Finanzmathematik 08.12.2004
Vortragsthema:
ABSCHREIBUNGEN
Von
Marcel Wils und Robert Magiera
Allgemeine Definitionen von Abschreibungen
Volkswirtschaft: jede Verringerung von Produktionsvermögen
„AfA“s ÆAbsetzung für Abnutzung (korrekter)
Werden für ein ganzes Jahr berechnet = Anteil der Wertminderung von
(Sachanlagevermögen: Gebäude, Einrichtungen, Maschinen…)
Manche (geringwertige) Güter können vollständig in einem Jahr abgeschrieben werden.
Auch immaterielle Güter können abgeschrieben werden (Lizenzen, Patente, Know-How…)
3
Lineare Abschreibung
Anschaffungskosten werden auf die Jahre der Nutzungsdauer verteilt
Jedes Jahr wird die gleiche Summe abgeschrieben
Vollständige Abschreibung
4
Degressive Abschreibung
Abschreibung nach einem bestimmten Prozentsatz
Jedes Jahr wird nach dem Prozentsatz von dem Restbuchwert abgeschrieben
Keine vollständige Abschreibung
möglich
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Arithmetisch-degressive (digitale) Abschreibung
Nach Handelsrecht
Nicht im Steuerrecht zugelassen
Abschreibungsbetrag verringert sich jedes Jahr um einen bestimmten Wert (Degressionsbetrag)
Vollständige Abschreibung
Aufgabe 1
Der Anschaffungswert eines Geschäftsflugzeuges betrage 300.000 DM.
Man rechnet bei einer Nutzungsdauer von 10 Jahren mit einem Wiederverkaufswert bzw. Restbuchwert von 150.000 DM.
Nach wie viel Jahren ist der lineare Abschreibungsbetrag zum ersten mal größer als der
a) degressive
b) digitale?
7
Berechnung zu 1.
geg: B0= 300.000 DM (Kaufsumme)
Bn= 150.000 DM (Restwert nach Nutzungszeit) n = 10 Jahre (Abschreibungsdauer) A = Anschaffungswert
R = Restwert
Ges: lineare Abschreibung ( Abschreibungsbetrag B ) pro Jahr Lsg:
000 . 10 15
000 . 150 000 .
300 − =
=
= − B
n R B A
8
Berechnung zu a) degressive Abschreibung Bk-1 = Buchwert
Ges: p
B p B p B B
B B p
n n n n
n n
⎟=
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⋅
=
−
=
−
0 0
0
1 100 1 100 1 100
% 7 , 6
000 . 300
000 . 1 150 100 10
=
⎟⎟=
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
⋅ p
p
9
Berechnung zu a) degressive Abschreibung
Nach 6 Jahren.
067 , 0 000 . 300
000 . 933 15
, 0
000 . 15 067 , 0 933 , 0 000 . 300
000 . 100 15 1 100
000 . 100 15
1
1 1 0
1
= ⋅
=
⋅
⋅
=
=
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
=
⋅
=
−
−
−
−
k
k k
k k
k k
A
p B p
A B p
A
( )
22 , 5
933 1 , 0 ln
100 . 20 ln 000 . 15 ln
933 , 0 ln
100 . 20 ln 000 . 15 1 ln
100 . 20 ln 000 . 15 ln 933 , 0 ln 1
=
− +
=
= −
−
−
=
−
k k k k
Berechnung zu a) degressive Abschreibung
33 , 210 . 14
067 , 0 933
, 0 000 .
300
6 1=
⋅
⋅
=
−k k
A
A
11
Berechnung zu b) digitale Abschreibung
( )
000 . 15 ) 11 ( 27 , 2727
000 . 15 1 11 10
10
) 000 . 100 000 . 300 ( 2
000 . 15 ) 1 ) (
1 (
) (
2
0=
−
⋅
=
= +
−
⋅ ⋅
−
= ⋅
= +
− + ⋅
−
= ⋅
k A
k A
k n n
n B A B
k k
n k
5 , 5
11 5 , 5
27 11 , 2727
000 . 15
=
−
=
−
=
k
k
k
Nach 6 Jahren.
12
Berechnung zu b) digitale Abschreibung
( )
4 , 636 . 13
1 5 , 5 11 10
10 000 . 2 150
=
+
−
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⋅ ⋅
=
k k
A
A
13
Aufgabe 2
Eine Maschine wird degressiv mit einem Abschreibungssatz von p=30 Abgeschrieben.
Wie hoch ist der Abschreibungsbetrag im 11. Jahr, falls er im 6. Jahr 1.000 DM beträgt?
Geg: p = 30 A6 = 1.000 Ges: A11
Lsg:
01 , 19833 100
30 100 1 30
1000
000 . 100 1
30 100 1 30
100 1 100
100
0 5
5 0
6
1 0
6 5 6
=
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
=
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
⋅
=
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
⋅
=
⋅
=
−
B B A
p B p
A B p A
k
Aufgabe 2
07 , 168
100 7 30
, 0 01 , 833 . 19
100 30 100
1 30
11
10 11
10 0
11
=
⋅
⋅
=
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ −
⋅
=
A A
B
A
15
3. Aufgabe
Der Abschreibungsbetrag einer Maschine sei im 4. Jahr doppelt so hoch Wie im 10. Jahr.
Wie hoch ist der Abschreibungssatz bei geometrisch-degressiver Abschreibung?
Geg: A5 = 2*A10
Ges: degressiver Abschreibungssatz
16
3. Aufgabe
Lsg:
10
5
2 A
A =
1 100 1
1 1 100
1 100 1
1 100 1
100 1 100
100 2 2 100 100
5 4 5
4 5
4
5 4
5 4
4
9 4
⎟⋅
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
−
=
−
=
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
⋅
⋅
=
⋅
p B
B p
p B
B p
p B p
B p
B p B p
17
3. Aufgabe
Für B4 = ½ Æ Maschine zur Hälfte abgeschrieben
Der Abschreibungssatz beträgt 12,94%.
94 , 12 2
1 1 1
100
5=
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝
⎛
−
⋅
= p
Aufgabe 4
Für eine Computer mit einem Anschaffungswert von 30.000 DM, einer Nutzungsdauer von 5 Jahren und einem Restwert von 0,- DM soll ein Abschreibungsplan erstellt werden. Wie gestalten sich die- ser, wenn eine degressive Abschreibung mit Übergang zur linearen im optimalen Zeitpunkt gewählt wird? Der degressive Abschrei- bungssatz beträgt 30%.
19
Aufgabe 4
Geg: B0= 30.000 n = 5 B6= 0 p = 30%
Ges: degressive Ælineare Abschreibung
20
Aufgabe 4
Lösung mittels Tabelle
6. Jahr
04.900 4.900
5. Jahr
9.800 4.900
4. Jahr
14.700 4.900
4.410
3. Jahr
21.000 5.250
6.300
2. Jahr
30.000 6.000
9.000
1. Jahr
Restbuchwert zu Beginn Lineare Abschrei-
vom Restwert DM Degressive
Abschreibung DM
21
Aufgabe 4
Lösung mittels Rechnung:
Bei beiden Lösungsvarianten ist der optimale Übergang im 3. Jahr.
67 , 30 2 1 100 5
1 100 ) 100 1 (
100 ) 1 (
1
100 )
1 (
) (deg )
(
1 1
=
− +
≥
− +
≥
≤
−
−
− ≥
−
⋅
− ≥
−
≥
− −
m n p m
m p n
p m
n
B p m
n B
ressiv A
linear A
m m
m m
