3.1 Polynome und rationale Funktionen

3.1 Polynome und rationale Funktionen

Funktion

f :D→R, x7→f(x)

ordnet jedem Argument x aus dem Definitionsbereich D ⊆ R einen Wert f(x) aus dem Wertebereich W ⊆R zu

y

x D

W

f

Graph: Paare (x, y) mit y=f(x) Umkehrfunktion

injektive Funktion f :D3x→y=f(x)∈W

f⁻¹ :W →D⊆R, y 7→x=f⁻¹(y) Graph: Spiegelbild des Graphen von f an der ersten Winkelhalbierenden Rechnen mit Funktionen

punktweise definierte Operationen

• Linearkombination: (rf +sg)(x) = rf(x) +sg(x)

• Produkt und Quotient: (f g)(x) = f(x)g(x), (f /g)(x) = f(x)/g(x)

• Hintereinanderschaltung: (f◦g)(x) =f(g(x))

Gerade und ungerade Funktionen

gerade: symmetrisch zur y-Achse,f(x) =f(−x)

ungerade: punktsymmetrisch zum Ursprung, f(x) = −f(−x) Monotone Funktion

wachsend

x₁ < x₂ =⇒ f(x₁)≤f(x₂)

⇔ f⁰ ≥0 bis auf isolierte Punkte analog: monoton fallend (≤ ↔ ≥)

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Konvexe Funktion

Sekante oberhalb des Graphen

f((1−t)x1+tx2)≤(1−t)f(x1) +t f(x2), t∈(0,1)

⇔ f⁰⁰≥0 bis auf isolierte Punkte Konvexit¨at =⇒ Stetigkeit

Polynom

Polynom pvom Grad n

p(x) =a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ, a_n 6= 0 reelle oder komplexe Koeffizienten ak

Lineare Funktion

f(x) = ax+b Graph: Gerade mit Steigung a und y-Achsenabschnitt b

y= ax+b

1 a b

0 x

y

• Punkt-Steigungs-Form: y−y0

x−x₀ =a

• Zwei-Punkte-Form: y−y0

x−x0

= y1−y0

x1−x0

Quadratische Funktion

f(x) = ax²+bx+c ⇔ y =a(x−x0)²+y0

Graph: Parabel mit Scheitel (x0, y0) = (−b/(2a),−b²/(4a) +c) Polynomdivision

Division mit Rest

p=f q+r, Grad f = Gradp−Gradq≥0, Gradr <Gradq p(t) = 0, q(x) = (x−t) =⇒ r = 0, d.h. p(x) =f(x)(x−t)

Faktorisierung von Polynomen

Linearfaktoren zu komplexen Nullstellen zk

p(z) =c(z−z₁)· · ·(z−z_n)

Paare komplex konjugierter Nullstellen xk±iyk reelle quadratische Faktoren (z−xk−iyk)(z−xk+ iyk) = (z−xk)²+y_k²

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Interpolationspolynom in Lagrange-Form p(x_k) =f_k =⇒

p(x) = Xn

k=0

fkqk(x), qk(x) = Y

j6=k

x−xj

xk−xj

linearer Interpolant (n = 1)

p(x) =f0

x1−x x1−x0

+ f1

x−x0

x1−x0

Rationale Funktion Quotient zweier Polynome

r(x) = p(x)

q(x) = a0+a1x+· · ·+amx^m b₀+b₁x+· · ·+b_nxⁿ irreduzibel, wenn pund q keinen gemeinsamen Linearfaktor besitzen Polstellen: Nullstellen des Nenners, Ordnung entspricht der Vielfachheit Partialbruchzerlegung

Zerlegung entsprechend der Polstellen zj (Ordnung mj)

r(z) = p(z)

q(z) =f(z) +X

j

rj(z), rj(z) = aj,1

z−zj

+...+ aj,mj

(z−zj)^mj Gradf = Grad p−Grad q (f = 0, falls Z¨ahlergrad <Nennergrad)

Berechnungsmethoden

• Multiplikation mit

q(z) =cY

j

(z−zj)^mj

und Vergleich der Koeffizienten von z^k

• Multiplikation mit (z−zj)^mj und Setzen von z =zj Koeffizient aj,mj; rekursive Anwendung nach Subtraktion bereits bestimmter Terme

Reelle Partialbruchzerlegung

reelle Polstellen xj (Vielfachheit mj) und komplex-konjugierte Polstellen uk±ivk (Vielfachheit nk)

r(x) = p(x)

q(x) =f(x) +X

j mj

X

ν=1

aj,ν

(x−xj)^ν +X

k nk

X

µ=1

bk,µ(x−uk) +ck,µ

((x−uk)²+v_k²)^µ Gradf = Grad p−Grad q (f = 0 falls Z¨ahlergrad <Nennergrad)

Berechnungsmethoden

• Multiplikation mit

q(z) =cY

j

(z−xj)^mj Y

k

((x−uk)²+v²_k)^nk

und Vergleich der Koeffizienten von z^`

• Zusammenfassen komplex-konjugierter Terme der komplexen Partialbruchzerlegung

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