4. Die elementaren Z¨ ahlfunktionen

4. Die elementaren Z¨ ahlfunktionen

4.1 Untermengen

Definition 165 (Binomialkoeffizienten)

n 0

:= 1 ∀n∈N0

n k

:= 0 n < k, n∈N0, k∈N

n k

:=

n−1 k

+

n−1 k−1

sonst n, k∈N

Diskrete Strukturen 4.1 Untermengen 260/571

c

Ernst W. Mayr

Satz 166

SeiN eine Menge mit|N|=nElementen. Die Menge aller k-elementigen Untermengen vonN wird bezeichnet mit

N k

.

Es gilt:

N k

= |N|

k

= n

k

.

Diskrete Strukturen 4.1 Untermengen 261/571

c

Ernst W. Mayr

Beweis:

Seienn, k≥0,a∈N.

1

n 0

und k > nsind klar.

2 Definiere

Sa:=

A∈

N k

; a∈A

, S˜_a:=

A∈

N k

; a /∈A

.

Diskrete Strukturen 4.1 Untermengen 262/571

c

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Beweis (Forts.):

3 Damit gilt

S_a∪S˜_a=

N

k

, S_a∩S˜_a=∅.

|S_a|=

N\ {a}

k−1

=

n−1

k−1

(per Induktion)

|S˜a|=

N\ {a}

k

=

n−1

k

(per Induktion) Daraus folgt

n

k

=

n−1

k−1

+

n−1

k

.

Diskrete Strukturen 4.1 Untermengen 263/571

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Zwischenbemerkung zur Nomenklatur:

(a+b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k= (a+b)·(a+b)· · ·(a+b)

Diskrete Strukturen 4.1 Untermengen 264/571

c

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4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 4.2.1 Ungeordnete Partitionen

1. Mengenpartitionen

SeiN eine Menge der Kardinalit¨at nund sei k∈N0. Eine Zerlegung vonN in k nichtleere, paarweise disjunkte Teilmengen heißt einek-Partitionvon N. Die einzelnen Teilmengen heißen auchKlassen. Ihre Anzahl wird mit

S_n,k bezeichnet (die sog.Stirling-Zahlen der 2. Art).

Diskrete Strukturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 265/571

c

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Beispiel 167

N ={1,2,3,4,5}, k= 2

{1} ∪ {2,3,4,5} {1,2} ∪ {3,4,5}

{2} ∪ {1,3,4,5} {1,3} ∪ {2,4,5}

{3} ∪ {1,2,4,5} {1,4} ∪ {2,3,5}

{4} ∪ {1,2,3,5} {1,5} ∪ {2,3,4}

{5} ∪ {1,2,3,4} {2,3} ∪ {1,4,5}

{2,4} ∪ {1,3,5}

{2,5} ∪ {1,3,4}

{3,4} ∪ {1,2,5}

{3,5} ∪ {1,2,4}

{4,5} ∪ {1,2,3}

⇒S5,2= 15.

Weiter gilt:Sn,1= 1, Sn,2=Ubung, S¨ n,n= 1.

Diskrete Strukturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 266/571

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2. Zahlpartitionen Sei

N0 3n=n₁+n₂+. . .+n_k mitn₁, . . . , n_k∈Nund n₁ ≥n₂ ≥. . .≥n_k.

Eine solche Zerlegung heißtk-Partitionder Zahl n.

Die Anzahl allerk-Partitionen von n∈Nwird mit Pn,k

bezeichnet.

Diskrete Strukturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 267/571

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Beispiel 168

8 = 5 + 1 + 1 + 1

= 4 + 2 + 1 + 1

= 3 + 3 + 1 + 1

= 3 + 2 + 2 + 1

= 2 + 2 + 2 + 2

⇒P8,4= 5

Diskrete Strukturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 268/571

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4.2.2 Geordnete Partitionen 1. Mengenpartitionen

SeienN, n, k wie vorher. Eine (beliebig) geordnetek-Menge ⊆N heißt k-Permutation ausN. Ihre Anzahl ist

n·(n−1)· · ·(n−k+ 1) =n^k (”n hochkfallend“,

”fallende Fakult¨at“).

Analog:

n^k:=n·(n+ 1)· · ·(n+k−1)

Diskrete Strukturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 269/571

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Uberlegung: Jede¨ k-Menge aus N ergibt k!k-Permutationen. Also n

k

·k! =n^k oder:

n k

= n^k

k! = n!

k!·(n−k)! = n

n−k

Einek-Mengenpartition ergibt

k!·S_n,k

geordnetek-Mengenpartitionen (Die Klassen sind (beliebig) untereinander geordnet, aber nichtin sich!).

Diskrete Strukturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 270/571

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2. Zahlpartitionen

Eine geordnete Zahlpartition ist gegeben durch

N3n=n1+n2+. . .+nk; n1, . . . , nk∈N

Betrachte folgende graphische Darstellung:

•| • | • | • · · · • | • | • |•

| {z }

n

W¨ahle aus den n−1 Trennstellenk−1 aus. Jede der ⁿ⁻¹_k−1

Wahlm¨oglichkeiten ergibt eine eindeutig bestimmte geordnetek-Zahlpartition und umgekehrt.

Ihre Anzahl ist also

n−1 k−1

.

Diskrete Strukturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 271/571

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4.3 Multimengen

Beispiel 169

M :={1,2,2,3,5,5,5} |M|= 7

Satz 170

Die Anzahl derk-Multimengen (also Multimengen der Kardinalit¨atk) aus N (|N|=n) ist

n+k−1 k

= n^k

k! = (n+k−1)^k

k! .

Diskrete Strukturen 4.3 Multimengen 272/571

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Beweis:

Sei o.B.d.A.N ={1, . . . , n}. Betrachte eine Multimenge{a₁, a₂, . . . , a_k} der Kardinalit¨at k. Sei o.B.d.A.a1 ≤a2≤ · · · ≤ak. Definiere die Ersetzungf:

a₁ a₁ ≥1

a₂ a₂+ 1 a3 a3+ 2 f : ... 7−→ ...

a_k a_k+k−1 ≤n+k−1

Das Ergebnis unterf ist eine Menge ⊆[n+k−1]. Die Anzahl der M¨oglichkeiten auf der rechten Seite betr¨agt ^n+k−1_k

, und die durchf gegebene Zuordnung ist offensichtlich bijektiv.

Diskrete Strukturen 4.3 Multimengen 273/571

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Andere Beweisvariante:

Beweis:

0◦

1

◦1 2•◦⁰

3

◦2

4• • ◦ · · · ◦¹

n−1•⁰◦

n

Vonn+kKugeln werden kschwarz gef¨arbt; die erste darf nicht schwarz gef¨arbt werden. Also bleibennweiße Kugeln ¨ubrig, darunter die erste.

Jede dieser weißen Kugeln z¨ahlt nun als sooft ausgew¨ahlt, wie unmittelbar rechts davon schwarze Kugeln stehen. Es werden also ausn weißen Kugelnk ausgew¨ahlt (mit Wiederholung).

Diskrete Strukturen 4.3 Multimengen 274/571

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Beispiel 171

Darstellung zu obigem Beispiel:

◦1• ◦

2• • ◦

3• ◦

4◦

5• ••

Zugeh¨orige Multimenge:

{1,2,2,3,5,5,5}

Diskrete Strukturen 4.3 Multimengen 275/571

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4.4 Anzahl von Abbildungen

Betrachte Funktionen vonN (Urbildraum) nachR (Bildraum), |N|=n,|R|=r mit n, r∈N0.

Die Anzahl beliebiger AbbildungenN →R ist rⁿ.

Die Anzahl der injektiven AbbildungenN →R ist rⁿ. Die Anzahl der surjektiven AbbildungenN →R (

”geordnete r-Mengenpartitionen von N“) ist

r!·S_n,r.

Diskrete Strukturen 4.4 Anzahl von Abbildungen 276/571

c

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