4. ¨ Ubungsblatt 506.051 Angewandte Statistik, WS 2008/2009
1Univ.-Prof. DI Dr. Ernst Stadlober
1.) Friedman Test, Kendall Test. eislauf.sav, eislauf1.sav [R 2.x].
Bei einem Eislaufwettbewerb wurden 13 Kandidaten von 13 Punkterichtern bewer- tet. Jeder Punkterichter stellte dabei eine Rangordnung der 13 Kandidaten auf. Die Dateneislauf.savstammen aus dem BuchNichtparametrische StatistikvonB¨uning und Trenkler. Lesen Sie die Daten in R ein.
(a) Testen Sie mit Hilfe des Friedman (Kendall)–Tests die Hypothese, dass die Rangzuweisung der Punkterichter zuf¨allig erfolgte. Geben Sie eine Interpreta- tion des Resultats.
(b) Untersuchen Sie auch die Daten in eislauf1.sav. (Diese Datei wurde durch Auswahl von 13 zuf¨alligen Permutationen der Menge {1, . . . ,13} simuliert.) Interpretieren Sie das Resultat.
2.) Lateinisches Quadrat. Reaktionszeit, r= 5, [R 2.x]
Es soll der Einfluss von f¨unf verschiedenen Ingredienzen (A,B,C,D,E) auf die Re- aktionszeit Y eines chemischen Prozesses studiert werden. Jeder Materialstapel erlaubt nur f¨unf Durchg¨ange, wobei jeder Durchgang ungef¨ahr 112 Stunden dauert.
Daher k¨onnen pro Tag nur f¨unf Durchg¨ange absolviert werden. Der Experimentator entscheidet sich f¨ur ein lateinisches Quadrat, um die Effekte der Faktoren Material- stapelund Wochentag systematisch zu kontrollieren. Analysieren und interpretieren sie die folgenden Daten:
Tag
Stapel 1 2 3 4 5
1 A = 8 B = 7 D = 1 C = 7 E = 3 2 C = 11 E = 2 A = 7 D = 3 B = 8 3 B = 4 A = 9 C = 10 E = 1 D = 5 4 D = 6 C = 8 E = 6 B = 6 A = 10 5 E = 4 D = 2 B = 3 A = 8 C = 8
3.) [T] Doppelte Varianzanalyse mit Wechselwirkung (zweifaktorieller VP).
Modell: Yijk =µ0+αi+βj +γij +ijk, i= 1, . . . , r;j = 1, . . . , s;k= 1, . . . , t; ijkiid∼N(0, σ), P
iαi =P
jβj = 0, P
iγij = 0, f¨ur allej,P
jγij = 0 f¨ur alle i.
Verifizieren Sie zumindest eine der folgenden Aussagen:
E(M SA) = σ2+ st r−1
r
X
i=1
α2i mit M SA= st r−1
r
X
i=1
Yi..−Y...2
E(M S(AB)) = σ2+ t (r−1)(s−1)
r
X
i=1 s
X
j=1
γij2 mit
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2M S(AB) = t
(r−1)(s−1)
r
X
i=1 s
X
j=1
Yij.−Yi..−Y.j.+Y...2
E(M SR) = σ2 mit M SR = 1 rs(t−1)
r
X
i=1 s
X
j=1 t
X
k=1
Yijk−Yij.2
.
4.) 23–Versuchsplan. Abf¨ullung von Limonaden, t = 2 Wiederholungen [R 2.x].
(a) Geben Sie die Daten von Bsp. 7.2 mit Y = Abweichung von der idealen F¨ullh¨ohe, den Faktoren Kohlens¨aureanteil (A), F¨ulldruck (B) und Geschwin- digkeit des Bandes(C) in der Kodierung ”−” = 1, ”+” = 2 ein und analysieren Sie diese gem¨ass der Vorlesung.
(b) Zeichnen Sie die Profilplots f¨ur die zweifachen Wechselwirkungen, analysieren Sie die standardisierten Residuen und interpretieren Sie die Ergebnisse.
(c) Berechnen Sie das Regressionsmodell ˆy= ˆβ0+ ˆβ1x1+ ˆβ2x2+ ˆβ3x3+ ˆβ4x1x2 mit den kodierten Variablen xi f¨ur die Faktoren A, B und C.
(d) Analysieren Sie die Residuen dieses Modells.
5.) 24–Versuchsplan. Risse bei Flugzeugteilen, t = 2 Wiederholungen[R 2.x]
F¨ur Komponenten von D¨usenflugzeugmotoren wird eine bestimmte Nickel-Titan- Legierung verwendet. Ein potentielles Problem f¨ur das Endprodukt stellen Risse dar, die zu unentdeckten Ausf¨allen f¨uhren k¨onnen. Daher wird ein Test bei der Produktion der Teile durchgef¨uhrt, bei dem der Einfluss von vier Faktoren zu be- stimmen ist: Gusstemperatur (A), Titananteil (B), Hitzebehandlungsmethode (C) und der Aufwand f¨ur die Verfeinerung der Struktur (D). Zwei Wiederholungen ei- nes 24–Versuchsplans werden durchgef¨uhrt, wobei durch einen Standardtest Risse (Y in [mm]) in den ausgew¨ahlten St¨ucken erzeugt werden. Folgende Daten liegen vor:
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3 Behandlung WiederholungA B C D Kombination I II
– – – – (1) 1.71 1.91
+ – – – a 1.42 1.48
– + – – b 1.35 1.53
+ + – – ab 1.67 1.55
– – + – c 1.23 1.38
+ – + – ac 1.25 1.26
– + + – bc 1.46 1.42
+ + + – abc 1.29 1.27
– – – + d 2.04 2.19
+ – – + ad 1.86 1.85
– + – + bd 1.79 1.95
+ + – + abd 1.42 1.59
– – + + cd 1.81 1.92
+ – + + acd 1.34 1.29
– + + + bcd 1.46 1.53
+ + + + abcd 1.38 1.35
(a) Sch¨atzen Sie die Effekte der Faktoren. Welche Faktoreffekte scheinen groß zu sein?
(b) F¨uhren Sie eine Varianzanalyse durch. Beinflusst irgendein Faktor die Rissbil- dung?
(c) Analysieren Sie die Residuen dieser Experimente.
(d) Gibt es einen Faktor der die Variabilit¨at der Rissbildung beeinflusst?
(e) Welche Empfehlungen kann man bez¨uglich der Prozessoperationen geben?
6.) Fallbeispiel Luftschadstoffdaten (4. Teil) grazluft.xls; [R 2.x].
(a) Analysieren Sie zun¨achst die Daten bzgl.pm10mittels Boxplotserien in Abh¨angig- keit von den beiden Faktoren ortund periode.
(b) F¨uhren Sie eine doppelte Varianzanalyse mit Wechselwirkung f¨urpm10mit den Faktoren ort und periodedurch (siehe Handout zu Bsp. 6.1).
(c) Was kann man ¨uber eine Wechselwirkung der beiden Faktoren sagen? Ist die Annahme der Normalverteilung der Residuen gerechtfertigt? F¨uhren Sie ge- gebenenfalls eine Transformation der Variablen pm10 (z.B. Wurzel- oder Log- transformation) durch und analysieren Sie das Modell mit der transformierten Responsevariablen.
(d) F¨uhren Sie entsprechende Analysen f¨ur den Schadstoff Stickstoffdioxid no2 durch.
(e) Fassen Sie die Ergebnisse in Form eines Kurzberichts zusammen.
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4Herunter laden der Daten ¨uber die HomePage des Instituts: www.statistics.tugraz.at:
Speichern Sie alle ¨Ubungsaufgaben auf einem File ab: Angstat Nachname4.*
Ubermittlung der Files mit¨ Subject:Angstat an e-mail-Adresse statistik@tugraz.at.
