Teil V Weiterf¨uhrende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie

(1)

Teil V

Weiterf¨ uhrende Themen, Teil 1:

Kontextsensitive Sprachen

und die Chomsky-Hierarchie

(2)

Zwei Sorten von Grammatiken

Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form

αAβ →αγβ

α, β ∈(Σ∪V)^∗,A∈V,γ ∈(Σ∪V)⁺.

Monotone Grammatik (Σ, V, P, S), Regeln der Form

α→β

mitα, β ∈(Σ∪V)^∗,|α| ≤ |β|.

kontextsensitive Sprache: wird von CSG erzeugt.

CSL: Klasse der kontextsensitiven Sprachen.

Wenn S nie auf einer rechten Seite einer Regel vorkommt, erlauben wir auch S →ε.

(3)

Zwei Sorten von Grammatiken

αAβ →αγβ

α, β ∈(Σ∪V)^∗,A∈V,γ ∈(Σ∪V)⁺.

α→β

mitα, β ∈(Σ∪V)^∗,|α| ≤ |β|.

kontextsensitive Sprache:

wird von CSG erzeugt.

Jenseits vonCFL Kontextsensitive Sprachen 1 / 11

(4)

Zwei Sorten von Grammatiken

αAβ →αγβ

α, β ∈(Σ∪V)^∗,A∈V,γ ∈(Σ∪V)⁺.

α→β

mitα, β ∈(Σ∪V)^∗,|α| ≤ |β|.

(5)

Zwei Sorten von Grammatiken

αAβ →αγβ

α, β ∈(Σ∪V)^∗,A∈V,γ ∈(Σ∪V)⁺.

α→β

mitα, β ∈(Σ∪V)^∗,|α| ≤ |β|.

(6)

Aquivalenz der Grammatiktypen ¨

Von monotoner Grammatik zu CSG

1 Stelle sicher, dass Regeln die folgende Form haben:

1 α→β, mitα, β∈V⁺, oder

2 A→a, mitA∈V,a∈Σ.

2 Zerlege Regelnα→β mit|α| ≥2. Diese haben die Form

A1· · ·Am →B1· · ·Bn

mitm, n∈N>0,2≤m≤n

(7)

Aquivalenz der Grammatiktypen ¨

2 Zerlege Regelnα→β mit|α| ≥2.

Diese haben die Form

A1· · ·Am →B1· · ·Bn

mitm, n∈N>0,2≤m≤n

(8)

Aquivalenz der Grammatiktypen ¨

2 Zerlege Regelnα→β mit|α| ≥2.

Diese haben die Form

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n

(9)

Zerlegen von Regeln

Zu zerlegende Regel

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n.

A1A2· · ·Am→X1A2· · ·Am, X1A2· · ·Am→X1X2A3· · ·Am,

...

X1X2· · ·Xm−1Am→X1X2· · ·XmBm+1· · ·Bn, X1X2· · ·XmBm+1· · ·Bn→B1X2· · ·XmBm+1· · ·Bn,

...

B1· · ·Bm−1XmBm+1· · ·Bn→B1· · ·Bn,

(10)

Zerlegen von Regeln

Zu zerlegende Regel

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n.

A1A2· · ·Am→X1A2· · ·Am,

X1A2· · ·Am→X1X2A3· · ·Am, ...

...

B1· · ·Bm−1XmBm+1· · ·Bn→B1· · ·Bn,

(11)

Zerlegen von Regeln

Zu zerlegende Regel

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n.

...

B1· · ·Bm−1XmBm+1· · ·Bn→B1· · ·Bn,

(12)

Zerlegen von Regeln

Zu zerlegende Regel

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n.

...

B1· · ·Bm−1XmBm+1· · ·Bn→B1· · ·Bn,

(13)

Zerlegen von Regeln

Zu zerlegende Regel

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n.

...

X1X2· · ·Xm−1Am→X1X2· · ·XmBm+1· · ·Bn,

X1X2· · ·XmBm+1· · ·Bn→B1X2· · ·XmBm+1· · ·Bn, ...

B1· · ·Bm−1XmBm+1· · ·Bn→B1· · ·Bn,

(14)

Zerlegen von Regeln

Zu zerlegende Regel

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n.

...

B1· · ·Bm−1XmBm+1· · ·Bn→B1· · ·Bn,

(15)

Zerlegen von Regeln

Zu zerlegende Regel

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n.

...

B1· · ·Bm−1XmBm+1· · ·Bn→B1· · ·Bn,

(16)

Zerlegen von Regeln

Zu zerlegende Regel

A₁· · ·A_m →B₁· · ·B_n mitm, n∈N>0,2≤m≤n.

...

..

(17)

Beispiel 1

G:= (Σ, V, P, S), Σ :={a,b,c}, V :={S, A, B, C},

P :={S →SABC, S→ABC}

∪

XY →Y X|X, Y ∈ {A, B, C}

∪ {A→a, B→b, C →c}.

(18)

Beispiel 2

G:= (Σ, V, P, S), Σ :={a,b,c}, V :={S, B}

P :={S→aSBc, cB →Bc, S→abc, bB →bb}.

(19)

Beispiel 3

Sei Σein Alphabet.

G:= (Σ, V, P, S),

V :={S} ∪ {L_a, Ra, Xa|a∈Σ},

P :={S→aSX_a|a∈Σ}

∪ {S→L_aR_a|a∈Σ}

∪ {R_aX_b →X_bR_a|a, b∈Σ}

∪ {R_a→a|a∈Σ}

∪ {L_aXb→LaRb |a, b∈Σ}

∪ {L_a→a|a∈Σ}.

(20)

Zwei Beobachtungen zu CSL

Satz

CFL⊂CSL

Satz

Das Wortproblem f¨ur monotone Grammatiken ist entscheidbar.

(21)

Zwei Beobachtungen zu CSL

Satz

CFL⊂CSL

Satz

Das Wortproblem f¨ur monotone Grammatiken ist entscheidbar.

(22)

Ein Maschinenmodell f¨ ur CSL

w Eingabeband

Arbeitsband

Kontrolle

Linear beschr¨ankte Turingmaschine (LBA) Eingabeband (nur Lesen, beide Richtungen) nichtdeterministische endliche Kontrolle, Arbeitsband

(23)

LBAs und CSL

Satz

Eine Sprache List genau dann kontextsensitiv, wenn Sie von einem LBA akzeptiert wird.

Idee ⇒

simuliere monotone Grammatik in LBA

möglich, da nur Satzformen beschränkter Länge

betrachtet werden m¨ussen

Idee ⇐

simuliere LBA in monotoner Grammatik

Satzform entspricht Arbeitsband

(24)

LBAs und CSL

Satz

Idee ⇒

Idee ⇐

(25)

LBAs und CSL

Satz

Idee ⇒

Idee ⇐

(26)

Allgemeine Grammatiken

Phrasenstrukturgrammatik (PSG) G:= (Σ, V, P, S)

Regelnα→β mitα, β∈(Σ∪V)^∗

RE: Klasse der rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen.

Satz

Sei Σ,L⊆Σ^∗. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent:

1 Es existiert eine PhrasenstrukturgrammatikGmit L(G) =L.

2 Es existiert eine TuringmaschineM mitL(M) =L.

3 Die SpracheL ist rekursiv aufz¨ahlbar.

(27)

Allgemeine Grammatiken

Satz

1 Es existiert eine PhrasenstrukturgrammatikGmitL(G) =L.

Jenseits vonCFL Die Chomsky-Hierarchie 10 / 11

(28)

Allgemeine Grammatiken

Satz

1 Es existiert eine PhrasenstrukturgrammatikGmitL(G) =L.

(29)

Die Chomksky-Hierarchie

Satz

REG⊂CFL⊂CSL⊂RE

Grammatik Automatenmodell Sprachklasse

Typ 0 Turingmaschine RE

PSG

Typ 1 LBA CSL

CSG

Typ 2 PDA CFL

CFG

Typ 3 endlicher Automat REG reg. G.

Jenseits vonCFL Die Chomsky-Hierarchie 11 / 11

(30)

Die Chomksky-Hierarchie

Satz

REG⊂CFL⊂CSL⊂RE

Grammatik Automatenmodell Sprachklasse

Typ 0 Turingmaschine RE

PSG

Typ 1 LBA CSL

CSG

Typ 2 PDA CFL

CFG

Typ 3 endlicher Automat REG reg. G.