Matrikelnummer: 01/234567 Ubungsgruppe: 1¨ Platz: 123 (R711, links vorne)
Bevor die Klausur er¨offnet wird (mit der Bearbeitung begonnen wird):
Lassen Sie die Klausur vor sich liegen. Sie d¨urfen die Aufgaben erst lesen, wenn das Signal dazu gegeben wird. Legen Sie Ihren Studenten- oder Personalausweis neben sich. Pr¨ufen Sie, ob Sie auf Ihrem Platz sitzen, also ob auf diesem Deckblatt Ihr Name steht. Wenn Ihr Name falsch geschrieben ist oder die Matrikelnummer nicht stimmt, korrigieren Sie dies bitte sofort auf dieser Seite des Deckblattes. Die einzigen erlaubten Hilfsmittel sind
• ein von Hand beschriebenes Blatt (Benutzung der R¨uckseite erlaubt) im Format DIN A4 (210mm x 297mm) oder kleiner,
• konventionelles Schreibzeug,
• nicht beschriebenes Schmierpapier und
• eine Uhr (ohne eingebaute Kommunikationsger¨ate).
Legen Sie außer diesen Sachen und Ihrem Ausweis nichts auf den Tisch (außer Taschen- t¨ucher etc.). Wenn Sie Fragen haben, z¨ogern Sie nicht, diese an das Aufsichtspersonal zu stellen.
Nachdem die Klausur er¨offnet wird:
Pr¨ufen Sie sofort, ob Sie alle8 Aufgaben erhalten haben. Entfernen Sie nicht die Klam- merung der Bl¨atter. Schreiben Sie die L¨osung zu einer Aufgabe nur auf die daf¨ur vorgese- henen Bl¨atter. Wenn Sie sich nicht ganz sicher sind und noch genug Zeit ist, empfiehlt es sich, die L¨osung zun¨achst auf Ihr Schmierpapier zu schreiben. Vergessen Sie aber nicht, die L¨osung rechtzeitig auf den Klausurbogen zu ¨ubertragen. Schmierbl¨atter k¨onnen nur auf Antrag in H¨artef¨allen abgegeben und ber¨ucksichtigt werden. Soweit nichts anderes gesagt ist, gilt folgendes:
• Alle Antworten sind mathematisch zu begr¨unden.
• Es darf dabei auf mathematische Ergebnisse, die bis jetzt in der Vorlesung behan- delt wurden, verwiesen werden (zum Beispiel durch ein Stichwort wie
”Basiserg¨an- zungssatz“,
”Austauschlemma“ oder durch kurze Beschreibung des Ergebnisses).
• Ergebnisse aus den ¨Ubungen d¨urfen (wegen der Anlehnung der Klausuraufgaben an ¨Ubungsaufgaben) nicht verwendet werden (außer wenn man sie noch einmal herleitet).
Haben Sie irgendwelche Fragen, so z¨ogern Sie nicht, sich (m¨oglichst lautlos) bemerkbar zu machen. Ein Mitarbeiter wird zu Ihnen an den Platz kommen.
Die maximale Bearbeitungszeit betr¨agt 110 Minuten.
F¨ur jede Aufgabe gibt es 5 Punkte.
Die maximal zu erreichende Punktzahl ist also 40.
Wir w¨unschen Ihnen viel Erfolg!
Aufgabe 1:Bestimmen Sie in der geordneten Menge (P(Z),⊆) von folgenden MengenA jeweils die Menge ihrer maximalen Elemente und die Menge ihrer minimalen Elemente.
Entscheiden Sie außerdem jeweils, ob A ein gr¨oßtes Element, ein kleinstes Element, ein Supremum und ein Infimum hat und geben Sie diese gegebenenfalls an.
(a) A := {G, U}, wobei G := 2Z die Menge aller geraden und U := 2Z+ 1 die Menge aller ungeraden Zahlen bezeichne
(b) A sei die Menge aller derjenigen Teilmengen von Z, f¨ur die weder A noch Z \A endlich ist.
(b’) Asei die Menge aller derjenigen Teilmengen vonN, die weder endlich noch unendlich sind. (Statt der Aufgabe (b) wurde
”versehentlich“ diese Scherzaufgabe gestellt.) (c) A:={{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,2,3}}
Die Antwort muß ausnahmsweise nicht begr¨undet werden!
L¨osung zur Aufgabe 1:
Bitte R¨uckseite benutzen, falls ben¨otigt.
Aufgabe 2:SeiK ein K¨orper, in dem 1+16= 0 gelte. SeiV ein endlicherK-Vektorraum.
Zeigen Sie
X
v∈V
v = 0.
L¨osung zur Aufgabe 2:
Bitte R¨uckseite benutzen, falls ben¨otigt.
Aufgabe 3: Entscheiden Sie f¨ur je zwei der folgenden Gruppen, ob sie isomorph sind oder nicht:
(R,+),(R\ {0},·),(R/Z,+),(R/2Z,+) L¨osung zur Aufgabe 3:
Bitte R¨uckseite benutzen, falls ben¨otigt.
Aufgabe 4:Es sei
U =R
1 0
−1 2
+R
2 0 3 7
+R
−1
−1 6 1
⊆R4.
Bestimmen Sie eine Basis vonR4/U. L¨osung zur Aufgabe 4:
Bitte R¨uckseite benutzen, falls ben¨otigt.
Aufgabe 5:SeiK ein K¨orper,V ein (nichtnotwendig endlichdimensionaler)K–Vektor- raum und 0 6= v ∈ V. Zeigen Sie, daß es einen Untervektorraum U von V gibt derart, daß v+U eine (einelementige) Basis des Quotientenvektorraums V /U ist.
Hinweis:Benutzen Sie das Korollar zum Zornschen Lemma.
L¨osung zur Aufgabe 5:
Bitte R¨uckseite benutzen, falls ben¨otigt.
Aufgabe 6: Bestimmen Sie eine Basis des von 4
4
und 6
6
erzeugten Z–Moduls M ⊆Z2.
L¨osung zur Aufgabe 6:
Bitte R¨uckseite benutzen, falls ben¨otigt.
Aufgabe 7:Gegeben seien die reellen Matrizen A:=
1 0 0 0
und B :=
2 0 0 1
.
Sei nunM ∈ {A, B}(l¨osen Sie die Aufgabe zun¨achst f¨urM =A, dann f¨urM =B). Wir fassen denR2 als R[X]-Modul auf verm¨oge
pv := (p(M))(v) f¨urp∈R[X] und v ∈R2.
Beschreiben Sie die Abbildung R2 → R2, v 7→ M v und die geometrische Gestalt des von v erzeugten R[X]-Untermoduls R[X]v ⊆ R2 (je nachdem, wo v liegt) in m¨oglichst einfachen Worten. Die Antwort muß ausnahmsweisenicht begr¨undet werden!
L¨osung zur Aufgabe 7:
Bitte R¨uckseite benutzen, falls ben¨otigt.
Aufgabe 8: Sei K ein K¨orper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Weiter sei f : V → V ein Endomorphismus. Beschreiben Sie, welche Schritte in der Vorlesung zu einer Basis vvon V gef¨uhrt haben, bei der die Darstellungsmatrix Mvv(f) allgemeine Normalform hat. Gehen Sie nur dann ins Detail, wenn Sie dazu gen¨ugend Zeit haben.
Bitte R¨uckseite benutzen, falls ben¨otigt.