Integration längs eines Weges

(1)

Integration längs eines Weges

Aufgabe 1. Seien Intervallgrenzen a, b 2 R mit a < b des abgeschlossenen be- schränkten IntervallsX D Œa; b Rsowie zwei Stammfunktionen W X ! Rund

˛ W X ! Rregulierter Funktionen gegeben, so daß .t / 0 für jedes t 2 X und eine untere Schranke0 > 0gilt. Sei desweiteren der Weg WX !Cdefiniert durch

.t /D.t /Exp.2i˛.t //D.t /.cos2 ˛.t /;sin2 ˛.t // fürt 2X : 1. Man zeige, daß unter diesen Voraussetzungen stets folgende Beziehung gilt:

Z

d

Dln..b// ln..a//C2i.˛.b/ ˛.a//:

2. Man gebe zugleichnotwendigeundhinreichendeBedingungen anund˛an, unter denen eingeschlossenerWeg ist und berechne für diesen Fall die Windungszahl

ind.;0/2Zvon in bezug auf den Nullpunkt! ±

Lösung. 1. Für den oben definierten Weg gilt nach Produkt- und Kettenregel D.t /DD.t /Exp.2i˛.t //C2iD˛.t /.t /Exp.2i˛.t //

für allet 2X und somit in der Tat Z

d

D

Z b

a

D.t / dt .t / C

Z b

a

2iD˛.t / dt Dln.b/

.a/ C2i.˛.b/ ˛.a//:

2. Der Weg WX !Cist genau danngeschlossen,wenn folgende Bedingung gilt:

.a/Exp.2i˛.a//D.a/D.b/D.b/Exp.2i˛.b//:

Wegen.a/ > 0und.b/ > 0sowiejExp.2i˛.a//j D jExp.2i˛.a//j D1ist diese Beziehung äquivalent zu den beiden Bedingungen

.a/D.b/ und Exp.2i˛.a//DExp.2i˛.b//:

Da die Exponentialfunktion die Periode2i 2Chat, ergeben sich daraus schließlich die zugleichnotwendigenundhinreichendenBedingungen

.a/D.b/ und ˛.b/ ˛.a/2 Z:

3. Nach Schritt 1 gilt in diesem Falle ind.;0/D 1

2i Z

d

D˛.b/ ˛.a/2 Z

für die Windungszahl ind.;0/2Zvon in bezug auf den Nullpunkt.

(2)

Aufgabe 2. Seien dergeschlosseneWeg WŒ0; 2!Centlang der Einheitskreislinie SD˚

z 2 Cj jzj D1 und die stetige Funktiong WS!Cdurch .t /DExp.it /D.cost;sint / fürt 2Œ0; 2 und g./D 1

. 2/ für 2S vorgegeben. Man berechne die Werte

f .z/D 1 2i

Z

g./ d

z fürz 2CnS

der Funktionf WCnS!Cdurch Teilbruchzerlegungen! ± Lösung. 1.1. Im Fallez 2 Cn.S[ f0;2g/genügen die Koeffizientena,b,c 2 C im Teilbruchansatz

g./

z D 1

. 2/. z/ D a C b

2 C c

z für 2S der Gleichung

a. 2/. z/Cb. z/Cc. 2/D1 für 2S:

Durch Koeffizientenvergleich vor Termen gleicher Ordnung inergibt sich aCbCc D0; .zC2/aCzbC2cD0; 2zaD1:

Subtrahiert man das Doppelte der ersten von der zweiten Gleichung, so erhält man zaC.z 2/b D0, woraus wegen der dritten Gleichung

aD 1

2z zunächst bD 1

2.2 z/ sowie c D 1 z.z 2/

und damit für 2Sundz 2 Cn.S[ f0;2g/die Teilbruchzerlegung g./

z D 1

. 2/. z/ D 1

2z C 1

2.2 z/. 2/C 1

z.z 2/. z/ folgt:

1.2. Im Fallez D0werden im entsprechenden Teilbruchansatz g./

z D 1

². 2/ D a C b

² C c

2 für 2S die unbekannten Koeffizientena,b,c 2 Cdurch die Gleichung

a. 2/Cb. 2/Cc²D1 für 2S

bestimmt. Durch Koeffizientenvergleich vor Termen gleicher Ordnung inergibt sich aCc D0; b 2aD0; 2b D1;

alsobD ¹₂,aD ¹₄ undc D ¹₄, das heißt, man erhält fürz D0die Zerlegung g./

z D 1

². 2/ D 1 4

1

2² C 1

4. 2/ für alle 2S:

(3)

1.3. Im Fallez D2ermittelt man im entsprechenden Teilbruchansatz g./

z D 1

. 2/² D a C b

2 C c

. 2/² für 2S die unbekannten Koeffizientena,b,c 2 Cdurch die Gleichung

a. 2/²Cb. 2/Cc D1 für2 S:

Der Koeffizientenvergleich vor Termen gleicher Ordnung inliefert aCb D0; c 4a 2b D0; 4aD1;

alsoaD ¹₄,b D ¹₄ undc D ¹₂, das heißt, es ergibt sich fürz D2die Zerlegung g./

z D 1

. 2/² D 1 4

1

4. 2/ C 1

2. 2/² für alle2 S:

2.1. Für jedes z 2 C mit0 < jzj < 1liefern die Windungszahlen ind.;0/ D 1, ind.;2/D0sowie ind.; z/ D1aufgrund von Schritt 1.1 den Wert

f .z/ D 1 2i

Z

d

2z C 1 2i

Z

d

2.2 z/. 2/ C 1 2i

Z

d z.z 2/. z/

D ind.;0/

2z C ind.;2/

2.2 z/ C ind.; z/

z.z 2/ D 1

2z C 1

z.z 2/ D 1 2.z 2/

der Funktionf WCnS!C. Da wegen Schritt 1.2 fürz D0auch f .0/D 1

2i Z

d 4. 2/

1 2i

Z

d 4

1 2i

Z

d

2² D ind.;2/

4

ind.;0/

4 D 1

4 gilt, erhält man die obige Darstellung vonf für jedesz 2Cmitjzj< 1.

2.2. Für jedesz 2 Cmitjzj > 1,z ¤ 2ergibt sich mit Hilfe der Windungszahlen ind.;0/D1, ind.;2/D0und ind.; z/D0sowie Schritt 1.1 der Wert

f .z/ D 1 2i

Z

d

2z C 1 2i

Z

d

2.2 z/. 2/ C 1 2i

Z

d z.z 2/. z/

D ind.;0/

2z C ind.;2/

2.2 z/ C ind.; z/

z.z 2/ D 1 2z

der Funktionf WCnS!C. Da aufgrund von Schritt 1.3 fürz D2auch f .2/D 1

2i Z

d 4

1 2i

Z

d

4. 2/C 1 2i

Z

d

2. 2/² D ind.;0/

4

ind.;2/

4 D 1 4 gilt, ist die obige Darstellung vonf für jedesz 2Cmitjzj > 1gültig.

(4)

v0

v1

v2

0 0

0

1

2

0 0

Aufgabe 3. Seien die Wegek,k W_2k

3 ;^2.k₃^C^1/

!Cfürk2 f0; 1; 2gdurch k.t /D ²₃cost C ¹₃cos2t;²₃sint ¹₃sin2t

fürt 2 _2k

3 ;^2.k₃^C^1/

; k.t /D ⁴₃cost ¹₃cos4t;⁴₃sint ¹₃sin4t

fürt 2 _2k

3 ;^2.k₃^C^1/

definiert sowie die drei geschlossenen Wege D 0 ˚1 ˚ 2 W Œ0; 2 ! C und D0˚1˚2 WŒ0; 2!Csowie! D0˚1˚2˚0˚1˚2 WŒ0; 4!C durch entsprechende Zusammensetzungen gegeben.

1. Man bestimme die Länge des geschlossenen Weges!!

2. Man berechne die Windungszahl ind.!;0/D 1

2i Z

!

d

D 1

2i Z

d

C 1

2i Z

d 2Z

des Weges!in bezug auf0, indem maneinender folgenden Lösungswege wählt:

2.1. Man berechne die beiden Integrale längs und direkt (und mühsam) mit- tels elementarer Variablentransformationen zur Integration der Verkettung rationaler und trigonometrischer Funktionen!

2.2. Sei dergeschlosseneWeg~ WŒ0; 2!Centlang einer Kreislinie durch

~.t /DExp.it /D.cost;sint / fürt 2Œ0; 2gegeben:

Man finde einegeschlosseneDeformation' WŒ0; 2Œ0; 1!Cvonin~innerhalb vonCn f0gsowie einegeschlosseneDeformation WŒ0; 2Œ0; 1 !Cvon in~ innerhalb von Cn f0g, die eine (elegante) Zurückführung beider Integrale längs und auf Integrale längs~mit Hilfe des Integralsatzes von Cauchy gestattet! ³

(5)

Lösung. 1. Da der Weg ! aus denselben Teilen zusammengesetzt ist wie die Wege und, kann man sich auf die Berechnung der Längen von und konzentrieren:

Für allet 2Œ0; 2gilt

D.t /D ²₃sint ²₃sin2t;²₃cost ²₃cos2t

; D .t /D ⁴₃sint C ⁴₃sin4t;⁴₃cost ⁴₃cos4t und somit

jD.t /j²D ⁴₉ sin²t C2sintsin2tCsin²2tCcos²t 2costcos2t Ccos²2t

; jD .t /j²D ¹⁶₉ sin²t 2sintsin4t Csin²4t Ccos²t 2costcos4t Ccos²4t : Das Additionstheorem1 cos3t D2sin^{2 3}₂t

liefert für allet 2 Œ0; 2demnach jD.t /j D ²₃p

2 2cos3t D ⁴₃ˇ ˇsin³₂tˇ

ˇ; jD .t /j D ⁴₃p

2 2cos3t D ⁸₃ˇ ˇsin³₂tˇ

ˇ: Für die Länge des Weges! ergibt sich somit schließlich

Z 2

0

jD.t /jdtC Z 2

0

jD .t /jdt D4 Z 2

0

ˇˇsin³₂tˇ

ˇdt D12 Z 2=3

0

sin³₂t dt D16:

2.2. Definiert man die stetigen Funktionen', WŒ0; 2Œ0; 1!Cdurch '.t; /D

2C

3 cost C ¹₃ cos2t;²^C₃sint ¹₃ sin2t

fürt 2Œ0; 2, 2 Œ0; 1;

.t; /D

4

3 cost ¹₃ cos4t;⁴₃ sint ¹₃ sin4t

fürt 2Œ0; 2, 2 Œ0; 1;

so sind die Bedingungen'.0; /D'.2; /und .0; /D .2; /für alle 2Œ0; 1

sowie'.t; 0/ D .t / und'.t; 1/ D ~.t / bzw. .t; 0/ D .t /und .t; 1/ D ~.t / für jedest 2 Œ0; 2erfüllt.

Somit ist' W Œ0; 2Œ0; 1! CeinegeschlosseneDeformation von in~ innerhalb vonCn f0g bzw. W Œ0; 2Œ0; 1 !C einegeschlosseneDeformation von in~innerhalb vonCn f0g. Der Integralsatz von Cauchy liefert schließlich den Wert

ind.!;0/D 1 2i

Z

!

d

D 1

2i Z

d C 1

2i Z

d

D 2

2i Z

~

d D 2

2i Z 2

0

D~.t / dt

~.t / D 2 2i

Z 2

0

iExp.it / dt

Exp.it / D 2

2i 2i D2 für die Windungszahl des Weges!in bezug auf den Nullpunkt0.

(6)

Aufgabe 4. Man berechne das Integral Z 1

1

exp. t²/cos2bt dt für jeden Parameterb 2R;

indem man für beliebigesr > 0das IntegralR

Exp. z²/ dzlängs des aus den Teilen 1. /D.r; /; 3. /D. r; b / für 2Œ0; b;

2.t / D. t; b/; 4.t /D.t; 0/ fürt 2Œ r; r;

zusammengesetztenStreckenzuges D 1 ˚2 ˚3 ˚4 W Œ0; 4r C2b ! C entlang eines Rechtecks sowohl direkt als auch mit Hilfe des Integralsatzes von Cauchy bestimmt und beim Grenzübergangr ! 1die Kenntnis des Integrals

Z 1 1

exp. t²/ dt Dp ausnutzt!

Lösung. Seien die reellen Zahlen b 2 R undr > 0 beliebig vorgegeben und durch g.z/DExp. z²/fürz 2Cdie analytische Funktiong WC !Cdefiniert.

1. Für das IntegralR

g.z/ dzlängs desgeschlossenenStreckenzuges ergibt sich

4

X

kD1

Z

_k

g.z/ dz D Z b

0

exp. .r² ²//iExp. 2ir / d Z r

r

exp. .t² b²//Exp.2ibt / dt Z b

0

exp. .r² .b /²//iExp.2ir.b // d C

Z r

r

.exp. t²/; 0/ dt:

2. Da durch'.s; /D.1 /.s/fürs 2 Œ0; 4rC2bund 2Œ0; 1einegeschlossene Deformation' W Œ0; 4r C2bŒ0; 1 ! C des Weges W Œ0; 4r C2b ! C in den Weg W Œ0; 4r C2b ! C innerhalb vonCdefiniert wird, der sich auf einen Punkt .s/ D 0 für s 2 Œ0; 4r C 2b reduziert, liefert der Integralsatz von Cauchy somit R

g.z/ dzDR

g.z/ dz D0. Mit Schritt 1 folgt daraus für das gesuchte Integral Z r

r

exp.b² t²/Exp.2ibt / dt D Z r

r

.exp. t²/; 0/ dt

Cexp. r²/ Z b

0

exp.²/iExp. 2ir / d exp. r²/

Z b

0

exp.s²/iExp.2irs/ ds:

(7)

3. Für die Realteile beider Seiten ergibt sich wegen der Grenzwertbeziehungen

rlim!1exp. r²/ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

Z b

0

exp.²/iExp. 2ir / d ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

lim

r!1exp.b² r²/ Z b

0

d D0;

rlim!1exp. r²/ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

Z b

0

exp.s²/iExp.2irs/ ds ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

lim

r!1exp.b² r²/ Z b

0

d D0 die Relation

rlim!1

Z r

r

exp.b² t²/cos2bt dt D Z 1

1

exp. t²/ dt Dp : Da der Integrand einegeradeFunktion ist, folgt daraus schließlich

Z 1 1

exp. t²/cos2bt dt Dp

exp. b²/

für jedesb2 R.

(8)

Aufgabe 5. Sei dergeschlosseneWeg WŒ0; 2!Centlang einerLemniskatedurch .t /D

sint

1Ccos²t ; sintcost 1Ccos²t

fürt 2Œ0; 2gegeben:

Man berechne die Windungszahlen ind.; z0/2 Z und ind.; z0/ 2 Zdes Weges in bezug auf die Punktez0 D ¹₂; 0

2Cund z0D ¹₂; 0 2 C!

z0

Lösung. 1. Die gesuchten Integrale längs des Weges WŒ0; 2!Cwerden auf Inte- grale längs einesgeschlossenenWeges~ WŒ0; 2!CinCn fz0; z0gzurückgeführt, welcher entlang zweiergeschlossenerKreislinien verläuft: Definiert man

~.t /D.jsintjsint; sintcost / für allet 2Œ0; 2;

dann gilt wegen cos2t D1 2sin²t und sin2t D2sintcost in der Tat die Darstellung

~D~1˚~2, wobei die Wege~1 WŒ0; !Cund~2 WŒ; 2!Cdurch

~1.t /D ¹₂ ¹₂cos2t; ¹₂sin2t

Dz0 1

2Exp.2it / fürt 2Œ0; ;

~2.t /D ¹₂cos2t ¹₂; ¹₂sin2t

D ¹₂Exp. 2it / z0 fürt 2Œ; 2;

gegeben sind. Somit wird die Kreislinie~1umz0 D ¹₂; 0

vom Radiusr D ¹₂ positiv und die Kreislinie~2 um z0 D ¹₂; 0

vom Radiusr D ¹₂ negativdurchlaufen.

2. Definiert man die stetige Funktion' WŒ0; 2Œ0; 1!Cdurch '.t; /D

.1 /sint Cjsintjsint

1C.1 /cos²t ; sintcost 1C.1 /cos²t

fürt 2Œ0; 2, 2Œ0; 1;

dann gelten'.0; / D '.2; /für alle 2 Œ0; 1sowie'.t; 0/ D .t /,'.t; 1/ D ~.t / für jedest 2 Œ0; 2. Somit ist' WŒ0; 2Œ0; 1!CeinegeschlosseneDeformation von in~innerhalb vonCn fz0; z0g. Der Integralsatz von Cauchy liefert

ind.; z0/D 1 2i

Z

d z0

D 1 2i

Z

~1

d z0

D 1

Z

0

Exp.2it /

Exp.2it /dt D1 ind.; z0/D 1

2i Z

d Cz0

D 1 2i

Z

~₂

d Cz0

D 1

Z 2

Exp. 2it /

Exp. 2it /dt D 1 für die Windungszahlen des Weges in bezug aufz02 Cund z0 2C.

(9)

Aufgabe 6. Sei die komplexe ZahlenebeneC D E[S[Aals die Vereinigung des KreisinnerenE D˚

z 2 C j jzj < 1 , der KreislinieS D ˚

z 2C j jzj D1 sowie des KreisäußerenA D ˚

z 2 C j jzj > 1 dargestellt. Seien ferner dergeschlosseneWeg WŒ0; 2!Sund die stetige Funktiong WS!Cdurch

.t /DExp.it /D.cost;sint / fürt 2Œ0; 2 und g./D 1

für2 S vorgegeben. Man berechne die Werte

f .z/D 1 2i

Z

g./ d

z fürz 2E und h.z/D 1 2i

Z

g./ d

z fürz 2A der Funktionenf WE!CundhWA!Cdurch Teilbruchzerlegungen!

2. Sei ein Punkt 2 Œ0; 2 beliebig fixiert und für jedesı 2 0; Œ der geöffnete Wegı WŒı; 2 ı!Sdurch

ı.t /DExp.i.t C // fürt 2Œı; 2 ı:

gegeben. Man zeige, daß im Punkt DExp.i /2Ssämtliche Grenzwerte lim

z!f .z/2 C; lim

z!h.z/2C und s./ Dlim

ı#0

1 2i

Z

_ı

g./ d

2C

existieren und die Beziehungen g./D lim

z!f .z/ lim

z!h.z/ sowie s./ D 1 2

zlim!f .z/C lim

z!h.z/

erfüllt sind!

Lösung. 1. Im Fallez 2Cn.S[ f0g/berechnet man im Teilbruchansatz g./

z D 1

. z/ D a C b

z für 2S

die unbekannten Koeffizienten a, b, c 2 C aus der Gleichung a. z/Cb D 1.

Durch Koeffizientenvergleich vor Termen gleicher Ordnung inergibt sichaCb D0 und az D1, woraus

aD 1

z sowie b D 1 z

und damit für 2Sundz 2 Cn.S[ f0g/die Teilbruchzerlegung g./

z D 1

. z/ D 1

z. z/

1

z folgt:

2.1. Für jedesz 2Aliefern ind.;0/D1und ind.; z/D0somit den Wert h.z/D 1

2i Z

d z. z/

1 2i

Z

d

z D ind.; z/

z

ind.;0/

z D 1

z der FunktionhWA!C.

(10)

2.2. Für jedesz 2En f0gliefern ind.;0/D1und ind.; z/D1ebenso den Wert f .z/D 1

2i Z

d z. z/

1 2i

Z

d

z D ind.; z/

z

ind.;0/

z D0

der Funktionf WE!C. Da fürz D0ebenfalls f .0/D 1

2i Z

d ² D0 gilt, erhält man die obige Darstellung vonf für jedesz 2E.

2.3. Für DExp.i / 2Sfolgt aus Schritt 2.1 und 2.2. die Grenzwertbeziehung

zlim!f .z/ lim

z!h.z/D 1

Dg./

und wegen Schritt 1 außerdem

(1) 1

2i Z

ı

d

. / D 1

2i Z

ı

d

1 2i

Z

ı

d

für jedesı20; Œ:

Für das erste Integral erhält man wegenı 20; Œnach Definition 1

2i Z

_ı

d

D 1

2i

Z 2 ı

ı

Dı.t / dt

ı.t / D 1 2i

Z 2 ı

ı

iExp.i.tC // dt Exp.i.t C // Exp.i / D 1

2

Z 2 ı

ı

Exp.it / dt Exp.it / 1: Aufgrund der Beziehung

1 2

Z 2 ı

ı

Exp.it / dt

Exp.it / 1 D 1 2

Z 2 ı

ı

.cost 1; sint /

.cost 1; sint / .cost;sint / dt .cost 1;sint / D 1

4

Z 2 ı

ı

.1 cost; sint / dt 1 cost D

ı

2 ; 1

4 ln 1 cosı 1 cos.2 ı/

D

ı

2 ; 0

ergibt sich somit im Grenzprozeßı #0für das erste Integral limı#0

1 2i

Z

ı

d

Dlim

ı#0

1 2

Z 2 ı

ı

Exp.it / dt Exp.it / 1 D 1

2 : Da das zweite Integral wegen ind.;0/D1gegen den Grenzwert

limı#0

1 2i

Z

_ı

d

D 1

2i Z

d

D ind.;0/

D 1

konvergiert, folgt daraus die Grenzwertbeziehung

s./Dlim

ı#0

1 2i

Z

_ı

d

. / D 1

2 1

D 1

2 D 1 2

zlim!f .z/Clim

z!h.z/

durch den Grenzprozeßı#0in (1) wegen der Ergebnisse aus Schritt 2.