Elektronik II Foliensatz 4: Halbleiter, Dioden

G. Kemnitz 12. Juli 2021

Contents

1 Halbleiter 1

1.1 Stromuss in Halbleitern . . . . 1

1.2 Undotiert (intrinsisch) . . . . 3

1.3 Dotiert (extrinsisch) . . . . 5

1.4 Stromloser pn-Übergang . . . . 8

1.5 pn-Übergang, Sperrbereich . . . . 11

1.6 pn-Übergang Durchlassbereich . . . . . 13

2 Dioden 16 2.1 Spice-Modell . . . . 16

2.2 Durchlassbereich . . . . 17

2.3 Sperr- und Durchbruchbereich . . . . 20

2.4 Sperrschicht- und Diusionskapazität . . 21

2.5 Kleinsignalmodell . . . . 23

3 Spezielle Dioden 24 3.1 Schottky-Diode . . . . 24

3.2 Z-Dioden . . . . 28

3.3 PIN-Diode . . . . 30

3.4 Kapazitätsdiode . . . . 31

1 Halbleiter

1.1 Stromuss in Halbleitern

Lernziel

Entwicklung eines quantitativen Verständnisses für

ˆ die Leitungsvorgänge in undotierten und dotierten Halbleitern und

ˆ die Strom-Spannungs-Beziehung an pn-Übergängen.

Die Leitungsvorgänge in Halbleitern und an pn-Übergängen bilden die Grundlage für das Verständnis der Verhaltens- und Simulationsmodelle für

ˆ Dioden

ˆ Bipolartransistoren,

ˆ MOS-Transistoren und

ˆ weitere Halbleiterbauteile.

Die betrachteten physikalischen Gröÿen

Symbol Maÿeinheit

Energie

⁽¹⁾

, Fermienergie

⁽²⁾

, chemisches Potential

W , W

F

, ζ J (Joule) eV=1,6 · 10

⁻¹⁹

J

mittlere thermische Energie k

B

· T (eV Elektronenvolt)

Temperatur T K (Kelvin)

Boltzmannkonstante k

B

1,38 · 10

^{−23 J}_K

= 8,62 · 10

^{−5 eV}_K

Potential

⁽³⁾

, Spannung

⁽⁴⁾

ϕ =

^W_q

, U V (Volt)

Elementarladung q 1,6 · 10

⁻¹⁹

C

Temperaturspannung U

T

=

^kB_q^·T

bei 300 K ≈ 26 mV

1

(1)

Energiedierenz der Ladungsträger zu einem Bezugspotential;

⁽²⁾

Energie, bis zu der die Elektronenzustände bei T = 0 besetzt sind;

⁽³⁾

Energie der Ladungsträger pro Ladung;

⁽⁴⁾

Potentialdierenz.

Dichte der beweglichen Ladungsträger p (der Löcher

⁽¹⁾

), n (der bew.

Elektr.

⁽²⁾

)

m

⁻³

Driftgeschwindigkeit v

p/n.drift

= (−)µ

p/n

· E

^m_s

Beweglichkeit µ

n

, µ

p m²

Vs

Diusionsgeschwindigkeit v

p/n.diff

= D

p/n

·

_p/n·∂x^{∂p/n m}_s

Diusionskoezient

⁽³⁾

D

p/n

= U

T

· µ

p/n m²

s

Strom

⁽⁴⁾

I =

^{d Q}_{d t}

=

^{d Q}_{d l}

· v A

Leitungsquerschnitt A m²

Stromdichte J =

_A^I

= q · (p · v

p

− n · v

n

) A/m

²

Raumladungsdichte ρ,

^∂E_∂x

=

^ρ_ε

(5) As

m³

Dielektrizitätskonstante (Si) ε , ε

Si

≈ 100

^pF_{m m}^F

(1)

freie Zustände im Valenzband;

⁽²⁾

besetzte Zustände im Leitungsband;

⁽³⁾

Einsteingleichung;

⁽⁴⁾

bewegte Ladung pro Zeit, bewegte Ladungsdichte mal Fläche mal Geschwindigkeit.

⁽⁵⁾

Poissongleichung

Ströme in Halbleitern

d x I = J · A

I, J U, E

A, x U , E =

^∂U_∂l

bewegliche Elektronen bewegliche L¨ocher Strom, Stromdichte Spannung, Feldst¨ arke

Leitungsquerschnitt und -l¨ ange

v n

v p

v p

v n

J = I

A = q · p · v

p

− q · n · v

n

Die Stromdichte ist das Produkt aus der Elementarladung, den Dichten der beweglichen Ladungsträger n und p sowie deren Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeiten setzen sich zusammen aus den Drift- geschwindigkeite n

v

p.drift

= µ

p

· E, v

n.drift

= µ

n

· E und den Diusionsgeschwindigkeiten:

v

p.diff

= D

n

· ∂p

p · ∂x , v

n.diff

= D

n

· ∂n n · ∂x

Die Diussionskoezienten D p/n sind nach Einsteingleichung das Produkt aus Temperaturspannung U T

und Beweglichkeit µ p/n :

v

p.diff

= U

T

· µ

p

· ∂p

p · ∂x , v

n.diff

= U

T

· µ

n

· ∂n n · ∂x Eingesetzt in die Gleichung der Stromdichte:

J = q ·

µ

p

·

p · E + U

T

· ∂p

∂x

− µ

n

·

n · E + U

T

· ∂n

∂x

(1)

Die Feldstärkeänderung in Stromussrichtung ist nach der Poissongleichung proportional zur Raum- ladungsdichte aus beweglichen und ortsfesten Ladungen:

∂E

∂x = ρ

ε (2)

(ρ Raumladung; ε Dielektrizitätskonstante).

Zusammenfassung

Die Stromdichte in einem Halbleiter J = q ·

µ

p

·

p · E + U

T

· ∂p

∂x

− µ

n

·

n · E + U

T

· ∂n

∂x

Abhängig von:

ˆ der Feldstärke E, der Temperaturspannung U T sowie

ˆ den Dichten und Gradienten der beweglichen Ladungsträger.

Der Gleichgewichtszustand für die Dichten und Gradienten der beweglichen Ladungen wird durch Dotie- rung eingestellt. Ungleichgewichte durch zu- und abieÿende Ströme bauen sich innerhalb von µs bis ms ab.

Feldstärken E entstehen durch Auadung und äuÿere Spannungen.

Empfohlene Literatur: Cordes, Waag und Heuck: Integrierte Schaltungen. Grundlagen - Prozesse - Design - Layout. Pearson Studium, 2011.

1.2 Undotiert (intrinsisch)

Bewegliche Ladungsträger

Valenzband Leitungsband

W F (Fermienergie)

z(W ) (Zustandsdichte)

W niederenergetische

B¨ ander

vollst¨ andig besetzte

ˆ Elektronen besitzen im Quantenmodell einen Zustand, dem eine Energie zugeordnet ist.

ˆ Teilen sich Elektronen wie in einem Festkörper einen Raum, kann jeder Zustand nur mit einem Elektron besetzt sein.

ˆ Der Zustandsraum ist in Bänder unterteilt und füllt sich bei T = 0 von der niedrigsten Energie bis zur Fermienergie W F .

ˆ Das äuÿerste voll besetzte Band heiÿt Valenzband und das darauf folgende Leitungsband.

ˆ Beweglichkeit von Ladungsträgern verlangt freie Elektronenstände in der energetischen Nachbarschaft.

Bei T = 0 nur für Elektronen im Leitungsband erfüllt.

ˆ Halbleiter sind Materialien mit bei T = 0 vollem Valenz- und leerem Leitungsband. Bandlücke ca.

1 . . . 2 eV.

Undotierte Halbleiter bei Raumtemperatur

Bei T > 0 sind auch Zustände oberhalb der Fermienergie besetzt und Zustände unterhalb der Fermienergie frei. Die Besetztwahrscheinlichkeit gehorcht der Fermi-Verteilung:

P (W, T, ζ) =

e

W−ζ q·UT

+ 1

−1

(q Elementarladung; U T = k B · T Temperaturspannung; q · U T mittlere thermisch Energie der Elektronen. Für Si bei 300 K ca. 26 meV.

0 100%

P (W, T, ζ) Valenz- band

W V W L

Leitungs- band ζ W

Das chemische Potential ζ stellt sich so ein, dass die Anzahl der freien Zustände im Valenzband gleich

der Anzahl der besetzten Zustände im Leitungsband ist. Ladungsneutralität.

Dichte der beweglichen Ladungsträger

z(W ) 0 100%

P (W, T, ζ)

band Valenz- Leitungs- band

W V ζ W L W

U T

L¨ocher

n Dichte der beweglichen Elektronen

z(W ) Zustandsdichte

Besetztwahrscheinlichkeit Dichte der beweglichen p

ζ chemisches Potenial Temperaturspannung q Elementarladung Löcher: Zustandsdichte Valenzband mal 1 − P (...)

p = Z

W_V

0

(1 − P (W, T, ζ)) · z (W ) · dW

Bewegliche Elektronen: Zustandsdichte Leitungsband mal P (...) n =

Z

∞ WL

P (W, T, ζ) · z (W ) · dW

Boltzmannnäherung

Wenn das chemische Potential um mehr als die doppelte mittlere thermische Energie von den Bandkanten entfernt ist:

P (W, T, ζ) =

e

W−ζ q·UT

+ 1

−1

≈





 1 − e

W−ζ q·UT W−ζ

q·U_T

< −2 e

⁻

W−ζ

q·UT W−ζ q·U_T

> 2 Überschlag für konstante Zustandsdichten in den Bändern:

band Valenz- Leitungs- band W V ζ W L

W z(W )

z V z L L¨ocher

n Dichte der beweglichen Elektronen

Dichte der beweglichen p

N¨ aherung

tats¨ achlicher Verlauf

p = z

V

· R

W_V

0

e

W−ζ

q·UT

· dW n = z

L

· R

∞ W_L

e

ζ−W q·UT

· dW p = z

V

· q · U

T

· e

WV−ζ

q·UT

n = z

L

· q · U

T

· e

ζ−WL q·UT

p = N

V

· e

WV−ζ

q·UT

n = N

L

· e

ζ−WL q·UT

Silizium bei Raumtemperatur (U T ≈ 26 meV)

L¨ocherdichte : p = N V · e

WV−ζ q·UT

bewegl. Elektr. : n = N L · e

ζ−WL q·UT

(3)

ˆ Die Boltzmannnäherung für 300K (U T ≈ 26 meV) verlangt:

W V + 50 meV < ζ < W L − 50 meV

ˆ Für Si und 300K: N V ≈ 15 · 10 ¹⁸ · cm

⁻

³ , N L ≈ 24 · 10 ¹⁸ · cm

⁻

³

ˆ Daraus folgt, Näherung gilt für n, p < 10 ¹⁸ · cm

⁻

³ .

Das Produkt n · p ist unabhängig vom chemischen Potential ζ n · p = n

²_i

= N

V

· N

L

· e

WV−WL

q·UT

(4)

(n i intrinsische Ladungsträgerdichte). Mit unserem Überschlag nehmen N V und N L proportional mit

der Temperatur zu, in Wirklichkeit eher mit Exponent 1,5. n

²_i

ist sehr temperaturabhängig.

Generation und Rekombination

Generation: Durch Energieaufnahme wird eine Valenzbandelektron zu einem Leitungsbandelektron und hinterlässt einen unbesetzten Zustand (Loch).

Rekombination: Wechsel eines besetzten Leitungsbandelektrons in ein Loch durch Energieabgabe.

Valenzbandelektronen

Generation Rekombination

Leitungsbandelektronen + L¨ocher

Im Gleichgewicht:

n · p = n ² _i ist die Generations- gleich der Rekombinationsgeschwindigkeit.

Für Silizium beträgt die intrinsische Ladungsträgerdichte bei 300 K n i ≈ 2 · 10 ⁹ cm

⁻³

und nimmt mit

≈ 7%/K zu.

Nettorekombinationsrate

Ungleichgewichte, z.B. durch Ladungszu- oder Abuss bauen sich mit den Relaxationszeiten τ _p/n ab:

p (t) = p

0

− (p (t

0

) − p

0

) · e

⁻

t−t0 τp

n (t) = n

0

− (n (t

0

) − n

0

) · e

⁻

t−t0 τn

Die Nettorekombinationsraten ist die Dierenzen zum stationären Zustand geteilt durch die Zeitkon- stante:

r

p

= dp

dt = p − p

0

τ

p

; r

n

= dn

dt = n − n

0

τ

n

(5)

sind im Gleichgewichtszustand null und ansonsten proportional zur Gröÿe der Gleichgewichtsstörung p − p 0 bzw. n − n 0 .

Für p < p 0 bzw. n < n 0 ist die Nettorekombinationsrate negativ und eigentlich eine Generationsrate.

1.3 Dotiert (extrinsisch)

Dotierung mit Akzeptoren (p-Gebiete) Si

Si Si Si Si

Si Si Si Si Si Si

Si Si

Si Si Si

Si Si Si Si Si Si Si B

⁻

Einbau von Atomen mit drei Auÿenelektronen, z.B. Bor, in das Si

Diamantgitter von Silizium. Die Energie, ein viertes Auÿenelek- tron aufzunehmen, ist ≈ 2 · q · U T gröÿer als die max. Energie im Valenzband W V .

n =

_Nⁿ²ⁱ_A

W V

≈ 0,05 eV ζ p

P (W, T, ζ ) p = N A · P(W A , T, ζ) z(W )

≈ 1,1 eV

W Leitungs- band band

Valenz- N A

zus¨atzliche

Energiezust¨ande

der Akzeptoratome

W A

Ladungsdichten und ζ p in p-Gebieten

Das chemische Potential stellt sich so ein, dass die Löcheranzahl im Valenzband gleich der Anzahl der besetzten Akzeptor- und Leitungsbandzustände ist:

p = N

V

· e

WV−ζp

q·UT

= N

A

· P (W

A

, T, ζ

p

) + n

≈ N

A

·

1 − e

WA−ζp q·UT

wegen n N

A

·

1 − e

WA−ζp q·UT

≈ N

A

(Boltzmannnäherung für W

A

− ζ

p

q · U

T

< −2

Chemisches Potential für die Boltzmannnäherung:

ζ

p

≈ W

V

+ q · U

T

· ln N

V

N

A

N

A

N

V

(6)

In einem mit Akzeptoren dotierten (p-) Gebiet sind Löcher die Majoritätsladungsträger.

Die Dichte der Minoritätsladungsträger strebt durch Generation bzw. Rekombination gegen Gl. 4:

n = n

²_i

p Richtwerte Si 300K:

Akzeptordichte in cm

⁻³

10

¹⁴

10

¹⁶

10

¹⁸

Majoritätsladungsträgerdichte (p) in cm

⁻³

10

¹⁴

10

¹⁶

5 · 10

¹⁷

Minoritätsladungsträgerdichte ( n ) in cm

⁻³

4 · 10

⁴

4 · 10

²

8

Für hohe Dotierung (ab 10 ¹⁸ cm

⁻

³ ) sind die zusätzlichen Akzeptorzustände nur teilweise besetzt und p kleiner als die Akzeptordichte

p = N

A

·

1 − e

WA−ζp q·UT

< N

A

Dotierung mit Donatoren (n-Gebiete) Si

Si Si Si Si

Si Si Si Si Si Si

Si Si

Si Si Si

Si Si Si Si Si Si Si

P

⁺

Einbau von Atomen mit fünf Auÿenelektronen, z.B. Phosphor, Si

in das Diamantgitter von Silizium. Die Energie, das fünfte Au- ÿenelektron abzugeben, ist ≈ q · U T kleiner als die min. Energie im Leitungsband W L .

z(W )

W Leitungs- band band

Valenz-

W L

≈ 25 meV ζ n

N D

P(W, T, ζ )

≈ 1,1 eV p =

ⁿ_n²ⁱ

n = N D · (1 − P (W D , T, ζ))

zus¨atzliche

Energiezust¨ande

der Donatoratome

W D

Ladungsdichten und ζ n in n-Gebieten

Das chemische Potential stellt sich so ein, dass die Elektronenanzahl im Leitungsband gleich der Anzahl der freien Donator- und Valenzbandzustände ist:

n = N

L

· e

ζn−WL

q·UT

= N

D

· (1 − P (W

D

, T, ζ

n

)) + p

≈ N

D

·

1 − e

⁻

WD−ζn q·UT

wegen p N

D

·

1 − e

⁻

WD−ζn q·UT

≈ N

D

(Boltzmannnäherung für W

D

− ζ

n

q · U

T

> 2

Chemisches Potential für die Boltzmannnäherung:

ζ

n

≈ W

L

− q · U

T

· ln N

L

N

D

(7) In einem mit Donatoren dotierten (n-) Gebiet sind bewegliche Elektronen die Majoritätsladungsträger.

Die Dichte der Minoritätsladungsträger strebt durch Generation bzw. Rekombination gegen Gl. 4:

p = n

²_i

n

Richtwerte Si 300K:

Donatordichte in cm

⁻³

10

¹⁴

10

¹⁶

10

¹⁸

Majoritätsladungsträgerdichte (n) in cm

⁻³

10

¹⁴

10

¹⁶

10

¹⁸

Minoritätsladungsträgerdichte ( p ) in cm

⁻³

4 · 10

⁴

4 · 10

²

4

Für hohe Dotierung (ab 10 ¹⁸ cm

⁻

³ ) sind die zusätzlichen Donatorzustände nur teilweise unbesetzt und n kleiner als die Donatordichte

n = N

D

·

1 − e

⁻

WD−ζn q·UT

< N

A

Tiefe Störstellen

Gleichmäÿig in der Bandlücke verteile zusätzliche Energiezustände durch Gitterfehler und Verunreini- gungen.

· · · Valenz-

band

Leitungs- band

W z(W )

tiefe St¨orstellen Donatorniveaus

Akzeptorniveaus Energieaufnahme Energieabgabe

ˆ In der Regel erfolgt die Energieaufnahme und -abgabe in kleinen Schritten über die tiefen Störstellen.

ˆ Je reiner ein Halbleiter, desto gröÿer sind die Relaxationszeiten τ p und τ n , mit denen die Gleich-

gewichtsstörungen abgebaut werden.

Zusammenfassung

Mit der Boltzmannnäherung für Si und 300K (U T ≈ 26 meV, W V + 50 meV < ζ < W L + 50 meV, N V ≈ 15 · 10 ¹⁸ · cm

⁻³

und N L ≈ 24 · 10 ¹⁸ · cm

⁻³

) betragen im undotierten Halbleiter die Dichten der Löcher und der beweglichen Elektronen:

p = N V · e

WV−ζ q·UT

n = N L · e

ζ−WL q·UT

Im Gleichgewichtszustand:

n · p = n ² _i = N V · N L · e

WV−WL q·UT

= n ² _i

n i intrinsische Ladungsträgerdichte, für Si bei 300 K n i ≈ 2 · 10 ⁹ cm

⁻³

. Abnahme mit etwa 7% pro Kelvin zu.

Eine Akzeptordichte N A N V ändert das Gleichgewicht in:

p = N A ; n = n ² _i N A

ζ p ≈ W V + q · U T · ln N V

N A

Eine Donatordichte N D N L ändert das Gleichgewicht in:

n = N D ; p = n ² _i N D

ζ n ≈ W L − q · U T · ln N L

N D

Gleichgewichtsstörungen werden mit den Nettorekombinationsraten r

n

= dn

dt = n − n

0

τ

n

; r

p

= dp

dt = p − p

0

τ

p

abgebaut (τ p/n Relaxionszeiten, bis zu Millisekunden).

1.4 Stromloser pn-Übergang

Suchen Sie die Gleichungen zusammen Stromdichte für Halbleiter nach Gl. 1:

J = q · (µ p · ( . . . . ) − µ n · ( . . . . )) Die Poisson-Gleichung, Gl. 2:

∂E

∂x = . . . . Die Boltzmannnäherung für p und n als Funktion von ζ nach Gl. 3

p ≈ N V · . . . . n ≈ N L · . . . . Die Nettorekombinationsraten nach Gl. 5:

p − Gebiet : r

p

= dp

dt = . . . , n − Gebiet : r

n

= dn

dt = . . . .

Zur Kontrolle

Stromdichte für Halbleiter nach Gl. 1:

J = q ·

µ p ·

p · E + U T · ∂p

∂x

− µ n ·

n · E + U T · ∂n

∂x

Die Boltzmannnäherungen für die Elektronen- und die Löcherdichten nach Folie 4:

p = N V · e

WV−ζ q·UT

n = N L · e

ζ−WL q·UT

Die Poisson-Gleichung, Gl. 2:

∂E

∂x = ρ ε Die Nettorekombinationsraten nach Gl. 5:

p − Gebiet : r

p

= dp

dt = p − p

0

τ

p

, n − Gebiet : r

n

= dn

dt = n − n

0

τ

n

Verbindung eines p- und eines n-Gebiets

getrennte p- und n-Gebiete stromloser pn- ¨ Ubergang

x

Is ol at or

x p =

_Nⁿ²ⁱ

D

n = N D

p-Gebiet p = N A

n =

_Nⁿ²ⁱ_A

p-Gebiet n-Gebiet n-Gebiet

n = N D

p =

_Nⁿ²ⁱ_D

p = N A

n =

_Nⁿ²ⁱ_A

ˆ Der Dichtegradient an der Übergangsstelle bewirkt, das aus dem p-Gebiet Elektronen und aus dem n-Gebiet Löcher in das andere Gebiet diundieren.

ˆ Es entsteht ein elektrisches Feld, das einen Driftstrom verursacht, der den Diusionsstrom kompen- siert.

ˆ Die im Verbindungsmoment durch Diusion verursache Erhöhung von n · p n i ² wird innerhalb weniger Millisekunden durch Rekombination abgebaut.

Feldstärke und Ladungsdichte

Im stationären Gleichgewicht heben sich überall die Elektronen- und Löcherströme auf. Elektronen- stromdichte nach Gl. 1:

J

n

= 0 = −q · µ

n

·

n · E + U

T

· ∂n

∂x

(8) Die Änderung der Elektronendichte ergibt sich aus der Änderung des Abstands des chemischen Potentials zum Leitungsband:

∂n

∂x =

∂

N

L

· e

ζn−WL q·UT

∂x = n

q · U

T

· ∂ζ

n

∂x − ∂W

L

∂x

= − n q · U

T

· ∂W

L

∂x

∗

(

^∗

mit Festlegung ζ = konst.). Eingesetzt in Gl. 8 ergibt sich, dass die Feldstärke im stromlosen pn- Übergang proportional zur Änderung der Leitungsbandenergie abnimmt:

0 = n · E − U

T

· n q · U

T

· ∂W

L

∂x , E = 1 q · ∂W

L

∂x

Diusionsspannung und Raumladung Die Diusionsspannung

U

Diff

= − Z

wn

−w_p

E · dx = − 1 q ·

Z

wn

−w_p

∂W

L

∂x · dx = ζ

n

− ζ

p

q

RLZ n-Gebiet p-Gebiet

RLZ Raumladungszone x q · U Diff

0

x 0

Raumladung ρ

W

L

− ζ

n

ζ

p

− W

V

W 0 W

V

W

L

q · N A

q · N D

ρ

− w p w n

ist das Intergral über die Feldstärke am stromlosen pn-Übergang.

In dem Bereich, in dem das chemische Potential von den Bandkanten weiter entfernt ist, ist die Dichte der beweglichen Ladungsträger klein gegenüber den orts- festen Störstellenatomen. Näherungsweise konstante Raumladung:

ˆ p-Gebiet: ρ ≈ − q · N A

ˆ n-Gebiet: ρ ≈ q · N D .

Feldstärke und Sperrschichtbreite

Bei konstanter Raumladung nimmt nach Gl. 2 (Poisson-Gl.):

∂E

∂x = ρ ε

die Feldstärke im p-Gebiet proportional mit − q · N A ab und im n-Gebiet mit q · N D zu (Dreieckverlauf) .

RLZ n-Gebiet p-Gebiet

x 0

− w p 0

− E max

0 w n

E

q · N D

q · N A

ρ

ˆ Abfall p-Gebiet:

^∂E_∂x

=

^−q·_ε^NA

=

^−E_w^max

p

ˆ Anstieg n-Gebiet:

^∂E_∂x

=

^q·N_ε^D

=

^E_w^max_n

ˆ Ladungsneutralität: N A · w p = N D · w n

ˆ Diusionsspannung: U Diff = ¹ ₂ · E max · (w p + w n )

Auösung des Gleichungssystems nach den Breiten der Raumladungszonen:

w = w

p

+ w

n

= s

2 · ε · U

Diff

q ·

1 N

A

+ 1 N

D

(9)

w

p

= w · N

D

N

D

+ N

A

, w

n

= w · N

A

N

D

+ N

A

Maximale Feldstärke:

E

max

= w

p

· q · N

A

ε = w

n

· q · N

D

ε = 2 · U

Diff

w

ˆ Bei gleicher Dotierung: w p = w n .

ˆ Je schwächer dotiert, desto breiter die Sperrschicht.

ˆ Bei ungleicher Dotierung breitet sich die Raumladungszone hauptsächlich im niedriger dotierten Gebiet aus.

ˆ Über C = ε ·

^Aw

verhält sich die Sperrschichtkapazität umgekehrt proportional zur Sperrschichtbreite

w.

1.5 pn-Übergang, Sperrbereich

Sperrbereich

Eine Sperrspannung U S > 0 verbreitert die mit ρ = q · N A bzw. ρ = q · N D aufgeladene Raum- ladungszohne und E max . Das Integral über die Feldstärke ist jetzt die Summe aus Diusions- und Sperrspannung:

U

Diff

+ U

S

= 1

2 · E

max

· (w

p

+ w

n

)

RLZ n-Gebiet p-Gebiet

I S (Sperrstrom) U S (Sperrspannung)

x N D

0 N A

ρ q

− w p 0

− E max

0 w n

E

In den Gleichungen zur Bestimmung von w, w p , w n und E max ist die Diusionsspannung durch U Diff +U S

zu ersetzen:

E max = 2 · (U Diff + U S ) w

E max = 2 · (U Diff + U S )

w =

v u

u t 2 · q · (U Diff + U S ) ε ·

1

NA

+

_N

¹

_D

(10)

w = s

2 · ε · (U

Diff

+ U

S

)

q ·

1 N

A

+ 1 N

D

(11) w

p

= w · N

D

N

D

+ N

A

, w

n

= w · N

A

N

D

+ N

A

Lawinendurchbruch

Sperrschicht

p -G eb ie t n -G eb ie t

U S > U BR (U BR typ. 100 V)

Häugste Durchbruchart. Bei hohen Feldstärken nehmen die bewegten Ladungsträger auf ihrem Weg bis zum nächsten Gitterzusammenstoÿ so viel Energie auf, das es für die Generierung eines Elektronen- Lochpaars ausreicht. Die Dichte der beweglichen Ladungsträger in der Raumladungszone steigt mit weiterer Erhöhung der Sperrspannung exponentiell an.

Spannungsfestigkeit

Die maximale Feldstärke E max muss unterhalb des Wertes für den Durchbruch E BR bleiben:

E

max

= 2 · (U

Diff

+ U

S

)

w =

v u u t

2 · q · (U

Diff

+ U

S

) ε ·

1 NA

+

_N¹

D

< E

BR

Für gegebene U S

ˆ groÿe Breite

ˆ niedrige Dotierung.

Einseitig niedrige Dotierung reicht, weil sich die Sperrschicht hauptsächlich im niedrig dotierten Gebiet ausbreitet.

0

N D

∼ p

(U Diff + U S ) · N A

w ≈ w p ∼ q

UDiff

+U

S

NA

x 0

N A

ρ q

− E max

E 0

− w p w n ≪ w p

Sanfte Dotierprole und intrinsischer Übergang

0 0

− E max

N Dmax

N Amax x

w p ≫ w n w n

E

ρ q

undotiert (instrinsisch) abnehmende Dotierdichte konstante Dotierdichte

gr¨ oßere Fl¨ ache bei gleicher Breite

∼ (U Diff + U S

und kleinere | E max |

Aus der Poisson-Gl. 2

^∂E_∂x

=

^ρ_ε

folgt, dass bei abnehmender Raumladung, die in der Verarmungszone gleich der Dotierdichte ist, E schwächer und in einer intrinsischen Zwischenschicht gar nicht zunimmt.

Bei gleicher Sperrschichtbreite und Sperrspannung geringeres Feldstärkemaximum.

Sperrstrom

Der Sperrstrom ist ein Generierungsstrom mit der Stromdichte:

J

S

= I

S

A ≈ q · (w

n

· r

n

+ w

p

· r

p

) mit der Generationsrate

¹

im p-Gebiet:

−r

p

= − dp

p

dt = N

A

− p

p

τ

p

≈ N

A

τ

p

und im n-Gebiet:

−r

n

= − dn

n

dt = N

D

− n

n

τ

n

≈ N

D

τ

n

(. . . p im p-Gebiet; . . . p ; im n-Gebiet; τ Relaxionszeit; Näherungsannahmen: Majoritätsdichte viel kleiner Dotierdichten). Zusammen:

J

S

= I

S

A ≈ q ·

w

n

· N

D

τ

n

+ w

p

· N

A

τ

p

(12)

Für einen abrupten Übergang mit sprunghafter Überrung der Änderung der Dotiertichte von N A nach N D

nehmen die Breiten w p und w n der Raumladungszonen und damit auch der Sperrstom mit √

U Diff + U S

zu:

J

S

∼ √

U

Diff

+ U

S

Für die meisten Anwendungen ist der Sperrstrom vernachlässigbar klein.

Zusammenfassung

ˆ Sperrschichtbreite:

w = s

2 · ε · (U

Diff

+ U

S

)

q ·

1 N

A

+ 1 N

D

ˆ Maximale Feldstärke:

E

max

= 2 · (U

Diff

+ U

S

)

w =

v u u t

2 · q · (U

Diff

+ U

S

) ε ·

1 N_A

+

_N¹

D

ˆ Bei zu hoher Feldstärke Durchbruch.

ˆ Erhöhung der Spannungsfestigkeit durch einseitig niedrige Dotierung, sanfte Dotierprole und/oder eine intrinsische Schicht zwischen den dotierten Gebieten.

ˆ Sperrstrom vernachlässigbar.

1

Die Generierungsrate für n · p < n

²_i

ist minus Nettorekombinationsrate.

1.6 pn-Übergang Durchlassbereich

Suchen Sie die Gleichungen zusammen

1. Stromdichte für Halbleiter nach Gl. 1:

J = q · (µ p · ( . . . . ) − µ n · ( . . . . )) 2. Die Boltzmannnäherungen für die Elektronen- und die Löcherdichten Gl. 3:

p ≈ N V · . . . . n ≈ N L · . . . .

3. Die Gleichgewichtsverscheibung des Produkts n · p unter der Annahme, dass sich die chemischen Potentiale für Löcher und Elektronen um ζ n − ζ p = q · U D unterscheiden (ζ p/n chemisches Potential zur Löcher- / Elektronendichte; U D Spannung in Durchlassrichtung; q Elemetarladung):

n · p = n ² _i · . . . . Zur Kontrolle

1. Stromdichte für Halbleiter nach Gl. 1:

J = q ·

µ p ·

p · E + U T · ∂p

∂x

− µ n ·

n · E + U T · ∂n

∂x

2. Die Boltzmannnäherungen für die Elektronen- und die Löcherdichten Gl. 3:

p ≈ N V · e

WV−ζp

q·UT

f ¨ ur e

^WV

−ζp

q·UT

< e

⁻

² ≈ 0,1

^∗

n ≈ N L · e

ζn−WL

q·UT

f ¨ ur e

ζn−WL

q·UT

< e

⁻²

≈ 0,1

^∗

(

^∗

Gültigkeitsvoraussetzung).

3. Gleichgewichtsverschiebung des Produkts n · p für ζ n − ζ p = q · U D

n · p = N V · N L · e

⁻

WL−WV q·UT

| {z }

n²_i

· e

ζn−ζp q·UT

| {z }

e

UD UT

Durchlassbereich

n-Gebiet p-Gebiet

U D

I D

ζ p

W V

q · (U Diff − U D ) W L

W

ζ n q · U D

0 0

x

p

x

n

Eine Durchlassspannung U D > 0 verringert nach Gl.

11 das elektrische Feld und die Breite der Raum- ladungszone. Der Diusionsstrom wird nicht mehr durch den Driftstrom kompensiert.

Unter der Annahme, keine Rekombination in der Sperrschicht

²

, behalten die chemisches Potentiale der in das andere Gebiet diundierenden Ladungsträger die Dierenz ζ n − ζ p = q · U D . Vergröÿerung von n · p bis zum Ende der Sperrschicht:

n · p ≈ n ² _i · e

UD UT

2

Aufgrund der groÿen Dichtegradienten diundieren die Ladungsträger sehr schnell durch die Sperrschicht.

Hinter der Raumladungszone

n-Gebiet p-Gebiet

U

D

I

D

ζ

p

W

V

q · (U

Diff

− U

D

) W

L

W

ζ

n

q · U

D

0 0

x

p

x

n

Majoritätsdichte: _n ^p

^p

^(x

^p

^{≥ 0) = N}

^A

n

(x

n

≥ 0) = N

D

Minoritätsdichteerhöhung am Ende der Raumladungszone:

n

p

(x

p

= 0) = n

p0

· e

UD

UT

mit n

p0

= n

²_i

N

A

p

n

(x

n

= 0) = p

n0

· e

UD

UT

mit p

n0

= n

²i

N

D

· e

UD UT

Weiterdiusion der Minioritätsladungsträger im Bahngebiet:

ˆ Elektronen im p-Gebiet: J n = q · µ n · U T ·

^{d n}d x^p

^(x

p^p

⁾

ˆ Löcher im n-Gebiet: J p = q · µ p · U T ·

^{d p}d xⁿ

^(x

nⁿ

⁾

Die Dichtegradienten 6 = 0 entstehen durch Rekombination.

Minoritätendichten x p/n ≥ 0

n-Gebiet p-Gebiet

q · U

D

ζ

p

ζ

n

W

W

L

q · (U

Diff

− U

D

)

W

V

x

p

0 0 x

n

Diussionsstromdichten:

J = J n + J p

Diusionsstromdichte Abnahme durch Rekombination p J n = q · µ n · U T ·

^{∂ n}∂ x^p

^(x

p^p

⁾

_x

p

=0

∂ Jn

∂ xp

= q · r p = q ·

^np

^(x

^pτ

⁾

p^−np0

n J p = q · µ p · U T ·

^{∂ p}∂ xⁿ

^(x

nⁿ

⁾

xn

=0

∂ Jp

∂ xn

= q · r n = q ·

^pn

^(x

ⁿτ

⁾

n^−pn0

1. DGL Min.-Dichte p-Gebiet:

^∂2_{∂ x}^np

^(x

2^p

⁾

p

=

^np_µ

^(x

_n·U^p

⁾

_T⁻_·τⁿ_p^p0

2. DGL Min.-Dichte n-Gebiet:

^∂2_{∂ x}^pn

^(x

2ⁿ

⁾

n

=

^pn_µ

^(x

_p·Uⁿ

⁾

_T⁻_·τ^p_nⁿ⁰

Lösung der DGLs für die Minoritätendichten:

1. p-Gebiet : n

p

(x

p

) = k

p

· e

^[−]

xp

Ln

+ n

p0

mit L

n

= p

µ

n

· U

T

· τ

p

2. n-Gebiet: ^p

n

(x

p

) = k

n

· e

^[−]

xn

Lp

+ p

n0

mit L

p

= p

µ

p

· U

T

· τ

n

(L

n

Diusionslänge Elektronen im p-Gebiet; L

p

... Löcher im n-Gebiet).

L p , L n Diusionslängen, Wege, bis zur Verringerung der Minoritätsüberschüsse auf das 1/e-fache.

Probe mit der Minioritätendichte im p-Gebiet:

∂ ² k p · e ^[−]

xp Lp

+ n p0

∂ x ² _n = k p · e ^[

⁻

^]

xp Lp

L ² _p

= ! k p · e ^[

⁻

^]

xp Lp

L ² _p + n p0 − n p0 √ . . . e

^−x···n

physikalisch richtig, weil p n (x n ) mit x n abnimmt.

n

p

(x

p

) , p

n

(x

n

) Minoritätendichte im p- bzw- n-Bahngebiet k

p

, k

n

noch zu bestimmende Parameter

τ p , τ n Relaxionszeit im p- bzw- n-Gebiet

µ p , µ p Beweglichkeit im p- bzw- n-Gebiet

L n Diusionslänge Elektronen im p-Gebiet

L p Diusionslänge Löcher im n-Gebiet

Bestimmung k p aus Randbedingung n p (x p = 0) = n p0 · e

UD UT

: n

p0

· e

UD

UT

= k

p

· e

⁻

xp =0 Ln

+ p

n0

k

p

= n

p0

·

e

UD UT

− 1

n

p

(x

p

) = n

p0

·

e

UD UT

− 1

· e

⁻

xp Ln

+ n

p0

Bestimmung k n aus Randbedingung p n (x n = 0) = p n0 · e

UD UT

: p n (x n ) = p n0 ·

e

UD UT

− 1

· e

⁻

xn=0 Lp

+ p n0

Durchlassstrom gleich Summe der Diusionsströme bei x p/n = 0:

J = J

n

+ J

p

= q · µ

n

· U

T

· ∂ n

p

(x

p

)

∂ x

p

xp=0

+ µ

p

· U

T

· ∂ p

n

(x

n

)

∂ x

n

x_n=0

!

=

n

p0

· q · µ

n

· U

T

L

n

+ p

n0

· q · µ

p

· U

T

L

p

·

e

UD UT

− 1

Shockley-Gleichung

Durchlassstromdichte (Shockley-Gleichung):

J

D

= J

s

·

e

UD UT

− 1

(13) mit der Sättigungsstromdichte

J

s

=

n

p0

· q · µ

n

· U

T

L

n

+ p

n0

· q · µ

p

· U

T

L

p

Gleichgewichts-

minoritätendichten n p0 =

_Nⁿ²ⁱ_A

p n0 =

_Nⁿ²ⁱ_D

Diusionslängen: L n = p

U T · µ n · τ p L p = p

U T · µ p · τ n

die wegen U T =

^kB_q^·T

und n ² _i ∼ T ^2..3 · e

^{−15000 KT}

sehr stark von der Temperatur T abhängt:

J s ∼ T ^2,5..3,5 · e

^{−15000 KT}

(U D Spannung in Durchlassrichtung; U T Temperaturspannung; n i instrinsische Ladungsträgerdichte).

Zusammenfassung Durchlassstromdichte

J

D

= J

s

·

e

UD UT

− 1

J

s

= q · U

T

· n

²_i

· 1

N

D

· r µ

p

τ

n

+ 1 N

A

· r µ

n

τ

p

n

²_i

= N

V

· N

L

· e

WV−WL q·UT

Die Faktoren U T und n ²

_i

bewirken, dass die Sättigungsstromdichte J S stark temperaturabhängig ist.

τ p , τ n Relaxionszeit im p- bzw- n-Gebiet µ p , µ p Beweglichkeit im p- bzw- n-Gebiet

N A , N D Akzeptor- und Donatordichte im p- bzw- n-Gebiet U T =

^kB_q^·T

Temperaturspannung

q Elementarladung

n ² _i instrinsische Ladungsträgerdichte

2 Dioden

2.1 Spice-Modell

Einführendes Beispiel

Das mit LT-Spice mitgelieferte Modell der Diode 1N4148 hat im Durchlassbereich folgende Strom- Spannungs-Beziehung:

I D

U D

U D

0

^◦

C

100

^◦

C

Im Sperrbereich ist der simulierte Strom null.

Die Beschreibung dieser Diode lautet:

.model 1N4148 D(Is=2.52n Rs=.568, N=1.752 Cjo=4p M=.4 Iave=200m Tt=20n Vpk=75 mfg=OnSemi type=silicon)

Alle anderen Parameter haben die Standardwerte.

ˆ Was bedeuten diese Parameter?

ˆ Wie bestimmen Sie das Simulationsergebnis?

ˆ Wie gut stimmt das Modellverhalten mit der Wirklichkeit überein?

Das Lernziel in diesem und den nächsten Abschnitten ist das Kennenlernen der Spice-Modelle und Spice- Parameter

ˆ ihren Zusammenhang zu den physikalischen Modellen und

ˆ ihre praktische Bedeutung in Schaltungen.

Spice-Parameter einer Diode

Berkeley-Spice-Modell für Halbleiterdioden, erweitert um eine genauere Modellierung des Durchbruchver- haltens und des Rekombinationsstroms. Letzte Spalte Diode aus dem Beispiel.

Param. Spice Bezeichnung Std-W+ME 1N4148

I

S

Is Sättigungsstrom 10

¹⁴

A 2,52nA

R

S

Rs Bahnwiderstand 0 Ω 0.568 Ω

N Emissionskoezient 1 1,75

Tt Transitzeit 0 ns 20ns

C

S0

Cjo Kapazität für U

D

=0 0 pF 4pF

U

Diff

Vj Diusionsspannung 1 V

M Kapazitätskoezient 1 .4

W

g

Eg Bandabstand 1,11

^∗

eV

( Std-W+ME Standardwert + Maÿeinheit;

^∗

Wert für Silizium)

Param. Spice Bezeichnung Std-W+E 1N4148

X

TI

Xti Is-Temperaturkoe. 3.0

k

F

KF Funkelrauschkoe. 0

A

F

Af Funkelrauschexp. 1

f

S

FC Koe. Bereichswechs. C

S

0.5

BV Durchbruchspannung ∞, V

Ibv Strom bei U

BR

10

⁻¹⁰

A

Tnom Bezugstemperatur 27°C

Isr Rekomb.-Stromparam. 0 A

Nr I

SR

-Emmisionskoe. 2

Ikf Wechsel Hochstromber. ∞ A

Tikf Ikf-Temperaturkoe. 0/°C

Trs1 lin. Rs Temp.-Koe. 0/°C

Trs2 quad. Rs Temp.-Koe. 0/°C

Grenzwerte

Zulässige Maximalwerte zur Kontrolle, dass die Diode im zulässigen Bereich betrieben wird.

Param. Spice Bezeichnung Einheit 1N4148

Vpk Spitzensperrspannung (peak

voltage) ^{V 75 V}

Ipk Spitzenstrom A

Iave mittlerer Strom (average current) A 200 mA

Irms Strom RMS A

diss max. Verlustleistung W

mfg Hersteller onSemi

type Diodenart silicon

Weitere Angaben siehe [scad3.pdf]. Das Beispielmodell verwendet überwiegend die Standardwerte, z.B.

Durchbruchspannung ∞ .

2.2 Durchlassbereich

Strom-Spannungsbeziehung im Durchlassbereich

halblogaritmische Kennlinie f¨ ur

I D > 0 Hoch-

strom- bereich Durchlassbereich

normaler

0,5 V 1,0 V

0 1 nA 10 nA 100 nA 1 µA 10 µA 100 µA 1 mA 10 mA 100 mA

U D

I D

binations-) str¨ ome dominieren Bereich, in dem die Leck- (Rekom-

ˆ Normaler Durchlassbereich: Näherungsweise Gültigkeit der Shockley-Gl. 13.

ˆ Niedrigstrombereich: Hier dominieren die winzigen Rekombinationsströme in der Sperrschicht.

ˆ Hochstrombereich: Halbierter logarithmischer Anstieg.

Annäherung durch parametrierte Gleichungen

ˆ Shockley-Gleichung mit Korrekturfaktor N für den log. Anstieg (normaler Durchlassbereich):

I

DD

= Is ·

e

UD N·UT

− 1

(14)

ˆ Der zusätzliche Rekombinationsstrom in der Sperrschicht:

I

DR

= Isr ·

e

UD Nr·UT

− 1

ˆ Halbierung des logarithmischen Anstiegs im Hochstrombereich:

I

DDH

= I

DD

q 1 +

^I_Ikf^DD

≈

( I

DD

I

DD

Ikf

√ I

DD

· Ikf I

DD

Ikf

(I DD Diusionsstrom nach Gl. 14; I KF Strom für den Übergang zum Hochstrombereich).

Zusätzliche Berücksichtigung der Bahnwiderstände

Rs Rs R

S1

R

S2

R

S3

p

K A

n

⁺

n

⁻

U

_D^′

U

D

I

D

Bahnwiderstand Rs:

ˆ typ. 10 mΩ (Leistungsdioden) bis 10Ω (Kleinsignaldio- den).

ˆ Modellierung durch einen zusätzlichen Spannungsabfall:

U D = U _D

⁰

+ Rs · I D

(U _D

⁰

Spannungsabfall pn-Übergang; n

⁻

niedrig dotiertes n-Gebiet; n ⁺ hoch dotiertes n-Gebiet).

Temperaturverhalten

In der angepassten Shockley-Gl. 13

I

D

(U

D

, T ) = I

S

(T ) ·

e

UD N·UT (T)

− 1

sind die Temperaturspannung (eingeführt auf S. 2) U

T

(T ) = k

B

· T

q = 86, 142 µV K · T und nach Gl. 13 und 4 die Sättigungsstromdichte

I

S

∼ n

²_i

(T ) = N

V

· N

L

· e

WL−WV q·UT

(k Boltzmannkonstante, q Elementarladung) und darin wieder N V und N L stark temperaturabhängig.

Empirisches Modell:

I

S

(U

D

, T ) = Is (Tnom) e (

_Tnom^{T −1}

)

^·_{N·UT (}^Eg_T)

· T

Tnom

^Xti_N

(Is Sättigungsstrom; Eg Bandabstand; Tnom Bezugstemperatur, Xti Temperaturkoezient von

Is).

Temperaturverhalten für Überschläge Relative Stromzunahme mit der Temperatur:

1 I

D

· d I

D

d T

U_D=const.

≈ 0,04 . . . 0,08 K

⁻¹

(15)

ˆ Bei einer Temperaturerhöhung von ≈ 11 K verdoppelt sich der Strom bei gleicher Spannung.

Spannungsabnahme bei konstantem Strom:

d U

D

d T

I_D=const.

≈ −1,7 mV/K

ˆ Bei einer Temperaturerhöhung von ≈ 60 K verringert sich die Durchlassspannung bei gleichem Strom um 100 mV.

Bei höherem Leistungsumsatz sind Halbleitertemperaturen von 50...100°C normal.

Parameterbeispiele

Die nachfolgenden Werte sind aus [1] und nicht von den Modellen aus dem Simulator.

Param. Bezeichnung 1N4148 1N4001

Is Sättigungsstrom 2,68 nA 14,1 nA

N Emissionskoezient 1,84 1,99

Isr Rekomb.-Stromparam. 1,57 fA 0

Nr Isr-Emissionskoezient 2 2

Ikf Wechsel Hochstromber. 0,041 A 94,8 A

Rs Bahnwiderstand 0,6 Ω 0,034 Ω

Der Temperaturkoezient Xti von I S , der Temperaturkoezient Tikf des Hochstromübergangs und die Temperaturkoezienten Trs1 und Trs2 des Bahnwiderstands haben die Standardwerte.

Simulation mit zwei Modellen desselben Bauteils

Für die Diode 1N4148, die auch im Praktikum eingesetzt wird, hat der Simulator andere Parameter, als in [1] angegeben sind.

Das Modell des Simulators _LT und das Modell _TS aus [1] verhalten sich auch unterschiedlich.

Fertigungsstreuungen? Schaltungen so entwerfen, dass die Unterschiede nicht stören.

2.3 Sperr- und Durchbruchbereich

Sperrstrom

Der Sperrstrom ist ein Generierungsstrom, der proportional zur Sperrschichtbreite zunimmt. Für einen abrupten Übergang Zunahme mit der Wurzel der Sperrspannung U S = − U D :

I

S

∼ p Vj + U

S

(vergl. Gl. 12). Empirische Spice-Annäherung:

I

S

= −Isr ·

1 + U

S

Vj

2

+ 0, 005

!

^M₂

(16)

Param. Bezeichnung 1N4148 1N4001

Isr Rekomb.-Stromparam. 1,57 fA 0

Vj Diusionsspannung 0,5 V 0,325 V

M Kapazitätskoezient 0,333 0,44

(Lawinen-) Durchbruch

I D

I D

U D ≤ BV (typ. -10 bis -100 V) Gebiet

p-

Gebiet n- U D

BV

Modellierung als exponentielle Stromzunahme mit zunehmender Sperrspannung − U D abzüglich der Durch- bruchspannung BV :

I BR = Ibv · e

US−BV

UT

(17)

Param. Bezeichnung 1N4148 1N4001

BV Durchbruchspannung 100 V 75 V

Ibv Strom bei BV 100 µA 10 µA

Für den Sperrbereich vervollständigtes Modell mit den Parametern aus [1]:

.model 1N4148_TS D(Is=2.68n Rs=.6, N=1.84 Isr=1.57f

Ikf=41m Vj=0.5 M=0.333 BV=100 Ibv=100µ)

2.4 Sperrschicht- und Diusionskapazität

Sperrschichtkapazität

Die Sperrschichtkapazität leitet sich aus dem Modell des Plattenkondensators ab:

C = ε · A w

Der Abstand ist die Sperrschichtbreite w. Für den abrupten pn-Übergang gilt nach Gl. 11:

w = s

2 · ε · (U

Diff

+ U

S

)

q ·

1 N

A

+ 1 N

D

Das angelehnte Spice-Modell versteckt die Parameter ε, A, q, N A und N D in der Kapazität Cjo für U S =0:

C

S

= Cjo · 1

1 +

^U_Vj^S

M

(18)

Der Kapazitätskoezient M hängt vom Dotierverlauf ab. In Gl. 11 für den abrupten Übergang Quadratwurzel ( M=0,5).

Bei zur Sperrschicht abnehmender Dotierung und instrischer Zwischenschicht ist M<0,5 . Gl. 18 gilt auch im schwach durchlässigen Bereich bis U S > − FC · Vj.

FC · Vj

Vj 0 U s

lineare Verl¨ angerung C s ∼ ( ^{1+ 1}

^UsVj

)

^M

Für gröÿere Durchlassspannungen U S = − U S > − FC · Vj

lineare Annäherung:

C

S

= Cjo ·



 

 

1

1+^U_Vj^SM

für U

S

> −FC · Vj

1−FC·(1−M)−^M·U_Vj^S

(1−FC)^(1+M)

für U

S

≤ −FC · Vj

(19)

Param. Spice Bezeichnung 1N4148 1N4001

C

S0

Cjo Kapazität für U

D

=0 4 pF 25,9 pF

U

Diff

Vj Diusionsspannung 0,5 V 0,325 V

M Kapazitätskoezient 0,333 0,44

FC Koe. Bereichswechsel C

S

0,5 0,5

1N4148 Kleinsignaldiode; 1N4001 Gleichrichterdiode aus [1].

Diusionskapazität

Im Durchlassbereich bendet sich in der Verarmungszone eine vom Strom abhängige Diusionsladung:

Q D = Tt · I DD mit I DD ≈ I S ·

e

UD N·UT

(I DD Diusionsstrom nach Gl. 14; τ T Transitzeit). Die Diusionskapazität beschreibt die Änderung der Diusionsladung mit der Diodenspannung U D :

C D = d Q D

d U D ≈ Tt · I D

N · U T

Parameter Bezeichnung 1N4148 1N4001

Tt Transitzeit 11,5 5700 ns

N Emissionskoezient 1,84 1,99

Formen Sie selbst um

Q

D

= Tt · I

DD

mit I

DD

= I

S

·

e

UD N·UT

1. Wie groÿ ist die Diusionskapazität in Abhängigkeit von der Durchlassspannung:

C D = d Q D

d U D = . . . .

2. Wie groÿ ist die Durchlassspannung in Abhängigkeit vom Durchlassstrom I DD : U D = . . . .

3. Wie groÿ ist die Diusionskapazität in Abhängigkeit vom Durchlassstrom:

C D = . . . .

Zur Kontrolle

Q

D

= Tt · I

DD

mit I

DD

= I

S

·

e

UD N·UT

1. Diusionskapazität in Abhängigkeit von der Durchlassspannung:

C D = d Q D

d U D

= Tt N · U T · I S ·

e

UD N·UT

2. Durchlassspannung in Abhängigkeit vom Durchlassstrom I DD : U D = N · U T · ln

I DD

I S

3. Diusionskapazität in Abhängigkeit vom Durchlassstrom:

C D = Tt N · U T · I DD

Simulierte Kapazitäten der Diode 1N4148

ˆ Kapazität: AC-Strom/(2π · AC-Spannung)

ˆ Nur Sperrschichtkapazität: Simulation mit Transitzeit TT=0

ˆ Nur Diusionskapazität: Simulation mit Cjo=0.

In späteren Überschlägen:

C ≈ (

Cjo Cjo >

_N·U^Tt

T

· I

DD Tt

N·U_T

· I

DD

sonst

Schaltverhalten mit Diusionskapazität

2 Entladung der Diffusions- 1 Entladen der Sperrschicht kapazit¨ at

u e

i D

u D

500 R

15 mA 10 mA 5 mA 0 -5 mA -10 mA

1 2

t t

i D

u D

-5 V U F 0

-5 V 5 V 0

t Messschaltung:

u e

Die proportionale Zunahme der Diusionskapazität mit dem Strom verursacht den im Bild dargestellten nahezu konstanten Strom während der Entladung der Diusionskapazität.

Kontrolle mittels Simulation

11 ns i D

i D

Ausschaltverz¨ogerung durch die Diffusionskap.

u e

u e

ˆ Beim Einschalten Signalverlauf ähnlich wie geschaltetes RC-Glied.

ˆ Beim Ausschalten benötigt die Diode zusätzlich TT=11 ns zum entladen der Diusionskapazität (Stromschleife).

2.5 Kleinsignalmodell

Kleinsignalmodell, Ersatzwiderstände

r BR

I BR C S r DD r DR

U D

U D.A

I D.A

0 0 I D

I DD I DR

R S

C D

R S

i D = − i S

C S.A C D.A

u D

− u S

Kleinsignal- (AC-) Modell im Arbeitspunkt U D = U D.A

Großsignalmodell

Anode

Kathode Anode

Kathode

D ^I

^DD

^{≈ Is · e}

^{(2·)U∗DN·UT}

^{− 1}

r_DD¹

=

^{d I}_{d U}^DD

D

U_D.A

r

DD

=

^(2·)_I^∗N·UT

DD.A

BR ^I

BR

= Ibv · e

US−BV

UT 1

r_BR

=

^{d I}_{d U}^BR

S

US.A

r

BR

=

_I^UT

BR.A

D Durchlassbereich; (2·)

^∗

Widerstandserhöhung im Hochstrombereich; BR Durchbruchbereich; I

DR

, r

DR

Rekombinationsstrom und zugehöriger Kleinsignalwiderstand (Berechnung analog zu r

DD

); C

S.A

, C

D.A

Sperrschicht

und Diusionskapazität im Arbeitspunkt.

Formen Sie selbst um

Rekombinationsstrom in der Sperrschicht:

I

DR

= Isr ·

e

UD Nr·UT

− 1

Kleinsignal- (AC-) Leitwertanteil:

1 r DR

= d I DR

d U D

_U

D.A

= . . . . Kleinsignal- (AC-) Ersatzwiderstand:

r DR = . . . . Ersatzwiderstand der Diode 1N4148

I

D

= − I

S

r

D

=

^U_I^T

S

r

D

=

^N_I^·U_D^T

ˆ Im Sperrbereich bei I D ≈ 0 ist der Ersatzwiderstand ≈ 17 MΩ.

ˆ Die Kapazität in Abhängigkeit von der Spannung über der Diode zeigt Seite 22.

3 Spezielle Dioden

3.1 Schottky-Diode

Schottky-Diode

Si

K n

Metall

K A

A

n

⁻

n ⁺

Al SiO 2

Al

ˆ Eine Schottky-Diode ist ein Metall-Halbleiter- Übergang, z.B. Aluminium zu einem niedrig dotierten n-Gebiet.

ˆ Dasselbe Grundmodell wie eine pn-Diode mit

ˆ geringerer Flussspannungen,

ˆ ohne Diussionskapazität und damit kürzerer Ausschaltverzögerung.

Physik an Metall-Halbleiter-Kontakten

Metall Halbleiter Energieabgabe Diffusion +

Metall

W F

ζ − W F

Halbleiter

W L

ζ

W V

U D

w n x

Bei Verbindung eines Metalls mit einer Fermi-Energie W F mit einem n-dotierten Halbleiter mit einem chemischen Potential ζ > W F

ˆ verbiegt sich das Leitungsband des Halbleiters nach oben,

ˆ die Leitungsbandelektronen diundieren in das Metall und geben Energie ab.

E x

x

U D

Raumladung

Feldst¨ arke Metall Halbleiter

Energieabgabe Diffusion +

w n x

w n

ρ

ˆ Die Elektronen aus dem Halbleiter sammeln sich an der Metalloberäche und hinterlassen über eine Breite w n ortsfeste Donatorionen im Halbleiter.

ˆ Eine positive Spannung U D drängt Elektronen in die Verarmungszohne. Die Potentialbarriere ζ − W F

wird kleiner. Wie bei pn-Übergang exponentieller Stromanstieg mit der Spannung.

ˆ Eine negative Spannung U D erhöht die Potentialbarriere und die Sperrschichtbreite. Es ieÿt ein geringer Sperrstrom.

E x

x

U D

Raumladung

Feldst¨ arke Metall Halbleiter

Energieabgabe Diffusion +

w n x

w n

ρ

ˆ Bei zu hohen Sperrspannungen Durchbruch.

Im Vergleich zu pn-Übergängen:

ˆ kleinere Flusspannungen.

ˆ wesentlich kürzere Ausschaltzeiten

³

.

Verhaltensmodell

Gleiches Spice-Grundmodell wie pn-Übergang:

Spice Bezeichnung 1N4148 BAS40 BAT43

Is Sättigungsstrom 2,68 nA 0

^∗

481 µA

Rs Bahnwiderstand 0,6 Ω 0,1 Ω 40 m Ω

N Emissionskoezient 1,84 1 5

Tt Transitzeit 11,5 ns 0,025 ns 0

Cjo Kapazität für U

D

= 0 4 4 14 pF

M Kapazitätskoezient 0,333 0,333 0,5

(1N4148 Kleinsignaldiode; BAS40, BAT43 Schottky-Dioden). Schottky-Dioden haben nur

ˆ etwa die halbe Flussspannung, simuliert durch kleinere Sättigungsströme und

ˆ kurze Ausschaltzeiten, modelliert durch kleine Transitzeiten.

(

^∗

Modellierung durch die Rekombinationsstromparameter Isr und Nr.)

3

Die Minoritätsladungsträger tragen nicht zum Ladungstransport bei. Die Majoritätsladungsträger folgen dem Feld sehr

schnell.

Spice Bezeichnung 1N4148 BAS40 BAT43

Vj Diusionsspannung 0,5 V 0,5 V 0,385 V

FC Koe. Bereichswechsel C

S

0,5 0,5 0,5

BV Durchbruchspannung 100 V 40 V ∞

Ibv Strom bei U

BR

100 µA 10 µA 10

⁻¹⁰

A

Isr Rekomb.-Stromparam. 1,57 fA 254 fA 10

⁻²¹

A

Nr I

SR

-Emmisionskoe. 2 2 4,995

Ikf Wechsel Hochstr. 41 mA 10 mA ∞

Für die Dioden 1N4148 und BAS40 sind die Parameter aus [1] übernommen. Für die Dioden BAT43 wurde folgendes Modell aus dem Internet verwendet [http://www.ee.siue.edu/...]:

.MODEL BAT43 D( IS=480.77E-6 N=4.9950 RS=40.150E-3 + IKF=20.507 EG=.69 XTI=2 CJO=13.698E-12 M=.50005 + VJ=.38464 ISR=10.010E-21 FC=0.5 NR=4.9950 TT=0) Simulation des Schaltverhaltens

Schottky-Dioden haben nicht die charakteristische lange Ausschaltverzögerung von pn-Übergängen.

Spannungsverlauf über der geschalteten Diode

Die Simulationsergebnisse sind nicht vollständig plausibel. Die BAS40 hat eine Flussspannung gröÿer 1 V (sollte nicht mehr als 0,5 V sein) und bei der BAT43 ieÿt laut Simulation ein Sperrstrom von 0,5 mA (sollte null sein). Nicht jedes Bauteilmodell, das man irgendwo ndet, liefert glaubhafte Werte.

Nachmessen!

Brückengleichrichter mit Schottky-Dioden

U a

U e

2 · U F

U a

I a

I e

U e

I e

I a

D3 D1

D2 D4

Mit dem vereinfachten Verhaltensmodell für Dioden aus Elektronik 1 und der Spannung als Ein- und Ausgabegröÿe:

U

a

≈

( 0 sonst

|U

e

| − 2 · U

F

|U

e

| > 2 · U

F

(U F Flussspannung). Mit Strom als Ein- und Ausgabe:

I

a

= |I

e

| Exakte Betragsbildung, Einsatz als Messgleichrichter.

Simulation der Übertragungsfunktion

Über den Schottky-Dioden (BAT43) fällt weniger Spannung ab.

Zeitverhalten mit Schottky- und pn-Dioden

Bei hohen Frequenzen (hier 2 MHz) ieÿt durch die pn-Dioden nach jedem Polaritätswechsel aufgrund der Diusionskapazität ein Strom in Sperrrichtung, bei Schottky-Dioden nicht.

Brückengleichrichter mit Glättungskondensator

3.2 Z-Dioden

Z-Dioden

Dioden mit niedrigen Durchbruchspannungen zum Betrieb im Durchbruchbereich.

I BR

r BR

U BR (I BR ) im Arbeistpunkt

Ersatzschaltung linearisierte Z-Diode

I BR

U BR

Die Durchbruchstom und-spannung im Durchbruchbereich: Kleinsignalersatzwiderstand:

I

BR

= Ibv · e

UBR−Rs·IBR−BV UT

U

BR

= BV + Rs · I

BR

+ U

T

· ln I

BR

Ibv

Kleinsignalersatzwiderstand:

r

BR

= U

T

I

BR

+ Rs

Spannungsstabilisierung mit einer Z-Diode

U ref

U ref

U ref

U V

R I L

R Ers

U Ers

I L

U V

R r BR

U BR

Schaltung lin. Ersatzschaltung vereinfacht I L

I BR

U

Ers

= U

BR

+ r

BR

R + r

BR

· (U

V

− U

BR

)

r

Ers

= R k r

BR

= R k U

T

I

BR

+ Rs

ˆ Hohe Konstanz der Ausgangsspannung verlangt kleinen r BR .

ˆ Kleiner r BR verlangt einen Durchbruchstrom I BR

^URs^T

.

Rauschen der stabilisierten Spannung

u reff.Rs

u reff.R

R

r BR i reff.sd

I BR

Rs

u reff.a

Eektivwerte der Rauschquellen:

ˆ Wärmerauschen von Rs : u

reff.Rs

= p

2 · k

B

· T · Rs · ∆f

ˆ Stromrauschen der Z-Diode:

i

reff.sd

= p

2 · q · I

BR

· ∆f

ˆ äquivalentes Spannungsrauschen dazu:

u

reff.sd

= r

BR

· i

reff.sd

= U

T

I

BR

· p

2 · q · I

BR

· ∆f = k

B

· T · √ 2 · ∆f

√ q · I

BR

ˆ Äquivalente Rauschspannung am Ausgang für R r BR : u

reff.a

= u

²reff.Rs

+ (r

BR

· i

reff.sd

)

²

= s

2 · k

B

· T · Rs · ∆f + (k

B

· T )

²

· 2 · q · ∆f q · I

BR

Auch gegen Rauschen hilft ausreichender Durchbruchstrom I BR . Durchbruchspannung abhängig von Temperatur

α Z in %/K

-0,05 0,05

0 2 5 10 20 50 100 U BR in V

U

BR

= U

BR

(T

0

) · (1 + α

Z

· (T − T

0

))

U BR Durchbruchspannung; T 0 Bezugstemperatur; α Z Temperaturkoezient, für U BR < 5 V negativ, sonst positiv. Die Flussspannung von pn-Übergängen hat einen negativen betragsmäÿig viel gröÿeren Temperaturkoezient:

d U

D

d T

I_D= const.

≈ −1,7 mV/K α

Z

= d U

D

U

D

· d T ≈ −0,25%/K

Minderung der Temperaturabhängigkeit

Der OV hält den Strom durch D1 und D2 konstant und bildet U

a

= (U

BR.D1

+ U

F.D2

) ·

1 + R

1

R

2

U BR.D1 nimmt mit der Temperatur T zu und U F.D2 mit T ab.