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Strömungsverhältnisse bei gekrümmten Isobarenverlauf
¾ Das geostrophische Gleichgewicht zwischen Druckgradient- kraft und Corioliskraft gilt nur für Luftströmung entlang geradliniger Isobaren, wenn keine Zentrifugalkräfte wirken.
¾ In vielen Fällen sind die Bahnen der Luftteilchen in der freien Atmosphäre jedoch so schwach gekrümmt, daß der Wind annähernd geostrophisch ist.
¾ Bei stark gekrümmten Bahnen oder kreisförmiger bewegung,
z. B. in Tiefdruckgebieten, insbesondere tropische Zyklonen,
Tornados, Windhosen oder Staubteufeln kann man jedoch
die Zentrifugalkräfte nicht vernachlässigen.
Wasserhosen
Staubteufel
Satellitenaufnahme einer tropischen Zyklone
T H
V P
Co + Z
V Co
P + Z
zykloner Gradientwind antizykloner Gradientwind
1 p V 2
P Co f V Z
r r
= − ∂ = =
ρ ∂
Isobaren
Gradientwindgleichung
− f V − V = − r
p r
2 1
ρ
∂
∂
Coriolisbeschleunigung
Druckgradientkraft
¾ Nach einer Konvention ist V in antizyklonal gekrümmten Strömungen negativ.
Zentripetalbeschleunigung
T
V P
Co + Z
Isohypsen
P=g z r
∂
∂
Gradientwindgleichung in Druckkoordinaten
f V V
r g z
+ 2 = ∂ r
∂
V
r f V p
r
2 1
+ − = 0
ρ
∂
∂
V rf r f r dp
= − + L + dr
NM O
1 QP
2 1
2 2 2
4 1 2
ρ
/
Gradientwindformel
¾ Wenn der Druckgradient (Isobarabstand) bekannt ist, ergibt sich V aus der Lösung folgender quadratischen Gleichung
¾ Das Vorzeichen wurde so gewählt, daß bei großem Radius r, d.h. kleiner Zentrifugalkraft V 2 /r, die Gleichung wieder zur geostrophischen Gleichung wird.
Für r → ∞ erhält man
V rf rf
rf dp
dr rf rf
rf dp dr
f dp dr V g
= − + L +
NM O
QP
≈ − + L − +
NM O
QP
≈ =
1 2
1
2 2
1 2
1
2 1
2 2
1 4
1 2
1
ρ
ρ ρ
/
.
"
V rf r f r dp
= − + L + dr
NM O
1 QP
2 1 2
2 2
4 1 2
ρ
/
V rf r f r dp
= − + L + dr
NM O
1 QP
2 1 2
2 2
4 1 2
ρ
/
¾ Es folgt für ein Hochdruckgebiet (dp/dr < 0), daß der Druckgradient in der Entfernung r vom Zentrum kleiner als sein muß, denn sonst würde der Ausdruck unter der Wurzel negativ werden.
1 4
ρrf 2
¾ Der antizyklonale Gradientwind muß daher die Bedingung
|V| < rf erfüllen. Deshalb ist bei kleinem r in der Nähe eines
Hochdruckzentrums der Wind schwach und der Druckgradient entsprechend gering.
¾ In einem Tiefdruckgebiet gibt es dagegen theoretisch keine Obergrenze für V oder dp/dr.
Aus der Definition für den geostrophischen Wind
fV p
g = 1 r ρ
∂
∂ V
r f V p
r
2 1
+ − = 0
ρ
∂
∂
V
r f V V g
2
+ ( − ) = 0
Da der rechte Term immer negativ ist, muß bei der
Umströmung eines Tiefdruckgebietes (V > 0) V kleiner als V g sein.
In einem Hochdruckgebiet (V < 0) gilt dagegen |V| > |V g |.
T
V P
Co + Z
f V V r
p + 2 = 1 r
ρ
∂
∂
Co + Z = P zykloner Gradientwind
Beim zyklonalen Gradientwind (P = C + Z) ist die Corioliskraft kleiner als im geostrophischen Fall (P = C). Deshalb ist die Windgeschwindigkeit auch kleiner.
Beim antizyklonalen Gradientwind mit P + Z = C im Kräfte- gleichgewicht müssen Corioliskraft und Windgeschwindigkeit größer sein, um P und Z die Waage halten zu können.
Der antizyklonale Gradientwind ist supergeostrophisch
größer als der geostrophische Wind bei gleichem Druckgradienten
Der zyklonale Gradientwind subgeostrophisch
kleiner als der geostrophische Wind bei gleichem
Druckgradienten
• Angenommen der Hurrikan befindet sich bei 20°N.
• 50 km vom Zentrum entfernt soll ein Druckgradient von 50 mb pro 100 km bestehen.
g
fV 1 p r
= ∂ ρ ∂
In einem Hurrikan ist die Strömung stark subgeostrophisch: -
( )
2 1 1
1
g 3 5 1 5
50 10 kg m s
V 802 ms
1, 25 kg m 2 7.29 10 s sin 20 10 m
− − −
− − −
= × =
× × ° ×
Die Gradientwindgleichung ergibt 43.5 ms -1 , ein Wert der ungefähr der beobachteten Windgeschwindigkeit entspricht.
Das Verhältnis: Zentrifugalkraft/Corioliskraft = V/(rf) = 17,4
In einem Hurrikan könnte man die Corioliskraft bei der Berechnung von V ganz weglassen.
V 2 1 p
r r
= ∂
ρ ∂ V = 44,7 ms -1
statt 43.5 ms -1 Diese Gleichung beschreibt dann nur noch das Gleichgewicht zwischen Zentrifugalkraft und Druckgradientkraft
zykloskophisches Gleichgewicht
¾ Luftströmungen in intensiven kleinräumigen Wirbels (Hurrikane, Tornados, Windhosen, Staubteufel) sind zumindest in deren Kernbereichen im zyklostrophischen Gleichgewicht.
¾ Im Bereich von scharfen Trögen in der Höhenströmung der mittleren Breiten ist die gemessene Windgeschwindigkeit oft nur halb so groß wie die Isobarenabstand entsprechende geostrophische Windgeschwindigkeit.
¾ Der Wind bläst aber dennoch parallel zu den Isobaren oder Isohypsen.
¾ Ursache ist der Einfluß der Zentrifugalkraft auf die zyklonal gekrümmte Strömung.
Einige Bemerkungen
Isobaren
• Das Newton’sche Gesetz bezieht sich auf Luftpakete.
Deshalb hängt die Zentrifugalkraft vom Krümmungs- radius R T der Trajektorien der Luftpakete ab.
T
H
Trajektorien
die zeitliche Wege der individuellen Luftteilchen.
Linien, die zu einem bestimmten Zeitpunkt parallel zur Strömung sind
Momentaufnahmen des Bewegungsfeldes.
¾ Im allgemeinen sind die Luftströmungen in der Atmosphäre nicht stationär, denn die Anordnung der Isobaren ändert sich mit der Zeit.
¾ Deshalb fallen die Trajektorien nicht mit der Stromlinien zusammen.
Trog t 1 Trog t 2
c
Stromlinien t 1
Stromlinien t 2
u v
t 1
u = c u < c
u > c
g
1 p
V f r
= ∂ ρ ∂
einfach ein Maß für den Druckgradienten Der geostrophische Wind
Die Gradientwindgleichung V V
V fr
g = + 1
Die Rossbyzahl V
rf fV
Zentripetalbeschleunigung Coriolisbeschleunigung
V r
= =
2
