Probleme bei der Implementierung von CA-Systemen

(1)

Computeralgebra

Prof. Dr. K. Madlener

9. Juli 2007

Prof. Dr. K. Madlener: Computeralgebra 1

Einführung Algebraische Grundlagen: Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen

Einleitung

Einführung „Computer Algebra“

I Berechnungen in algebraischen Strukturen: Monoide, Gruppen, Ringe, Polynomringe, Körper, Körpererweiterungen, Moduln, Vektorräume ...

I Lineare Algebra: Vektorräume, Matrizen, Determinanten, Gleichungssysteme.

I Analysis: Grenzwerte, Funktionen, Differentiation, Integration, Differentialgleichungen.

I Algebra: Gruppen, Ringe, Körper, Moduln, Konstruktionen:

Produkte, Quotienten, Unterstrukturen.

I Zahlentheorie: Primzahlen, Faktorisierung, Kryptographie.

I Numerische Berechnungenvs.Symbolische Berechnungen.

I Computer Algebra Systeme, seit 60’er Jahren.

I Inhalt–Umriss

Einleitung

Moderne CA-Systeme

Derive, Macsyma,Maple,Mathematica, Reduce, Scratchpad, Mupad, Mumath,Axiom,Magma, Mathlab

Ziele:

I Breite Funktionalität

I Einfache Bedienung

I Effizienz

I Erweiterbarkeit Probleme:

I Darstellung der Strukturen und ihrer Elemente

I Effiziente Lösungen: Darstellungsabhängig

I Effiziente Transformationen zwischen Darstellungen

Einleitung

Vorteile CA-Systeme

Verarbeitung großer algebraischer Berechnungen genaue Berechnungen „fehlerfrei“

Grundoperationen: Multiplikation, Division, Addition, Substraktion, Exponentation

Arithmetik, Langzahlarithmetik

I GGT, KGV:

Euklidischer Algorithmus(Ringe euklidisch z. B.Z,Q[x])

I Faktorisierung:

UFD (ZPE)-Ringe, Prim-Elemente (z. B.Z,Z[x,y,z], .)

I Klassische Algorithmen sind nicht immer effizient.

Problem:Zwischengrößenwachstum

I Kosten arithmetischer Operatoren hängt von der Länge der Operanden ab.

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Einführung Algebraische Grundlagen: Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen Einleitung

Probleme bei der Implementierung von CA-Systemen

I Allgemeine Systeme: Sprachumgebung, Notationen, Ein/Ausgaben,. . .

I Erfordern oft spezielle Programmiersprachen und Umgebungen

I Spezielle Systeme, z. B. Gruppen oder Gröbnerbasen, können oft nicht in andere Systeme verwendet werden.

I Vielzahl algorithmischer Lösungen, Vergleich schwer.

I Analyse der Algorithmen erfordert oft tiefe mathematische Ergebnisse.

I Wahl der Implementierungs- und Programmiersprachen

Symbolische Numerische Berechnungen

1.1 BeispielChebyshev-Polynome. Rekursive Definition.

T0(x) =1;T1(x) =x;Tk(x) =2xT_k−1(x)−T_k−2(x)fürk≥2.

Liste der Polynome: 1,x,2x²−1,4x³−3x,8x⁴−8x²+1, . . . Werte die Polynome an bestimmten Stellen aus.

Etwa fürx=0.3: 1,0.3,−0.82,−0.792,0.3448, . . . Programm: Berechnung der 5 ersten Werte an einer Stellex.

Für 0.3 sollte das Programm die Ausgabe:

T0[0.3] =1.0;T1[0.3] =0.3; T2[0.3] =−0.82;T3[0.3] =−0.792;

T4[0.3] =0.3448 liefern.

Standard Algorithmus in Programmiersprachen

procedureChebyshev(input,output);

begin

varx: real; T: array[0..4] of real; n: integer;

writeln(x eingeben);

read(x);

T[0] :=1;T[1] :=x; forn:=2to4do

T[n] :=2·x·T[n−1]−T[n−2];

forn:=0to4do writeln(’T’n[x] =T[n]) end.

Maple Version für Chebyshev Polynome

T[0] :=1;

T[0] :=1 T[1] :=x;

T[1] :=x forn=2to4do

T[n] :=expand(2·x·T[n−1]−T[n−2]);

T[2] :=2x²−1 T[3] :=4x³−3x T[4] :=8x⁴−8x²+1

Interne Darstellung Externe Darstellung.

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Einführung Algebraische Grundlagen: Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen Historische Entwicklung der Case

Historische Entwicklung der Case

Faktoren:

I Systeme (Programmiersprachen,HW.)

I Algorithmen (spezielle Lösungen)

I Anwendungen (Erweiterungen)

Höhere Programmiersprachen: Ende der 50er Anfang 60er.

Fortran (58), Algol (60), Lisp (61).

Historische Entwicklung der Case

Systeme 1961-1966:

I I. Slagle (MIT): Lisp-ProgrammSaint(Symbolic Automatic Integration): Lösen von unbestimmten Integralen unter Ausnutzung von Heuristiken.

I J. Sammet, R. Tobey (IBM):FORMAC(Fortran-Preprozessor):

Symbolisches Rechnen mit elementaren Funktionen: Polynome, rationale Funktionen,u.a.

I W.S. Brown (Bell Labs):ALPAK(in Assembler geschriebene Subroutinen für Fortran): Symbolisches Rechnen mit Polynomen und rationalen Funktionen.

I G. Collins (IBM, University of Wisconsin at Madison):PM:

symbolisches Rechnen mit Polynomen.

I C. Engelman (MIT):MATHLAB(LISP-basiert): symbolisches Rechnen mit Polynomen und rationale Funktionen, erstes interaktives System.

Systeme 1966-1971:

I J. Moses (MIT): LISP-ProgrammSIN(Symbolic INtegrator).

I T. Hearn (Stanford University):REDUCE(LISP-basiert, interaktiv):

für physikalische Berechnungen, hohe Portabilität.

I C. Engelman (MIT):MATHLAB-68(graphische Ausgaben).

I A.D. Hall:ALTRAN(ALgebraic TRANslator): Sprache und System für das symbolische Rechnen mit Polynomen und rationale

Funktionen.

I G. Collins:SAC-1(Symbolic and Algebraic Calculations).

I D. Barton, S. Bourne, J. Fitch (University of Cambridge):CAMAL (CAMbridge ALgebra system: für astronomische Berechnungen und für Berechnungen der allgemeinen Relativitätstheorie.

I T. Hearn:REDUCE-2:allgemeines System mit Schwerpunkt für Berechnungen in der Hochenergie-Physik, geschrieben in RLISP (ALGOL-ähnlich).

Systeme 1971-1981:

Alle bisherigen Systeme rein experimenteller Natur, wurden auch außerhalb der Gruppe der Entwickler verwendet. Insbesondere REDUCE weite Verbreitung aufgrund der leichten Portierbarkeit.

I J. Griesmer, R. Jenks (IBM Research):SCRATCHPAD: LISP-basiert, interaktiv, beinhaltet MATHLAB-68, REDUCE-2 und SIN.

I J. Moses, W. Martin (MIT):MACSYMA: algebraische

Berechnungen, Grenzwert-Berechnungen, symbolisch Integrieren, Lösen von Gleichungen.

I G. Collins, R. Loos:SAC/ALDES: Bibliothek von Modulen, die in ALDES (ALgebraic DEScription language) geschrieben sind, zusammen mit einem Übersetzer nach ANSI FORTRAN. Alle verwendeten Algorithmen waren vollständig und ausführlich dokumentiert.

I D. Stautemeyer, A. Rich (University of Hawai):muMATH: eigene Programmiersprache, lief auf PC.

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Einführung Algebraische Grundlagen: Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen Historische Entwicklung der Case

Spezielle Systeme:

I I. Frick (University of Stockholm):SHEEP: Berechnungen von Tensorprodukten.

I W. Jeffreys (University of Texas at Austin):TRIGMAN: in FORTRAN geschrieben, zur Berechnung von Poisson-Reihen.

I H. Veltman (NL):SCHOONSHIP: für Berechnungen in der Hochenergie-Physik.

I V.M. Glushkov (Hiev):ANALYTIK: Implementierung in Hardware.

CASe, die portabel sind meistens C-basiert. Wegen der stark

angestiegenen Rechenleistung der Computer finden CASe mehr und mehr Anwendungen und Benutzer. Insbesondere entstehen nun auch

kommerzielle CASe.

Systeme 1981-1991:

I G. Gonnet, K. Geddes (University of Waterloo):MAPLE: modulare Struktur, bestehend aus einem kleinen kompilierten Kern in C, und einer großen Library von mathematischen Subroutinen, die alle in der eigenen MAPLE Sprache geschrieben sind. Interpreter für die Kommandos, Integer und rationale Arithmetik, Polynom-Routinen und ein effizientes Speicherverwaltungssystem.

I S. Wolfram (Caltech):SMP(Symbolic Manipulation Program): in C geschrieben, Regel-basiert.

I S. Wolfram:MATHEMATICA: symbolische und numerische Berechnungen, graphische Wiedergabe (2-D und 3-D, inkl.

Animation), C-basiert mit eigener Programmiersprache.

I D. Stoutemeyer, A. Rich:DERIVE: interaktiv, nicht als Programmierumgebung.

I weitere allgemeine Systeme:REDUCE 3, DOE-MACSYMA, SYMBOLICS MACSYMA, AXIOM (SCRATCHPAD II).

Spezielle Systeme:

I J. Cannon (University of Sydney):CAYLEY: Gruppentheoretische Berechnungen. MittlerweileMAGMA.

I J. Neubüser (RWTH Aachen):GAP(Group Algorithms and Programming). Mittlerweile in St. Andrews neu implementiert.

I J. Vermaseren:FORM: Berechnungen in der Hochenergie-Physik.

I A.M. Cohen:Lie: Berechnungen in Lie Algebren.

I M. Stillman:MACAULAY: Algebraische Geometrie und komm.

Algebra.

I H. Cohen:PARI: Zahlentheorie.

I Greuel, Pfister (KL):SINGULAR: Gröbner Basen, Algebraische Geometrie, Singularitäten.

I COCOA(Genova) Kommutative Algebra.MAGNUSGruppen.

Literatur

I von zur Gathen/Gerhard: Modern Computer Algebra, 1999,

Cambridge University Press, ISBN 0-521-64176-4, INF 235/167 und L inf 92

I Geddes/Czapor/Labahn: Algorithms for Computer Algebra, INF 235/132, L inf 694.

I Davenport/Siret/Tournier: Computer Algebra, INF 235/116.

I Buchberger et al. (Eds.): Computer Algebra, INF 235/095.

I Mignotte: Mathematics for Computer Algebra, INF 235/126.

I Mignotte/Stefanescu: Polynomials: An Algorithmic Approach, INF 246/057.

I Winkler: Polynomial Algorithms in Computer Algebra, INF 235/132.

I Zippel: Effective Polynomial Computation, INF 246/054.

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Inhalt Teil I

Einführung 1.1 Einleitung

1.2 Symbolische Numerische Berechnungen 1.3 Historische Entwicklung der Case

1.4 Literatur

Algebraische Grundlagen: Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen

2.1 Grundlagen

2.2 ZPE (UFD)-Bereiche 2.3 Euklidische Bereiche

2.4 Ringkonstruktionen: Polynomring 2.5 Ringkonstruktionen: Quotientenkörper 2.6 Ringkonstruktionen: Potenzreihen

Grundlagen

Grundlegende Konzepte der Algebra

Axiome:

A1 Assoziativität: a◦(b◦c) = (a◦b)◦c A2 Neutrales Element: e◦a=a◦e=a(allea) A3 Inverse: a◦a⁻¹ =a⁻¹◦a=e (allea) A4 Kommutativität: a◦b=b◦a(allea,b) A5 Distributivität: a◦(b+c) = (a◦b) + (a◦c)

(a+b)◦c = (a◦c) + (b◦c) A6 Nullteilerfreiheit: a◦b=0⇒a=0 oderb=0.

Additiv neutrales Element: 0 null. Multiplikativ neutrales Element: 1 eins.

Struktur Notation Axiome

Gruppe (G;0) A1;A2;A3

Abelsche Gruppe (G;0) A1;A2;A3;A4

Ring (R; +,·) A₁;A₂;A₃;A4 bzgl.+,A₁;A₂ bzgl.·,A5

Kommutative Ringe (R; +,·) +A4 bzgl.· Integritätsbereich (D; +,·) +A6

Körper (F; +,·) +A3 fürF\{0}bzgl. ·(A6folgt daraus)

Grundlagen

Grundlegende Konzepte der Algebra

2.1 Beispiel Strukturen

ZIntegritätsbereich,Q,R,C Körper,

ZⁿRing,n∈N, Primzahlp Z^p Körper, sonst kein Integritätsbereich.

Beachte: jeder endliche Integritätsbereich ist Körper.

Teilbarkeit und Faktorisierung in Integritätsbereichen

a,b∈D a|b (ateiltb)gdwb =ax für einx∈D. aTeilervonb,b Vielfachesvona.

GGT(GCD)größter gemeinsamer Teilervona,b∈D istc ∈D mitc |a undc |b, wobeic Vielfaches von jedemd mitd|aund d|b ist.

KGV(LCM)kleinstes gemeinsames Vielfachesvona,b∈D istc∈D mit a|c undb|c, wobeic Teiler von jedemd mita|d undb|d ist.

Beachte:nicht eindeutig.

Assoziierte Elemente:a,b∈D sind assoziiert, fallsa|b∧b|a Einheiten:a∈D ist Einheit, fallsaeine multiplikative Inverse besitzt.

Grundlagen

Grundlegende Konzepte der Algebra

2.2 Beispiel Einheiten, assoziierte Elemente:

Z::Einheiten 1,−1 6,−6 sind GGT von 18 und 30, 6,−6 sind assoziiert.

Assoziert sein ist Äquivalenzrelation, Klassen assoziierter Elemente.

Z::{0},{1,−1},{2,−2}, . . .

Auswahl von Repräsentanten aus assoziierten Klassen:

Einheits-normale Elemente::n:D→D n(a)EN.

Z::Nals Einheits-normale Elemente F Körper:: 0,1 Einheits-normal.

Einheits-normaler GGT und KGV sind dann eindeutig.

In der Regel: 0 ist EN, 1 ist EN,a,b EN, so auchab.

Füra∈D, soa=u(a)n(a)eindeutig, wobeiu(a)Einheit undn(a)EN.

Diese Begriffe, geeignet angepasst, sind auch für Ringe und Halbgruppen sinnvoll.

Nullteiler: 06=a∈D ist Nullteiler, fallsab=0 für ein 06=b∈D.

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Einführung Algebraische Grundlagen: Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen ZPE (UFD)-Bereiche

ZPE (UFD)-Bereiche

Prim-Elemente (irreduzible Elemente)::p∈D− {0}ist Prim, falls a)p ist keine Einheit, b)p=ab, soaoderb Einheit.

a,b∈D heißenrelativ Prim (teilerfremd), falls GGT(a,b) =1.

Ein Integerbereich heißtZPE-Ring (UFD), falls füra∈D− {0}gilt,aist Einheit oderakann als (endliches Produkt) von Primelementen

dargestellt werden und diese Darstellung ist eindeutig bis auf Assoziativität und Umordnung:

a=p1· · ·pnPrimelementepi 1≤i ≤n und ista=q1· · ·qmmit Primelementeqi, som=n und bei geeigneter Umordnung derqj giltpi

ist assoziert mitqi.

WähleEinheitsnormale Primelemente:Eindeutige Primfaktorisierung:

a=u(a)p₁ê¹p₂ê²· · ·p_nêⁿ pi Einheitsnormale Primelemente,pi6=pj füri6=j.

2.3 Satz

IstD ein ZPE-Ring{a,b} 6={0}, so existiert GGT(a,b)und ist eindeutig.

ZPE (UFD)-Bereiche

Polynomringe

Polynomring überR:R[x]

a(x) =

m

X

k=0

akx^k,ak ∈R,m≥0, Koeffizientenak

Gradvona(x): größtes nmita_n6=0::grad(a(x)) Standardform

n

X

k=0

akx^k,an6=0:anLeitkoeffizient 0 Polynom:ak =0 für allek:: grad(0) :=−∞

Monisch, fallsan=1

Addition, Multiplikation definiert wie üblich.

Eigenschaften vonR[x]

1. R ist kommutativ, so auchR[x], 0 add. Einheit, 1 mult. Einheit.

2. D Integerbereich, so auchD[x].

Einheiten sind die konstanten Polynomea0 mita0 ist Einheit inD.

3. IstD ein ZPE-Ring, so auchD[x].

Polynome mit einheitsnormalen Leitkoeffizienten heißen einheitsnormal.

ZPE (UFD)-Bereiche

Polynomringe: Beispiele

2.4 Beispiel

Z[x]: Einheiten 1,−1, einheitsnormale Polynome sind solche mit positiven Leitkoeffizienten.

Q[x]: Einheiten sind konstante Polynome(6=0). Einheitsnormale Polynome: Leitkoeffizienten 1 bzw. 0.

Zp[x]p prim: wie inQ[x].

Beachte

grad(a(x) +b(x))≤max(grad(a(x),grad(b(x))) (= falls grad(a(x))6=grad(b(x))

grad(a(x)·b(x)) =grad(a(x)) +grad(b(x))

Euklidische Bereiche

2.5 Definition

Euklidischer Ringist IntegerbereichD mit einer Bewertung v:D− {0} →N, die folgende Eigenschaft hat:

1) für allea,b∈D− {0}:v(ab)≥v(a)

2) für allea,b∈Dmitb6=0 gibt esq,r ∈D:a=bq+r, wobeir=0 oderv(r)<v(b).

I Zmitv(a) =|a|erfüllt 1), 2).

I F Körperv(a) =1,a6=0 (r immer 0).

I Q[x](allgemeinerF[x]F Körper) v(a(x)) =grad(a(x))erfüllt 1) + 2).

Beachte:

q (Quotient),r (Rest) in 2) müssen nicht eindeutig bestimmt sein (fallsr 6=0).

(7)

Einführung Algebraische Grundlagen: Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen Euklidische Bereiche

Euklidische Bereiche

Z:a=−8 b=3, so

−8=3·(−2)−2=3·(−3) +1,

d. h.q=−2,r=−2 undq=−3,r=1 erfüllen 2).

Vereinbarungen um Eindeutigkeit zu erreichen:

I InZ

a) Wähleq,r mitr=0 oder sign(r) =sign(a) b) Wähleq,r mitr =0 oder sign(r) =sign(b)

I InF[x]sindq,r eindeutig. (warum?) Euklidische Ringe sind ZPE-Ringe.

g =GGT(a,b), so gibt ess,t ∈D mitg =sa+tb (nicht eindeutig!) s,t heißenBezout-Koeffizienten.

Annahme:In “effektiven” Euklidischen Ringen sein zua,b stets eindeutigeq,r berechenbar.

Euklidischer Algorithmus

InZ:: GGT-Berechnung von 126 35 126 = 3·35+21

35 = 1·21+14 21 = 1·14+7 14 = 2·7+0

7 ist GGT(126,35)

Anwendung: Simplifikation rationaler Ausdrücke: 35/126 5/18 Nutzen:Zahlen „klein“ halten.

SeiD euklidischer Bereicha,b∈D,b6=0. Seienq,r Quotient und Rest mita=bq+r, wobei r=0 oder v(r)<v(b)setze

quo(a,b) =q (auchaquob)und rem(a,b) =r (aucharemb oder amodb) Es gilt dann GGT(a,b) =GGT(b,r)

Grundlage für Euklidischen Algorithmus

2.9 Lemma GGT(a,b) =GGT(b,r) Beweis: Seia=bq+r, dann gilt

GGT(a,b)und GGT(b,r)sind assoziiert, da EN sind sie gleich.

Seiena,b∈D,b6=0,v(a)≥v(b).

EineRestefolgefüra,b ist definiert durch die Folge{ri}mit r0:=a,r1:=b undri=rem(r_i−2,r_i−1),i =2,3,4. . . Es giltv(r0)≥v(r1)>v(r2)>v(r3). . .

Es gibt eink mitrk+1=0 (k≤v(b))und GGT(a,b) =n(rk).

Procedure Euclid

procedureEuclid (a,b)

{Berechneg =GGT(a,b) a,b∈D euklid. Bereich}

begin

c:=n(a);d :=n(b);

whiled 6=0do begin

r :=rem(c,d);

c :=d; d :=r; end

g:=n(c);returng end.

Korrektheit und Terminierung folgen aus Lemma und Restefolgeneigenschaften. Komplexitätsanalyse folgt.

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Erweiterter euklidischer Algorithmus (EEA)

procedureEEA(a,b;s,t)

{Berechneg =GGT(a,b) unds,t∈D mitg=sa+tb}

begin

c :=n(a);d :=n(b);c1:=1;d1:=0;c2:=0;d2:=1;

whiled 6=0do begin

q:=quo(c,d);r :=c−q·d;

r1:=c1−q·d1;r2:=c2−q·d2; {Invariante::}

c :=d;c1:=d1;c2:=d2; {c =c1n(a) +c2n(b)∧}

d :=r;d1:=r1;d2:=r2; {d=d1n(a) +d2n(b)}

end g :=n(c);

s:=c1/(u(a)·u(c));t :=c2/(u(b)·u(c));return(g);

end.

Beachte:

n(c) =c1·_u(c)^n(a)+c2·^n(b)_u(c): d.h.s,t sind die Bezout-Koeffizienten.

Erweiterter euklidischer Algorithmus: Beispiel

2.10 BeispielIn Z:: a=18 b=30 Wertefolge::

Iteration q c c1 c2 d d1 d2

0 − 18 1 0 30 0 1

1 0 30 0 1 18 1 0

2 1 18 1 0 12 −1 1

3 1 12 −1 1 6 3 −1

4 2 6 2 −1 0 −5 3

g =6,s=2,t=−1, GGT(18,30) =2·18−1·30=6

Erweiterter euklidischer Algorithmus: Beispiel

InQ[x]:: a=12x³−28x²+20x−4,b=−12x²+10x−2

u(a) =12 u(b) =−12

Iter. q c c1 c2 d

− − x³−⁷₃x²+⁵₃x− ¹₃ 1 0 x²−⁵₆x+¹₆ 1 x−³₂ x²− ⁵₆x+¹₆ 0 1 ¹₄x−₁₂¹

2 4x−2 ¹₄x− ₁₂¹ 1 −x+³₂ 0

g =n(c) =x−¹₃,s= _u(a)u(c)^c¹ = ₁₂¹₁

4

= ¹₃ t= ^−x+³²

(−12)¹₄ = ^x−₃³² = ^x₃ −¹₂ x−¹₃ = ¹₃a+ ^x₃ −¹₂

b

Kostenanalyse von EAA für Z und F [x ]

Seiena,b∈R mitn=v(a)≥v(b) =m≥0.

Die Anzahll der Durchläufe der While-Schleife wird durchl ≤v(b) +1 beschränkt. Die wesentliche Operation ist die Division mit Rest.

Diese istl-mal durchzuführen:l ≤v(b) +1=m+1.

SeiR=F[x],F Körper, dannv(a) =grad(a).

ZähleGrundoperationen(go) in F:

Kosten der Division mit Rest: Seien grad(a) =n, grad(b) =m.

Ein Durchgang der Division kostet: Eine Division,m Multiplikationen,m Additionen inF,n−m+1 Durchläufe, d. h.

(2m+1)(n−m+1) = (2 grad(b) +1)(grad(q) +1)∈O(n²) Operationen inF.Istb monisch, so spart man die Division.

Seini =grad(c)in Durchlaufi (0≤i ≤l+1), wobei d in Durchlaufl Null wird. Dann giltn0=n≥n1 =m>n2>· · ·>nl und

grad(qi) =n_i−1−ni für 1≤i ≤l (qi Wert vonqin Durchlaufi). Kosten der Division mit Rest:(2ni+1)(n_i−1−ni+1)arithm. Operationen inF.

(9)

Kostenanalyse von EAA für F [x ]: Kosten für s und t

Die Kosten für dieri undqi sindP

1≤i≤l(2ni+1)(ni−1−ni+1) Operationen inF. Normaler Fall:ni =n_i−1−1=· · ·=m−i+1 2≤i≤l=m+1≤2mn+2m.

2.11 Lemma Seisi Wert vonc1 in Durchgangi undti Wert vonc2 in Durchgangi. Dann gilt

1. gradsi= X

2≤j<i

gradqj =n1−n_i−1 2≤i ≤l+1 2. gradti= X

1≤j<i

gradqj=n0−ni−1 1≤i≤l+1

Beweis:Wir zeigen nur 1) und grads_i−1 <gradsi (2≤i ≤l)durch Induktion nachi.

i =2::s2= (s0−q1s1) =1−q1·0, grads1=−∞<0=grads2. Seii ≥2 Behauptung richtig für 2≤j≤i, dann

grads_i−1<gradsi<n_i−1−ni+gradsi=grad(qisi)

Kostenanalyse von EAA für F [x ]: Kosten für s und t

Also gradsi+1 =grad(s_i−1−qisi) =gradqi+gradsi >gradsi

und

gradsi+1=gradqi+gradsi= X

2≤j<i

gradqj+gradqi= X

2≤j<i+1

gradqj

Die Berechnungti+1= (t_i−1−qiti)bzw.si+1= (s_i−1−qisi).

Multiplikation von Pol gradn,m:≤2(n+1)(m+1)Operationen.

2(gradti+1)(gradqi+1) + (gradti+1+1), d. h.

X

2≤i≤l

2(n0−ni−1+1)(ni−1−ni+1) + (n0−ni+1) Normalfall

X

2≤i≤m+1

2(n−m+i−1)2+n−(m−i+1) +1=

X

2≤i≤m+1

5n−5m+5i−4=5nm−5mm+5

2m(m+1) +O(m)

Kostenanalyse für Z : Langzahlarithmetik

Darstellung von Zahlen: Wort 64 Bits.2⁶⁴-Standard Darstellung: Zahl als Feld von Wörtern. Erstes Wort für Vorzeichen und Länge des Feldes, d. h.a∈Z

a= (−1)^s X

0≤i≤n

ai2⁶⁴ⁱ s∈ {0,1},0≤n+1<2⁶³,ai ∈ {0, . . . ,2⁶⁴−1}.

Als Feld:s2⁶³+n+1,a0, . . . ,anvon 64 Bit-Wörtern, z. B.

−1:2⁶³+1,1 und 1:1,1.

Bereich:−2^64·2⁶³+1 bis 2^64·2⁶³−1.

Länge vona:λ(a) =blog₂64|a|c+1=j_log

2|a|

64

k +1.

Allgemein: Darstellung zur Basisb mit 2≤b< ^|w₂^|, wobei|w|

Wortlänge ist (Multiplikation der Koeffizienten in Wort).

a= (u1. . .un)b 0≤ui<b, d. h.a=Pn

i=1uibⁿ⁻ⁱ

=un+un−1b+· · ·+u1bⁿ⁻¹ aistn-stellig zur Basisb.

a<bⁿ ahat Länge≤n.

Langzahlarithmetik: Klassische Algorithmen

Klassische Algorithmen für:+,−,·,quo, Exponentation MaßinGrundoperationen(go):

I Addition, Substraktion von 1-stelligen Zahlen

I Multiplikation von 1-stelligen Zahlen

I Division von 1-stelligen Zahlen

(10)

Algorithmen: Addition

A: Addition nicht negativer ganzer Zahlen zur Basisb.

Eingabe:(u1· · ·un)b (v1· · ·vn)b

Ausgabe:(w0· · ·wn)bw0 Übertrag mit (u0· · ·un)b+ (v1· · ·vn)b= (w0· · ·wn)b

begin

j :=n;k:=0 {k=Übertrag}

whilej>0do begin

wj:= (uj+vj+k)modb; {k ∈ {0,1}}

k:=b(uj+vj+k)/bc;

j:=j−1;

end w0:=k;

end. Korrektheit! Aufwand≈2ngo.

Algorithmen: Substraktion

S: Substraktion nicht negativer ganzer Zahlen.

Eingabe:(u1· · ·un)b≥(v1· · ·vn)b

Ausgabe: Nichtnegative Differenz:u−v = (w1· · ·wn)b

begin j :=n;k:=0 whilej>0do

begin

wj:= (uj−vj+k)modb;

k:=b(uj−vj+k)/bc {k∈ {0,−1}}

j:=j−1;

end

end. Korrektheit! Aufwand≈2ngo.

Algorithmen: Multiplikation

M: Multiplikation nicht negativer ganzer Zahlen Basisb. Eingabe:(u1· · ·un)b≥(v1· · ·vm)b, d. h.n≥m

Ausgabe: Produktu·v = (w1· · ·wm+n)b

forifrom 1tondo

w_m+i:=0; {Initialisierung m+i−te Stelle}

j:=m;

whilej>0do begin ifv_j =0then

w_j:=0 else

begin i:=n;k:=0;

whilei>0do

t:=uivj+wi+j+k;wi+j :=tmodb;k:=bt/bc;i:=i−1;

w_j:=k;

end j:=j−1;

end {Korrektheit! Aufwand≈3nmgo}

Algorithmen: Motivation für Multiplikationsalg.

(u1· · ·un)(v1· · ·vm)

(u1vm)· · · (u_n−1vm)(unvm) (u1v_m−1)· · · (unv_m−1)

m

(u1v1)· · ·(unv1)

w1· · ·wmwm+1 · · ·wn+m

(11)

Algorithmen: Division

D: Division mit Rest nicht negativer ganzer Zahlen Basisb.

Eingabe:(m+n)stellige Zahl,nstellige Zahl.

Ausgabe:(m+1)stelliger Quotient,n stelliger Rest.

Reduktion auf: Division mit Rest einer(n+1)stelligen Zahlu durch n-stellige Zahlv, mit 0≤_u

v

<b.

Restr ist jeweils kleiner alsv, d. h.rb + (nächste Stelle des Dividenden) als „neues“u,

z. B.

3142:47=66 Rest 40 282

322 282 40

Algorithmen: Division

Problem

Eingabe:u= (u0u1· · ·un)b v= (v1· · ·vn)bmit_u

v

<b (einstellig).

Bestimme:q=_u

v

mitu=qv+r, wobei 0≤r<v. Schätzung fürq:qˆ=min

ju₀b+u₁ v₁

k ,b−1

erste Stelle fürq.

2.12 Lemma (Übung): Es gilt 1)ˆq≥q

2) Fürv₁≥_b

2

giltqˆ−2≤q≤ˆq

D: Division mit Rest nicht negativer ganzer Zahlen Basist.

Eingabe:u= (u1· · ·um+n)b v= (v1· · ·vn)b,v16=0,n>1 Ausgabe: Quotient_u

v

= (q0· · ·qm)b, Restu modv = (r1· · ·rn)b

Algorithmen: Division

begin d:=j

b (v₁+1)

k

; {d∈ {bb/2c, . . .1}}

(u0· · ·um+n)b:= (u1· · ·um+n)·d; (v1· · ·vn)b:= (v1· · ·vn)·d;{Normierung}

forjfrom 0tomdo begin

ifuj =v1then ˆ

q:=b−1 else

ˆ q:=j_u

jb+u_j+1 v₁

k

whilev2qˆ>(ujb+uj+1−qvˆ 1)b+uj+2do ˆq:= ˆq−1;

if(uj· · ·uj+n)b<ˆq·(v1· · ·vn)bthen ˆ

q:= ˆq−1;

(uj· · ·uj+n)b:= (uj· · ·uj+m)b−qˆ·(v1· · ·vn)b;qj:= ˆq;

end

(r1· · ·rn)b:= (um+1· · ·um+m)b/d;

end. Korrektheit! AufwandO(m·n)go.

Algorithmen: Exponentation

E: Exponentation:: Eingabe:x Basisb,n∈N. Ausgabe:xⁿ Naive Lösung:n-Multiplikationen.

Durch Quadrieren: logn Multiplikationen, d. h.x²,x⁴,x⁸, . . . Länge der Zahlen:λ(x) =h λ(xⁿ) =n·h

begin

y:=x;z:=1; {Ergebnis in z,y x,x²,x⁴, . . .} whilen>1do

begin m:=_n

2

; if n>2mthen

z:=zy;

y:=yy;n:=m;

end z:=zy; end.

(12)

Algorithmen: Exponentation Beispiel

x¹³

n 13 13 6 3

m 6 3 1

y x x² x⁴ x⁸ z 1 x x x⁵ x¹³ Grundlage: Istn=

k

X

i=0

ei2ⁱ ei ∈ {0,1}, so xⁿ=x^P^kⁱ⁼⁰^eⁱ²ⁱ =

k

Y

i=0

x^eⁱ^·2ⁱ = Y

i:e_i6=0

x²ⁱ Anzahl der Multiplikationen:

N=k+e0+e1+· · ·+ek−1≤2k=2 logn Problem:

Naiver Algorithmusxⁿ λ(x)festxⁱ·x kostetc·i·λ(x)²

Hingegeny·y kostetc·λ(y)·λ(y). D.h. es kommen größere Zahlen vor!

Algorithmen: Exponentation Analyse

cexp(n)≈c·λ(x)²

k−1

X

i=0

2²ⁱ⁺¹+c·λ(x)²

k

X

i=1

ei





i−1

X

j=0

ej2^j



2ⁱ cnaiv(n)≈ ¹₂c·n²·λ(x)² =c·λ(x)·

n−2

X

i=1

i·λ(x) d. h.n=2^k

cexp(n)∼= 4

3c·n²λ(x)²∼= 8 3cnaiv(n) Fürn=2^k+2^k−1

cexp(n)∼= ⁴₃c·2^2kλ(x)²+c·2^2k−1λ(x)²' ¹¹₆c·2^kλ(x)² cnaiv(n) =⁹₄c·2^2kλ(x)²' ²⁷₁₂cexp(n)

Fallsx∈R,R endlich, so können die Kosten der Multiplikation als konstant gesehen werden und exp ist erheblich schneller als naiv.

Anwendungen: Cryptographie: Kodierung und Decodierung RSA-Methode:y=xⁿ moda,n>10⁵⁰,

Rekurrenzgleichungen, Potenzreihenentwicklungen.

GGT Kosten für Z : v (a) = |a|

a=r0 ≥b=r1>r2>· · ·>rl≥0 qi≥0 allei Darstellung der Zahlen z. B. 2⁶⁴-Standard Darstellung Längeλ(a) =

jlog₂|a|

64

k +1

Verwendet manl≤v(b) +1=b+1≤2^64λ(b) exp inλ(b).

Polynomiale Schranke fürl : 1≤i ≤l r_i−1=qiri+ri+1≥ri+ri+1>2ri+1, d. h.

Y

2≤i<l

r_i−1>2^l−2 Y

2≤i<l

ri+1 fürl ≥2 r_l−1≥2 folgt 2^l−2< _r^r¹^·r²

l−1r_l < ^r₂¹² oderl ≤ b2 logr1c+1≈128λ(b) 2.13 SatzLamé 1845

Sein∈N⁺und u kleinste positive Zahl, für die der EA für Eingabeu,v⁰ n Iterationen benötigt für mindestens eine Zahlv⁰ mitv⁰≤u. Dann gilt u=Fn+1 undv⁰=Fn, wobeiFk k-te Fibonacci Zahl.

GGT Kosten für Z : v (a) = |a|

Alle Quotienten gleich 1, z. B.(a,b) = (13,8)EA 13= 1·8+5

8= 1·5+3 5= 1·3+2 3= 1·2+1 2= 2·1

l für(a,b) = (Fn+1,Fn)

l =n−1≈1.44 logFn+O(1) fürb fest undaVar gilt

im Mittell ≈0.584 logb

Beachte: Dirichlet / Lejeune 1849 Cesaro 1881 Für zufällig gewählte Zahlena,b gilt

PR(GGT(a,b) =1) = _π⁶₂ ≈0.6079 Verwende:PR(p-n∧p-m) =1−_p¹2

Q

p(1−_p¹2)≈ _π⁶2

(13)

Aufwand für EEA über Z

Sein=λ(a),m=λ(b) O(nm)für EA

(Kosten der Div mit Resta=qb+r O((λ(a)−λ(b))·λ(b))go) Für die Bezout Koeffizienten gilt analog

|si| ≤ _r^b

i−1 und|ti| ≤ _r^a

i−1 1≤i ≤l+1

2.14 SatzDer EEA für Zahlena,b∈Nλ(a) =n≥λ(b) =m, kann mit O(nm)go durchgeführt werden.

Weitere Ergebnisse und Bemerkungen siehe von zu Gathen, Gerhard bzw.

Mignotte. Siehe auch Knuth Kap. 4.5.3, Bach/Shallit 4.2, 4.3.

Viele Varianten zur Berechnung vom GGT (z. B. ohne Division).

KGVKleinste gemeinsamer Vielfache (LCM) KGV(a,b) = |ab|

GGT(a,b) Reduktion auf GGT-Berechnung.

Ringkonstruktionen: Polynomring

Ringkonstruktionen: R [x ] Polynomring

R ZPE, soR[x]ZPE-Ring.R euklidisch6⇒R[x]euklidisch

z. B.Z[x]nicht euklidisch, da kein Hauptidealring (z. B.h2,xiwird nicht vona(x)∈Z[x]erzeugt oderQ[x,y]nicht euklidisch, da kein

Hauptidealring (z. B.hx,yi).

Vorteile E-Ringe: Euklidischer Algorithmus für GGT Berechnung.

Anwendungen: Lösung diophantischer Gleichungen in F[x] :a(x),b(x),c(y)gesuchtσ(x)undτ(x)mit

σ(x)a(x) +τ(x)b(x) =c(x)

Lösbar fürg(x) =GGT(a(x),b(x))|c(x). Eindeutigkeit und Schranken für die Grade vonσ(x), τ(x)(Übung).

Zerlegung rationaler Funktionen:

c(x)

a(x)b(x) = τ(x) a(x)+σ(x)

b(x) Integration Problem: wie berechnet man GGT inZ[x]oderQ[x,y].

Pseudodivision primitiver EA.

Ringkonstruktionen: Quotientenkörper

Quotienten-Körper von Integritätsbereichen

Übergang vonZ Q.D: Integritätsbereich Körper.

Setze::S={a/b:a∈D,b∈D− {0}}formale Quotienten.

∼aufS:a/b∼c/d gdwad =bc ist Äquivalenzrelation aufS [a/b] S/∼={[a/b] :a∈D,b ∈D− {0}},a/b∈[a/b]Repräsentant.

Addition + Multiplikation aufS/∼:

(a/b) + (c/d) = (ad+bc)/bd

(a/b)·(c/d) =ac/bd wohldefiniert auf Äquivalenzklassen.

S/∼ist Körper::Q(D) (FD):: Quotientenkörper vonD.

Kleinster Körper, derD enthält,D∼={[a/1] :a∈D}

0/1 1/1 a/1 mitaidentifiziert.

Praxis: eindeutige Repräsentanten für[a/b], Entscheidung für∼.

Falls GGT inD existiert:

a/b ∈[a/b]∈S ist Repräsentant, falls GGT(a,b) =1,b ist einheitsnormal,a,b in „Normalform“.

z. B.ZQuotientenkörperQ(Z) =Q a/b „kanonisch“, (b>0).

−2/4,2/−4,100/−200,−600/1200 Kan. repräsentant:−1/2.

Ringkonstruktionen: Quotientenkörper

Quotienten-Körper rationaler Funktionen

D[x]mitD ZPE-Ring,Q(D[x])Körper der rationalen Funktionen (Ausdrücke) inx :: SchreibeD(x).

Beachte: Operationen+,·sind „teuer“.

Addition: 3-Multiplikationen + Addition + GGT Berechnung Multiplikation: 2 Multiplikationen und GGT Berechnung.

Wähle geeignete Darstellungen Fall Z[x] Q[x]bzw.Z(x) Q(x) inQ(x) :a(x)/b(x) = ₁₀₀¹⁷x²−₁₁₃³ x+¹₂

/ ⁵₉x²+⁴₅ Die Äquivalenzlasse enthält Repräsentanten mit ganzzahligen Koeffizienten: z. B.

a(x)/b(x) = (4284x²−675x+12600)/(14000x²+20160)∈Z(x).

D mit Quotienten-KörperFD dannD(x)∼=FD(x).

Beachte: unterschiedliche kanonische Repräsentanten möglich.

Siehe Beispiel oben.

(14)

Einführung Algebraische Grundlagen: Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen Ringkonstruktionen: Potenzreihen

Potenzreihen - erweiterte Potenzreihen

R[[x]]Potenzreihenmit Koeffizienten inR: Ausdrücke a(x) =

∞

X

k=0

akx^k ak ∈R ord(a(x)) =min{k:ak 6=0}.

0 alleak =0,ak =0 fürk≥1Konstante PR.

Addition + Multiplikation wie üblich!

d(x) =a(x)·b(x) =P∞

k=0dkx^k mitdk =a0bk+· · ·+akb0 k≥0 Eigenschaften:

1. R[x],→R[[x]]

2. R kommutativ, so auch R[[x]]0,1

3. R Intbereich, so auchD[[x]]. Einheiten sindPRmita0 Einheit inR.

4. F Körper, so istF[[x]]euklidischer Ring mit Bewertung v(a(x)) =ord(a(x)).

Ringkonstruktionen: Potenzreihen

Potenzreihen - Einheiten

a(x) =P

akx^k b(x) =P

bkx^k a(x)·b(x) =1 so 1=a0b0

0=a0b1+a1b0

...

0=a0bn+a1bn−1+· · ·+anb0

a0 ist Einheit Ista0Einheit inR, so wirdb bestimmt durch

b0=a⁻¹₀ ,b1=−a⁻¹₀ (a1b0),· · ·,bn=−a⁻¹₀ (a1bn−1+· · ·+anb0) InZ[[x]] gilt (1−x)⁻¹=1+x+x²+x³+· · ·

Beachte

ord(a(x) +b(x))≥min{ord(a(x)),ord(b(x))}

ord(a(x)·b(x)) =ord(a(x)) +ord(b(x)).

Füra(x),b(x)∈F[[x]],a(x)6=06=b(x), soa(x)|b(x)oderb(x)|a(x).

Sei ord(a(x)) =l ord(b(x)) =m, d. h.

a(x) =x^l¯a(x) b(x) =x^mb¯(x) ¯a(x),b(x)¯ Einheiten.

l ≥m, soa(x)/b(x) =x^l−m¯a(x)·¯b(x)⁻¹∈F[[x]].

Potenzreihen - Einheiten, GCD in F [[x ]]

Füra(x),b(x)∈F[[x]],b(x)6=0 gibt esq(x),r(x)mit a(x) =b(x)·q(x) +r(x)mit

r(x) =0 falls ord(a(x))≥ord(b(x)),r(x) =a(x)falls ord(a(x))<ord(b(x)).

Quotientenkörper:Q(D[[x]])Schreibe D((x)).

Achtung:D ZPE Ring6 D[[x]]ZPE Ring, d. h. Normalformen schwer, assoziierte Elemente!

a(x) =2+2x+2x²+3x³+4x⁴+· · · b(x) =2+4x+6x²+9x³+13x⁴+· · · c(x) =2+x³+x⁴+x⁵+x⁶+· · · b(x) =a(x)(1+x+x²+x³+x⁴+· · · c(x) =a(x)(1−x)

sind assoziiert

WelchePR soll als einheitsnormal gewählt werden!InF[[x]]geht dies:

a(x) =x^l·b(x),l =ord(a(x))b(x) =al+al+1x+· · · al6=0 alsob(x) Einheit. Die Monomex^l(l ≥0)und 0 sind einheitsnormal.

GCD(a(x),b(x)) =xmin{ord(a(x)),ord(b(x))}

Erweiterte Potenzreihen

InF((x))

∞

X

k=0

akx^k

!

/xⁿ n≥0

Fhxi:a(x) =

∞

X

k=m

akx^k ak ∈F,k≥m,m∈Z ord(a(x)) =min{k:ak 6=0}(<0!)

Fhxiist Körper.

Zusammenhang:

D[[x]]

D[x]

F_D[x] F_D[[x]]

D((x)) D(x)

F_D(x) F_D((x)) F_Dhxi