Bewertung von Rentenoptionen

Fachb ereichWirtschaftswissenschaft

InstitutfürBankundFinanzwirtschaft

Diskussionsb eiträge

Nr.25

Bewertung von Rentenoptionen

Von Lutz Kruschwitz und Dirk Zabel

11. Oktober 1995

Bewertung von Rentenoptionen

von Lutz Kruschwitz und Dirk Zabel

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 1

2 Besonderheiten festverzinslicher Wertpapiere 1

2.1 Anleihen und Aktien im Vergleich . . . 1 2.2 Kursentwicklung von Anleihen . . . 2

3 ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell 2

3.1 Modellannahmen und Symbolik . . . 3 3.2 Herleitung einer Bewertungsgleichung . . . 4 3.3 Analyse der Bewertungsgleichung . . . 6

4 Mehrperiodige Bewertungsmodelle 7

4.1 Modellannahmen und Symbolik . . . 7 4.2 Konstruktionsversuch eines Binomialmodells . . . 7 4.3 Rekursive Optionsbewertung und Erweiterungen . . . 9

5 Zusammenfassung 11

Professor Dr. Lutz Kruschwitz, Institut für Bank und Finanzwirtschaft der Freien Uni- versität Berlin, Boltzmannstr. 20, D14195 Berlin.

Dirk Zabel, Student der Betriebswirtschaftslehre an der Freien Universität Berlin.

1 Einführung

Optionen auf festverzinsliche Wertpapiere (kurz: Rentenoptionen) werden seit 1982 in den USA und seit 1990 auch an der Deutschen Terminbörse in Frank- furt gehandelt. In der Literatur hat man sich stets mehr mit Aktienoptionen auseinandergesetzt, während die besondere Problematik von Rentenoptionen eher vernachlässigt wurde. Über den internationalen Stand der Forschung auf dem Gebiet der Rentenoptionen gebenCox/Rubinstein undHullAuskunft. Die deutschsprachigen Arbeiten zu diesem Thema sind an einer Hand abzählbar, wobei vor allemBühler, Schöbel undUhlir/Steiner zu nennen sind.

In diesem Beitrag wollen wir zeigen, warum man die klassischen Bewertungs- konzepte für Aktienoptionen nicht einfach auf Rentenoptionen übertragen kann.

In einem zweiten Schritt stellen wir dar, wie man Rentenoptionen dennoch im Rahmen zeitdiskreter Modelle präferenzfrei bewerten kann.

2 Besonderheiten festverzinslicher Wertpapiere

In der Praxis existieren neben den klassischen Optionen auf Aktien beispielswei- se auch Optionen auf Devisen, auf Anleihen oder auf andere Finanzinstrumente.

Eine wesentliche Gemeinsamkeit dieser Optionsobjekte (englisch: underlying assets) besteht darin, daÿ ihre Preise im Zeitablauf einem Zufallsprozeÿ folgen.

Der konkrete Verlauf solcher Zufallsprozesse wird maÿgeblich von den Eigen- schaften des jeweiligen underlying assets geprägt. Die Brauchbarkeit eines jeden Bewertungsmodells für Optionen auf solche assets ist deshalb daran zu messen, wie gut es diese Eigenschaften und damit den Zufallsprozeÿ erfaÿt. Daher wollen wir in diesem Abschnitt zunächst die wichtigsten Merkmale von Anleihen und die daraus resultierenden Konsequenzen für die Kursverläufe solcher Finanztitel untersuchen.

2.1 Anleihen und Aktien im Vergleich

Um die Bewertungscharakterisika von Anleihen herauszuarbeiten, bietet sich ein Vergleich dieser Finanztitel mit den klassischen underlying der Options- preistheorie, den Aktien, an. Hierzu eignen sich besonders die folgenden drei Kriterien.

Laufzeit

Während Aktien eine unbegrenzte Laufzeit besitzen, werden Anlei- hen in der Regel mit begrenzter Laufzeit emittiert.

Qualität der Zahlungsansprüche

Anleihegläubiger haben Ansprüche auf Zahlungen, die der Höhe und dem Zeitpunkt nach genau festgelegt sind. Im Gegensatz dazu verbriefen Aktien der Höhe nach nicht xierte Residualansprü- che auf Dividenden und gegebenenfalls eine Beteiligung am Liquidationserlös.

Kurseinuÿgröÿen

Die Entwicklung von Aktienkursen wird im wesentlichen von rmenspezischen Ereignissen und gesamtwirtschaftlichen Rahmenbedin- gungen bestimmt. Während Veränderungen des Zinsniveaus für Aktienkurse von eher untergeordneter Bedeutung sind, kann man bei Anleihen (erstklassiger Schuldner) davon ausgehen, daÿ sich die Kursentwicklung fast ausschlieÿlich

durch Änderungen der Marktzinssätze sowie die Verkürzung der Restlaufzeit erklären läÿt.

2.2 Kursentwicklung von Anleihen

Die aufgezeigten Eigenschaften von Anleihen bedingen spezische Phänomene ihrer Kursentwicklung, die es bei der Bewertung von Rentenoptionen in ange- messener Weise zu berücksichtigen gilt.

Existenz von Schranken für den Anleihekurs

Der Kurs einer Anleihe stellt sich nach dem Barwertkonzept als Summe der abgezinsten noch ausste- henden Zahlungen dar. Im Extremfall eines Zinssatzes von null bildet folglich die Summe aller noch ausstehenden Zahlungen die obere Grenze für den Anlei- hekurs. Wächst der Zinssatz im anderen Extremfall über alle Grenzen, so strebt der Anleihekurs gegen null.

PulltoParPhänomen

Im Zeitablauf verringert sich mit jeder Zahlung des Schuldners die Anzahl der noch ausstehenden Zahlungen und damit das Intervall möglicher Anleihekurse. Unmittelbar vor dem Ende ihrer Laufzeit ist der Wert mit dem Rückzahlungsbetrag (in der Regel: letzte Kuponzahlung plus Nennwert) fest vorgegeben. Jeder denkbare Kursverlauf der Anleihe wäh- rend ihrer Laufzeit muÿ folglich in diesen Rückzahlungsbetrag münden. Dieses Kursverhalten von Anleihen wird in der Literatur, so z.B. beiHull, als Pullto ParPhänomen bezeichnet und hat zur Konsequenz, daÿ

die Kursvolatilität von Anleihen im Zeitablauf abnimmt und schlieÿlich verschwindend klein wird,

die Kursänderungen von Anleihen (vor allem gegen Ende ihrer Laufzeit) nicht unabhängig von vorausgegangenen Kursänderungen sind und

der Einuÿ von Zinsänderungen auf den Anleihekurs im Zeitablauf nicht konstant ist, sondern mit sich vermindernder Restlaufzeit ebenfalls gegen null geht.

Zur Veranschaulichung der bislang erläuterten Eigenschaften von Anleihen verweisen wir auf Abbildung 1. Die (durchgezogene) treppenförmige Funktion bildet die beschriebene Obergrenze für den Anleihekurs. Die (gestrichelte) säge- zahnförmige Funktion stellt die Entwicklung des Kurses unter der Voraussetzung dar, daÿ der Zins während der gesamten Restlaufzeit unverändert bleibt, und die beiden übrigen (gepunkteten) Funktionen repräsentieren mögliche Kursverläufe bei einem sich zufällig ändernden Zins.

3 ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell

Grundsätzlich kann jedes festverzinsliche Wertpapier, wie beispielsweise ein Ze- ro Bond oder eine Kombizinsanleihe als underlying asset einer Option dienen.

In diesem Abschnitt untersuchen wir exemplarisch eine europäische Kaufoption (englisch: Call) auf eine Kuponanleihe. Für die Bewertung dieser Option ver- wenden wir aus didaktischen Gründen zunächst das einfachste aller denkbaren

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t

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PulltoParPhänomen

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Abbildung 1: Mögliche Entwicklungen eines Anleihekurses

Modelle, das sogenannte ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell. Obwohl oder gerade weil dieses Modell sehr einfach strukturiert ist, wird es wichtige Erkennt- nisse für die Ableitung komplexerer zeitdiskreter Bewertungsmodelle liefern.

3.1 Modellannahmen und Symbolik

Der Betrachtungszeitraum imZweiZeitpunktZweiZustandsmodell umfaÿtge- nau eine Periode, die sich vom Zeitpunkt ^t bis zum Zeitpunkt ^t+ 1 erstreckt, wobei zwischen beiden Zeitpunkten nicht notwendigerweise ein Jahr liegen muÿ.

Für den Kapitalmarkt wird eine ache Zinskurve unterstellt. Es wird von einem einheitlichen Jahreszinssatz ^r für alle Fristigkeiten ausgegangen. Im Zeitablauf folgt der Zinssatz einem stochastischen Prozeÿ, wobei am Ende der Betrachtungsperiode nur einer der beiden Zustände Zinssatz up oder Zinssatz down eintreten kann. Dieser einfache Zufallsprozeÿ bedingt also jeweils eine Parallelverschiebung der achen Zinskurve.

Im Zeitpunkt^tkann zum Zinssatz^rein beliebiger Betrag^Ytsicher angelegt oder aufgenommenwerden. Im allgemeinenwird der Zeitabstand zwischen^tund

t+ 1 kürzer als ein Jahr sein, so daÿ es für die Ermittlung der Rücküsse aus der Geldanlage bzw. Kreditaufnahme zweckmäÿig erscheint, den Jahreszinssatz

r mit Hilfe von ^rs= (1 +^r)^1=s;1 in einen subperiodenbezogenen Zinssatz ^rs umzurechnen. Dabei stellt ^sdie Zahl der Subperioden je Jahr dar.

Am Kapitalmarkt wird eine Anleihe mit jährlichem Kupon gehandelt, die zugleich das underlying asset der Kaufoption ist. Der Wert eines festverzins- lichen Wertpapiers kann stets als Barwert aller zukünftigen Zahlungen ^zi mit

i = 1^;:::;I aufgefaÿt werden. Allgemein berechnet man diesen Barwert in einem beliebigen Zeitpunkt mit

B

t=^XI

i=1 z

i

(1 +^r)^;i;t; (1)

wobei ^i;tdie Fristigkeit derⁱten Zahlung im Zeitpunkt^tist.

Grundsätzlich ist bei fallenden (steigenden) Zinsen mit steigenden (abneh- menden) Anleihekursen zu rechnen, was unmittelbar aus der oben genannten Barwertformel folgt. Also gilt im Zustand Zinssatz down notwendigerweise Kurs up, wofür wir im folgenden^But+1schreiben werden, während wir im Zu- stand Zinssatz up analog dazu Kurs down beobachten werden, wofür wir das Symbol^Bdt+1benutzen wollen, vgl. Abbildung 2.

t t+1

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t t+1

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r d

t+1

r u

t+1

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Abbildung 2: Zins und korrespondierende Kursänderung

Der Inhaber der ebenfalls am Kapitalmarkt gehandelten Kaufoption hat das Recht, die Anleihe im Zeitpunkt^t+1 zum Ausübungspreis^Kzu erwerben. Da- bei unterstellen wir aus Gründen der Bequemlichkeit, daÿ während der Laufzeit der Option kein Kupon fällig ist. Der zu ermittelnde faire Preis des Calls wird mit^Ctbezeichnet. Bei Fälligkeit beläuft sich sein Wert entweder auf

C u

t+1= max(^{But+1;K ;}0) oder ^Ct+1d = max(^{Bt+1d ;K ;}0)^:

Bezüglich der so beschriebenen Rücküsse der Anleihe, der (momentan) risi- kolosen Geldanlage bzw. Kreditaufnahmemöglichkeit sowie des Calls bestehen homogene Erwartungen bei allen Marktteilnehmern. Auÿerdem nehmen wir an, daÿ auf den Märkten weder Steuern noch Transaktionkosten fällig werden, Leerverkäufe ohne Beschränkung möglich sind und keine Arbitragegelegenheiten bestehen.

3.2 Herleitung einer Bewertungsgleichung

Im Rahmen der beschriebenen Modellwelt soll nun der Call auf die Kuponan- leihe präferenzfrei bewertet werden. Die Vorteile einer solchen präferenzfreien Bewertung liegen darin, daÿ sie weder Kenntnis der individuellen Risikoeinstel- lungen der Investoren noch die Vorhersage der Eintrittswahrscheinlichkeiten der beiden im Zeitpunkt^t+1 möglichen Zustände fordert (Kruschwitz1995, S. 299).

Die Ermittlung einer präferenzfreien Bewertungsgleichung setzt die Existenz eines vollständigen Kapitalmarkts voraus. Als vollständig wird ein Kapital- markt im ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell dann bezeichnet, wenn auf ihm zwei Finanztitel mit linear unabhängigen Rücküssen gehandelt werden. Wie Übersicht 1 verdeutlicht, ist diese Forderung durch die Existenz der Kuponanlei- he und der kurzfristigen Geldanlage bzw. Kreditaufnahmemöglichkeit erfüllt.

Auf der Grundlage eines solchen vollständigen Kapitalmarkts läÿt sich eine prä-

Tabelle 1: Cashows der relevanten Finanztitel Cashows in^t+ 1 im Zustand

Finanztitel Kurs up Kurs down Wert in^t

Kuponanleihe ^{But+1 Bt+1d Bt}

Anlage bzw. Kredit ^Yt(1 +^rs) ^Yt(1 +^rs) ^Yt

Call ^{Ct+1u Ct+1d Ct}=?

ferenzfreie Bewertungsgleichung für einen weiteren Finanztitel, wie z.B. den Call, über

die Konstruktion eines äquivalenten Portfolios aus der Anleihe und der kurzfristigen Geldanlage bzw. Kreditaufnahmemöglichkeit oder

die Ermittlung der Preise reiner Wertpapiere für die Zustände Kurs up und Kurs down

ableiten. Da beide Wege zum selben Ergebnis führen, soll hier exemplarisch die zweite Vorgehensweise vorgestellt werden.

Ein reines Wertpapier ist ein theoretisches Konstrukt, welches im Zeitpunkt

t+ 1 in einem der beiden Zustände einen Rückuÿ in Höhe von 1 DM und in dem jeweils anderen Zustand keine Rücküsse verspricht. In der vorliegenden Modellwelt sind die Preise der reinen Wertpapiere^u und^d mit

u als Preis für 1 DM im Zustand Kurs up und

d als Preis für 1 DM im Zustand Kurs down aus den Gleichungen

B u

t+1

u+^{Bt+1d d} = ^Bt (2)

Y

t

(1 +^rs)^u+^Yt(1 +^rs)^d = ^Yt (3)

zu bestimmen, um nach Einsetzen in

C

t=^{Ct+1u u}+^{Ct+1d d} (4)

und einigen Umformungen eine Bewertungsgleichung für^Ct, den Wert des Calls im Zeitpunkt ^t, zu erhalten. Wenn man nun die Gleichung (2) durch ^Bt und die Gleichung (3) durch^Ytdividiert und mit

b x

t = ^{Bt+1x ;Bt}

B

t

=^Bt+1x

B

t

;1 ^{() Bt+1x}

B

t

= 1 +^{bxt ;} mit^x=^u;d für die Anleihe eine Renditeschreibweise einführt, ergibt sich folgendes Glei- chungssystem:

(1 +^but)^u+ (1 +^bdt)^d = 1 (1 +^rs)^u+ (1 +^rs)^d = 1^:

Unter der Voraussetzung, daÿ die Determinante der Koezientenmatrix eines solchen linearen inhomogenen Gleichungssystems ungleich null ist, lassen sich

die Unbekannten mit Hilfe der Cramerschen Regel bestimmen. Als Lösungen für^uund^d erhält man

u= 11 +^rs

r

s

;b

d

t

b u

t

;b

d

t

und ^d= 11 +^rs

b u

t

;r

s

b u

t

;b

d

t :

Setzt man die so gewonnenen Preise der reinen Wertpapiere in Gleichung (4) ein, resultiert daraus mit

C

t= 11 +^{rs rs;b}

d

t

b u

t

;b

d

t

| {z }

p

t C

u

t+1+^{but ;rs}

b u

t

;b

d

t

| {z }

1;pt C

d

t+1

!

(5) eine präferenzfreie Bewertungsgleichung für einen europäischen Call auf eine Kuponanleihe im ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell.

3.3 Analyse der Bewertungsgleichung

Gleichung (5) entspricht in ihrer Struktur einem Erwartungswert des Calls im Zeitpunkt^t+1, der auf den Zeitpunkt^tabgezinst wird. In Gleichung (5) gehen jedoch keine Wahrscheinlichkeiten ein, die im Rahmen eines Modells unterstellt werden. Die mit^ptbzw. 1^;ptbezeichneten Terme wurden vielmehr aus einem vorgegebenen Gleichungssystem errechnet. Derartige Gewichtungsfaktoren wer- den in der Optionspreistheorie auch als Pseudowahrscheinlichkeiten bezeichnet.

Das erscheint deswegen gerechtfertigt, weil^ptund 1^;ptdie Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaÿes im Sinne der Statistik erfüllen. So gilt insbesondere 0^pt;1^;pt1 und ^pt+ (1^;pt) = 1.

Diese Eigenschaften folgen aus der Annahme, daÿ der Kapitalmarkt arbi- tragefrei ist, da dann die Beziehung ^{bdt <rs <but} stets erfüllt sein muÿ. Bei Verletzung dieser Beziehung lassen sich dagegen immer risikolose Arbitragege- winne erzielen: Wenn^{rs<bdt <but} ist, nimmt man zum Zinssatz ^rsKredit auf und kauft die Anleihe. Ist dagegen ^{bdt <but <rs}, so verkauft man die Anleihe leer und legt zum Zinssatz ^rsGeld an.

Bei der im Abschnitt 4 folgenden Analyse mehrperiodiger zeitdiskreter Mo- delle zur Bewertung von Rentenoptionen ist von zentraler Bedeutung, ob sich die Pseudowahrscheinlichkeiten im Zeitablauf stationär verhalten. Bei einer Un- tersuchung des Zeitverhaltens der Pseudowahrscheinlichkeiten kommen wir zu folgenden Ergebnissen:

1. Für den kurzfristigen Zinssatz^rswurde in Abschnitt 3.1 ein stochastisches Verhalten im Zeitablauf unterstellt. Folglich ist davon auszugehen, daÿ sich die zu Beginn einer jeden Periode geltenden Zinssätze voneinander unterscheiden.

2. Auch die zustandsabhängigen Anleiherenditen verändern sich im Zeitab- lauf, wofür im wesentlichen zwei Gründe verantwortlich sind. Zum einen sind die in diese Renditegröÿen eingehenden Barwerte der zukünftigen Anleihezahlungen vom stochastischen Verlauf des Zinsniveaus abhängig.

Zum anderen führen das PulltoParPhänomen und die Existenz oberer Schranken für den Kurs der Anleihe dazu, daÿ die Kurs bzw. Renditebe- wegungen der Anleihe von der Entwicklung in vorangegangenen Perioden

abhängig sind und die Kursvolatilität der Anleihe zum Ende ihrer Laufzeit hin abnimmt.

3. Für sämtliche Gröÿen, die bei der Bestimmung der Pseudowahrscheinlich- keiten zu berücksichtigen sind, ist somit festzustellen, daÿ sie im Zeitablauf variieren. Aufgrund dieser Tatsache ist auch für die Pseudowahrschein- lichkeiten davon auszugehen, daÿ sie über mehrere Perioden hinweg kein stationäres Verhalten aufweisen werden.

4 Mehrperiodige Bewertungsmodelle

Weil das bisher verwendete ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell allzu einfach strukturiert ist, gehen wir jetzt zu komplexeren zeitdiskreten Modellen über.

Zunächst nehmen wir hierfür einige Modikationen der getroenen Modellan- nahmen vor. Im Abschnitt 4.2 wird dann der Versuch unternommen, unter Verwendung der Binomialverteilung eine geschlossene Bewertungsgleichung für einen Call auf eine Kuponanleihe herzuleiten. Da dieser Versuch miÿlingen wird, stellen wir schlieÿlich mit der rekursiven Methode eine alternative Form der Bewertung vor.

4.1 Modellannahmen und Symbolik

Die Laufzeit des Calls erstreckt sich über eine endliche Zahl von ⁿ Subperi- oden. Während jeder dieser Subperioden kann der Zins entweder steigen oder fallen. Am Ende des Betrachtungszeitraums, also nachⁿSubperioden, kann der Zins 0 ^{k n}Abwärtsbewegungen vollführt haben. Wir bezeichnen mit ^rkn den Zinssatz nachⁿ Subperioden und^kAbwärtsbewegungen. Weil mit Ände- rungen des Zinssatzes stets entgegengerichtete Änderungen des Anleihenkurses verbunden sind, korrespondieren mit ^k Abwärtsbewegungen des Zinssatzes ^k zinsinduzierte Aufwärtsbewegungen des Anleihekurses. Folglich bezeichnet ^Bnk den Anleihekurs nach ⁿ Subperioden und ^k Aufwärtsbewegungen des Kurses.

Diese Symbolik läÿt sich entsprechend auf beliebige Zeitpunkte ^t mit ^{t < n} übertragen.

Vereinfachend unterstellen wir, daÿ der sich so ergebende Zinsprozeÿ über die ⁿ Subperioden recombining ist. Das bedeutet, daÿ in einem beliebigen Zeitpunkt ^t alle bis zu diesem Zeitpunkt möglichen Zinsentwicklungen mit der gleichen Anzahl von ^k Aufwärtsbewegungen (des Zinses) auch zum gleichen Zinssatz führen. Fürⁿ= 3 Subperioden verdeutlicht Abbildung 3 die entspre- chenden Entwicklungen des Zinssatzes und des Anleihekurses.

In Kenntnis der zustandsabhängigen Anleihekurse nachⁿSubperioden lassen sich die zustandsabhängigen Werte des Calls am Ende seiner Laufzeit aus^Cnk= max(^{Bnk ;K ;}0) bestimmen. Die anderen Annahmen des Abschnitts 3.1, wie insbesondere die Möglichkeit zur kurzfristigen Geldanlage bzw. Kreditaufnahme werden insoweit modiziert, daÿ sie für jede der Subperioden Gültigkeit haben.

4.2 Konstruktionsversuch eines Binomialmodells

Im Rahmen einer vergleichbaren zeitdiskreten Betrachtungsweise für Kaufop- tionen auf Aktien gelingt es, unter Verwendung einer Binomialverteilung, eine geschlossene Bewertungsgleichung für den Wert eines Calls im Zeitpunkt^t= 0