WS 2014/15 Blatt 2

Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. Barbara R¨ udiger

WS 2014/15 Blatt 2

Ubung I:¨

SeiS={]a, b] :a≤b}

R={Uhn

1A_h:A_h∈S}

Beweisen Sie, dassRein Ring ist.

Ubung II:¨

SeibSd={[a, b] :a≤b}

Beweisen Sie , dassB(R^d) =σ(bSd)

Ubung III:¨

Gegebenx∈R^d

δx(A) =

1 x∈A 0 x /∈A ist dieδ-Verteilung aufB(R^d)

Gegeben sei die Spur-σ-AlgebraB_{x}(R^d) vonB(R^d) auf der Menge{x}.

Beschreiben Sie das W-Maß, δx^∗|B_{x} auf (R^d,B_{x}(R^d)) mit δ^∗_x|_B{x} (A) = δ_x(A) f¨urA∈B_{x}(R^d)

Ubung IV:¨

a) Beweisen Sie, dass jede Gerade Element von B(R²) ist.

b) Beweisen Sie, dass ein Kreis Element vonB(R²) ist.

Ubung V:¨

Beweisen SieB(R^d) =σn(Rd) f¨urd= 1.

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Ubung VI:¨

Beweisen Sie, dass alle offenen und geschlossenen Mengen (in der ¨ublichen Metrik vonR^d) zur Borelschenσ-Algebra geh¨oren.

Ubung VII:¨

Seix_n ∈R,c_n∈R₊ ={x:x >0}n∈N

a) Definieren Siecn so, dassP = Σn cn δx_n eine Verteilung ist.

b) Skizieren Sie zu a) die Verteilungsfunktion vonP.

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