Vorlesung 20
Integration längs eines Weges
Seien Grenzena,b,c,d 2Rabgeschlossener beschränkter IntervalleX DŒa; bund Y DŒc; d mita < b undc < d sowie ein beliebiges IntervallS Rgegeben.
Integral längs eines Weges. Sei WX !Cein Weg undg W ŒX !Cstetig.
1. Man definiert dasIntegral überglängs des Weges durch Z
g.z/ dzD Z b
a
g..t //D.t / dt 2C:
2. Für das Integral überglängs des zu entgegengesetztenWeges gilt Z
g.z/ dz D Z b
a
g. .t //D .t / dt D Z b
a
g..aCb t //D.aCb t / dt D
Z a
b
g.. //D. / d D Z b
a
g.. //D. / d D Z
g.z/ dz:
3. Wird 2 a; bŒ vorgegeben und der Weg in die Wege 1 W Œa; ! C und 2WŒ; b!Cmit1.t /D.t /fürt 2 Œa; sowie2.t / D.t /fürt 2Œ; bzerlegt, dann gilt für denzusammengesetztenWeg D1˚2 stets
Z
g.z/ dzD Z
1
g.z/ dzC Z
2
g.z/ dz:
Integral längs eines uneigentlichen Weges. Das Integral über die stetige Funktion g W ŒS ! C längs eines uneigentlichen Weges W S ! C wird im Falle seiner Konvergenz dementsprechend alsuneigentlichesIntegral definiert.
Integral über Linearkombinationen längs eines Weges. Ist W X ! Cein Weg, dann gilt für alle stetigen Funktioneng,hW ŒX !Cund alle,2 Cstets
Z
g.z/Ch.z/
dz D Z
g.z/ dzC Z
h.z/ dz:
Unabhängigkeit des Integrals längs eines Weges. Sind W X ! C, W Y ! C zwei Wege sowie' W X !Y eine monoton wachsende Funktion mit'ŒX D Y und D ı', welche Stammfunktion einer regulierten Funktion ist, so stimmen die Integrale über die stetige Funktiong W ŒX !Clängs der Wege und überein:
Z
g.z/ dzD Z b
a
g..t //D.t / dt D Z b
a
g. .'.t ///D .'.t //D'.t / dt D
Z '.b/
'.a/
g. . //D . / d D Z d
c
g. . //D . / d D Z
g.z/ dz:
2
Integral längs eines geschlossenen Weges. Sei W X ! CeingeschlossenerWeg.
Wird 2 a; bŒ beliebig gewählt und der Weg in die Wege 1 W Œa; ! C und 2WŒ; b!Cmit1.t /D.t /fürt 2 Œa; sowie2.t / D.t /fürt 2Œ; bzerlegt, dann gilt D 1˚2. Definiert manZ DŒ; Cb aD Œ; b[Œb; bC a, so ist auch derzusammengesetzteWeg D2˚1 WZ !CeingeschlossenerWeg mit dem Bild ŒZD ŒX , und es gilt für alle stetigen FunktionengW ŒX !Cstets
Z
g.z/ dzD Z
2
g.z/ dzC Z
1
g.z/ dzD Z
1
g.z/ dzC Z
2
g.z/ dzD Z
g.z/ dz:
Das Integral längs des geschlossenen Wegeshängt alsonichtvom Anfang von ab.
Mittelwertsatz. Ist WX !Cein Weg undg W ŒX !Cstetig, dann gilt ˇ
ˇ ˇ ˇ Z
g.z/ dz ˇ ˇ ˇ ˇ
Z b
a
jg..t //jjD.t /jdt sup
z2 ŒX
jg.z/j Z b
a
jD.t /jdt:
Vertauschbarkeit von Grenzprozessen. Sei ein Weg WX !Cvorgegeben.
1. Konvergiert die Folge .gn/ stetiger Funktionen gn W ŒX ! C gleichmäßig gegen die Grenzfunktiong W ŒX ! C, so konvergiert die Folge R
gn.z/ dz der Integrale übergngegen das IntegralR
g.z/ dzüberglängs des Weges. 2. Konvergiert die Reihe Pn
kD0gk
mit stetigen Summanden gk W ŒX ! C gleichmäßig gegen die Grenzfunktiong W ŒX ! C, so konvergiert die summan- denweise längs des Weges integrierte Reihe Pn
kD0
R
gk.z/ dz
gegen das Integral R
g.z/ dzüberg längs des Weges, und es gilt
1
X
kD0
Z
gk.z/ dz D Z
1
X
kD0
gk.z/ dz D Z
g.z/ dz:
Integral als Grenzwert von Riemann-Summen. Sei W X ! C ein Weg und g W ŒX ! C eine stetige Funktion. Zu jedem" > 0 existiert einı > 0, so daß für jede endliche Folge
aDt01t1 tk 1 k tk tm 1 mtm Db
von Punkten aus X D Œa; b, welche tk tk 1 ı für alle k 2 f1; : : : ; mg erfül- len, die Differenz desIntegrals längs des Weges und derRiemann-Summe längs des Streckenzuges WX !Centlang der Punkte
.a/D.t0/; : : : ; .tk/; : : : ; .tm/D.b/
aus dem Bild ŒX des Weges folgender Abschätzung genügt:
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Z
g.z/ dz
m
X
kD1
g..k// .tk/ .tk 1/ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
":
