Die Perronsche Methode

(1)

Oskar Perron Randwertproblem Vorwissen - Harmonische Funktionen Eigenschaften harmonischer Funktionen Vorarbeit Die Perronsche Methode Barrierenfunktion und Randpunkte Konvergenz der Perronl¨osung

Die Perronsche Methode

Emilia Finsterwald und Peter Schrank

21.06.2012

(2)

Gliederung

1

Oskar Perron

2

Randwertproblem

3

Vorwissen - Harmonische Funktionen

4

Eigenschaften harmonischer Funktionen

5

Vorarbeit

6

Die Perronsche Methode

7

Barrierenfunktion und Randpunkte

8

Konvergenz der Perronl¨ osung

(3)

Oskar Perron (1880 - 1975)

b

7.Mai 1880 in Frankenthal -

d

22.Feb. 1975 in M¨ unchen

(4)

L¨ osung eines speziellen Randwertproblems

Im Fall von...

4u = 0 x ∈ Ω u = g x ∈ ∂Ω

wobei Ω ein beschr¨ anktes Gebiet des

Rⁿ

und g ∈ C (∂Ω)

(4u =

n

P

i=1

∂²u

∂x_i²

)

(5)

Harmonische Funktionen

Subharmonische Fkt. 4 u

=

0 Superharmonische Fkt. 4 u

5

0 Harmonische Fkt. 4 u = 0 f¨ ur x ∈ Ω

Abbildung :x²−y² Sattelfunktion

(6)

Harmonische Funktionen

Abbildung : Harmonische Funktion auf einem Kreisring

(7)

Harmonische Liftung

Sei u ∈ C (Ω) und B = B

r

(x

0

) eine offene Kugel, deren Abschluss in Ω liegt.

blindtext

Die harmonische Liftung von u ist die durch die Formel

u

_B

(x) =







r²−|x−x0|² nωnr

R

∂B

u(y)

|x − y|

ⁿ

dy x ∈ B

u(x) x ∈ Ω\B

definierte Funktion u

_B

∈ C (Ω).

(8)

Maximumsprinzip und Harnackscher Konvergenzsatz

Im Innern eines zusammenh¨ angenden Definitionsgebietes U nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. (starkes Maximumsprinzip)

Es seien u

k

, k = 1, 2, ... in einem Gebiet W ⊆

Rⁿ

stetige Funktionen mit den folgenden Eigenschaften:

1. u

k

ist harmonisch in W f¨ ur k = 1, 2, ...;

2. u

_k

≤ u

_k₊₁

f¨ ur k = 1, 2, ...;

3. u

_k

(x ) ist nach oben beschr¨ ankt f¨ ur jedes x ∈ W .

Dann konvergiert (u

_k

)

_k=1,2,...;

punktweise gegen eine in W

harmonische Funktion u und die Konvergenz ist gleichm¨ aßig in

jeder abgeschlossenen Kugel B

r

(x

0

) ⊂ W .

(9)

Vorarbeit zur Perronschen Methode

Wir ben¨ otigen...

(i)u ∈ C (Ω) ist subharmonisch ⇔ u

5

u

_B

∀ offenen Kugeln B mit B ∈ Ω

(ii)Seien u ∈ C (Ω) subharmonisch Fkt., B

offen mit B ∈ Ω ⇒ u

_B

subharmonisch

(10)

zu (i) u subharmonisch ⇔ u ≤ u

B

blindtext

u(x) ≤







r²−|x−x0|² nωnr

R

∂B

u(y)

|x − y |

ⁿ

dy x ∈ B (

b

)

u(x) x ∈ Ω\B

(11)

u ≤ u

B

⇒ u subharmonisch

blindtext

B = B

_r

(x

₀

) also gilt f¨ ur x = x

₀

in (

b

)

u(x

₀

) ≤ r nω

_n

Z

∂Br(xo)

u(y)

|x

₀

− y|

ⁿ

dy = 1 nω

_n

r

ⁿ⁻¹

Z

∂Br(x0)

u(y)dy = u

_r

(x

₀

)

(12)

u subharmonisch ⇒ u ≤ u

B

w := u(x) − r

²

− |x − x

₀

|

²

nω

_n

r

Z

∂B

u(y )

|x − y |

ⁿ

dy

blindtext

⇒

Maximumsprinzip

w ≤ 0 auf B

blindtext

⇒ u ≤ u

_B

(13)

zu (ii) u subharmonisch ⇒ u

B

subharmonisch

Wir zeigen:

blindtext

∀x

^∗

∈ Ω gilt: u

_B

(x

^∗

) ≤ (u

_B

)

_ρ

(x

^∗

)

blindtext

f¨ ur hinreichend kleine ρ

(14)

Die Perronsche Methode

Die Perron-Klasse

P

_g

= {u ∈ C (Ω) : u subharmonisch in Ω; u(x) ≤ g (x) ∀x ∈ ∂Ω}

Definiere eine Funktion u

g

: Ω →

R

blindtext

sup u (x) = u

g

(x) mit u ∈ P

g

(15)

Vorgehensweise

Wir zeigen:

- u

g

ist harmonisch in Ω

- u

g

∈ C (Ω) und u

g

(x) = g (x) ∀ x ∈ ∂Ω (Teil II)

blindtext

⇒ Existenz einer L¨ osung

(16)

Beweis: Die Funktion u

g

: Ω → R ist harmonisch in Ω

Schritt I

Aus der Def. von

u_g

(x

₀

) folgt eine maximierende Folge

{u_k

(x

₀

)}

mit:

u

_k

∈ P

_g

f¨ ur k = 1, 2, ...;

u

_k

(x

₀

) ≤ u

_k+1

(x

₀

) f¨ ur k = 1, 2, ...;

lim

k→∞

u

k

(x

0

) = u

g

(x

0

)...

Schritt II

Betrachte:

vk

(x) = max

{u₁

(x), ...u

k

(x)} mit

vk ∈C

(Ω)

v

_k

liegt in P

g

, denn v

_k

ist subharmonisch in Ω mit v

_k

≤ g auf ∂Ω v

_k

≤ v

_k₊₁

f¨ ur k = 1, 2, ...;

lim

k→∞

v

k

(x

0

) = u

g

(x

0

), denn v

k

(x

0

) = u

k

(x

0

)...

(17)

Beweis: Die Funktion u

g

: Ω → R ist harmonisch in Ω

Schritt III

Es sei

w_k ∈C

(Ω) die harmonische Liftung (v

_k

)

_B

w

k

ist harmonisch in B

w

_k

≤ w

_k+1

denn v

_k

≤ v

_k+1

w

_k

(x

₀

) ≤ u

_g

(x

₀

) denn w

_k

liegt in P

_g

:

sie ist subharmonisch in Ω und erf¨ ullt w

k

= v

k

≤ g auf ∂Ω

(18)

Beweis: Die Funktion u

g

: Ω → R ist harmonisch in Ω

Schritt IV

Folgerung aus dem 2. Harnackschen Konvergenzsatz lim

_k→∞

w

_k

(x) := w (x) f¨ ur x ∈ B ist harmonisch Schritt V

Wir wissen:

w_k

(x)

≤u_g

(x) f¨ ur

x∈B

⇒ w (x) ≤ u

_g

(x) und damit ist w (x) = u

_g

(x)

⇒ u

g

ist harmonisch in B.

dieses Argument gilt f¨ ur jede Kugel B ∈ Ω

blindtext

⇒ u ist in ganz Ω harmonisch

(19)

Barrierenfunktion und regul¨ arer Randpunkt - Definitionen

Def.: Eine Funktion w ∈ C (Ω) heisst Barrierenfunktion im Punkt x

0

∈ ∂Ω, falls sie folgende Eigenschaften besitzt:

1. w ist im Mittelwertsinne superharmonisch in Ω - ∀x ∈ Ω : w (x) ≥

_||B¹

r||

R

Br(x)

w (y)dy - 4w ≤ 0

blindtext

2. w (x

0

) = 0

blindtext

3. w (x) > 0 f¨ ur x ∈ Ω\{x

₀

}

Def.: Ein Punkt x

₀

∈ ∂Ω heisst regul¨ arer Randpunkt, falls es eine

Barrierenfunktion im Punkt x

₀

gibt.

(20)

Satz: Konvergenz der Perronl¨ osung

Es sei

x0 ∈∂Ω ein regul¨

arer Randpunkt. Dann gilt:

blindtext

f¨ ur y ∈ Ω ist lim

y→x₀

u

_g

(y) = g (x

₀

)

(21)

Beweis: Konvergenz der Perronl¨ osung

Schritt I

Vorraussetzung: Barrierenfkt.

w

in

x0

und Randfunktion

g

auf

∂Ω

blindtext

- da g in x

₀

stetig, existiert δ > 0, so dass x ∈ ∂Ω. |x − x

0

| < δ ⇒ |g (x) − g (x

0

)| <

₂

blindtext

- da w positiv und stetig auf Ω\{x

₀

}, existiert m > 0, so dass x ∈ Ω, |x − x

₀

| ≥ δ ⇒ w (x) ≥ m

blindtext

- Es sei M = sup

_x∈∂Ω

|g (x)| und K =

^2M_m

, so dass

x ∈ Ω, |x − x

₀

| ≥ δ ⇒ Kw(x) ≥ 2M

(22)

Beweis:Konvergenz der Perronl¨ osung

(23)

Beweis:Konvergenz der Perronl¨ osung

Schritt II

Definiere Hilfsfunktion

f₁∈C

(Ω)

blindtext

f

1

(x) = g (x

0

) −

₂

− Kw (x)

blindtext

- f

1

(x) ist subharmonisch in Ω

- f

₁

(x) ≤ g (x) f¨ ur alle x ∈ ∂Ω, so dass f

₁

∈ P

_g

ist.

(24)

Beweis:Konvergenz der Perronl¨ osung

Schritt III

Folgerung aus den Eigenschaften von

f1

blindtext

- da w stetig im Punkt x

₀

, existiert ein

M

> 0, so dass x ∈ Ω, |x − x

0

| <

M

⇒ |w (x) − w (x

0

)| = w (x) <

_2K

(Beachte: Kw(x) <

₂

)

blindtext

- somit gilt ∀x ∈ Ω

u

_g

(x ) ≥ f

₁

(x) ≥ g (x

₀

) − , nach Definition von f

₁

(x)

(25)

Beweis:Konvergenz der Perronl¨ osung

Schritt IV

Definiere Hilsfunktion

f2∈C

(Ω)

blindtext

f

₂

(x) = v (x) − g (x

₀

) +

₂

+ Kw(x)

, ∀v ∈ P

_g

blindtext

- f

₂