3.1.3 Rationale Funktionen
Rationale Funktion Quotient zweier Polynome
r(x) = p(x)
q(x) = a0+a1x+· · ·+amxm b0+b1x+· · ·+bnxn irreduzibel, wenn pund q keinen gemeinsamen Linearfaktor besitzen Polstellen: Nullstellen des Nenners, Ordnung entspricht der Vielfachheit
Partialbruchzerlegung
Zerlegung entsprechend der Polstellen zj (Ordnung mj)
r(z) = p(z)
q(z) =f(z) +X
j
rj(z), rj(z) = aj,1
z−zj +...+ aj,mj
(z−zj)mj
Gradf = Grad p−Grad q (f = 0, falls Z¨ahlergrad <Nennergrad) Berechnungsmethoden
• Multiplikation mit
q(z) =cY
j
(z−zj)mj
und Vergleich der Koeffizienten von zk
• Multiplikation mit (z−zj)mj und Setzen von z =zj Koeffizient aj,mj; rekursive Anwendung nach Subtraktion bereits bestimmter Terme
Reelle Partialbruchzerlegung
reelle Polstellen xj (Vielfachheit mj) und komplex-konjugierte Polstellen uk±ivk (Vielfachheit nk)
r(x) = p(x)
q(x) =f(x) +X
j mj
X
ν=1
aj,ν
(x−xj)ν +X
k nk
X
µ=1
bk,µ(x−uk) +ck,µ ((x−uk)2+vk2)µ
Gradf = Grad p−Grad q (f = 0 falls Z¨ahlergrad <Nennergrad) Berechnungsmethoden
• Multiplikation mit
q(z) =cY
j
(z−xj)mj Y
k
((x−uk)2+v2k)nk
und Vergleich der Koeffizienten von z`
• Zusammenfassen komplex-konjugierter Terme der komplexen Partialbruchzerlegung
45