 0 C
= det(A)·det(C).
(3 P.) 2. Es sei K ein K¨orper,n∈N und x1, . . . , xn∈K.
(i) Beweisen Sie die Formel f¨ur die Vandermondesche Determinante.
det
1 x1 x21 · · · xn−11 1 x2 x22 · · · xn−12
... ... ... ...
1 xn x2n · · · xn−1n
= Y
1≤i<j≤n
(xj −xi).
(ii) Es sei Adie Matrix aus Teil (i). Bestimmen Sie jeweils den Eintrag in der linken oberen Ecke und der rechten unteren Ecke vonA−1.
(iii) F¨ur m ∈N0 sei sm :=xm1 +. . .+xmn. Beweisen Sie die Formel f¨ur die Diskriminante von x1, . . . , xn.
det
s0 s1 s2 · · · sn−1
s1 s2 s3 · · · sn s2 s3 s4 · · · sn+1
... ... ... ...
sn−1 sn sn+1 · · · s2n−2
= Y
1≤i<j≤n
(xj −xi)2.
(5+2+2 P.) 3. Bestimmen Sie jeweils das Minimalpolynom der Matrix. In Teil (ii) sei K
ein K¨orper und a∈K.
(i)
3 3 1
2 3 1
−6 −8 −2
∈R3×3. (ii)
0 3 1 3 1 1 4 4 0 3 4 3 2 1 0 3
∈F54×4.
(iii)
a 1 0 · · · 0
0 . .. ... ... ...
... ... ... ... 0 ... . .. ... 1 0 · · · 0 a
∈Kn×n. (iv)
0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
∈F25×5.
(je 3 P.) Die ¨Ubungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse:
www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/la
Tutoriumsaufgaben:
1. Bestimmen Sie jeweils das Minimalpolynom der Matrix A.
(i) A:=
1 3 2
0 5 −4
2 7 5
∈R3×3.
(ii) A:=
1 0 1 2 2 2 1 2 0 0 0 1 1 2 2 1
∈F34×4.
2. Es seien K ein K¨orper, n ∈ N und a1, . . . , an paarweise verschieden. Be- stimmen Sie das Minimalpolynom der Matrix
A:=
a1 0 · · · 0 0 a2 . .. ...
... ... ... ... ...
... . .. ... 0 0 · · · 0 an
∈Kn×n.
