Erhaltung der Masse

Erhaltung der Masse

Die Masse des Systems bleibt bei Bewegung durch das Strömungsfeld konstant

B = mb

, für

b = 1

= 0

⋅

∂ +

= ∂ ∫ _KV ∫ _KF

sys dV v n dA

t dt

dm r r

ρ ρ

integrale Form

differentielle Form über Gaußschen Satz oder am Element

∂t

dt

∆ y

∆ x

∆ z x

y

u v

w

Zeitliche lokale Massenänderung :

∆ x

z

Massenfluss über die Oberfläche des Elements (in x-Richtung) :

( ) u x y z

u   ∆ ∆

  ∂ ∆

− ρ

ρ ( )

z x y

u u   ∆ ∆

  ∂ ∆

+ ρ ρ

∆ y ρ u

( ) x y z x

u u  ∆ ∆



 



 ∆

∂

− ∂

2

ρ ρ ( )

z x y

x

u u  ∆ ∆



 



 ∆

∂ + ∂

2 ρ ρ

∆ x

∆ z

ρ u

Nettomassenfluss in x-Richtung

z y x x

z u x y

x u u

z x y

x

u u ∆ ∆ ∆

∂

= ∂

∆

 ∆



 



 ∆

∂

− ∂

−

∆

 ∆



 



 ∆

∂

+ ∂ ( )

2 ) ( 2

)

( ρ ρ

ρ ρ ρ

In y- und z-Richtung erhält man

z y z x

z w y y x

v ∆ ∆ ∆

∂

∆ ∂

∆

∂ ∆

∂ ( )

) ,

( ρ ρ

z

y ∂

∂

differentielle Form der Kontinuitätsgleichung

bzw.

⇒

mit

lok. konvek.

=

dt = d ρ

∂ t

∂ ρ

w z v y

u x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

+ ∂ ρ ρ ρ

ρ ρ

∇

⋅

∂ +

∂ v t

r

Mit

folgt :

bzw.

+ ∇ ⋅ = + div v = 0

dt v d

dt

d r r r

ρ ρ

ρ ρ

Sonderfälle :

• stat. Strömung

• Inkompressibles Fluid

ρ

= konstant

= 0

⋅

∇ r v r

Erhaltung des Impulses

: Impuls

Anwendung auf ein differentielles Massesystem:

: Auf die Fluidmasse wirkende resultierende Kraft

F r

∫

=

Sys

dm v I r r

: Oberflächen- und Volumenkräfte

konstant

=

∆ m

_sys

dt m v

F d ( ∆ )

=

∆ r r

a dt m

v m d

F r r

r

∆

=

∆

=

∆

F r

∆

Gewichtskraft maßgeblich

in kartesischen Koordinaten:

Volumenkraft :

z bz

y by

x bx

mg F

mg F

mg F

∆

=

∆

∆

=

∆

∆

=

∆

Oberflächenkraft:

Element ↔ Umgebung

∆ A

F

n

∆

F

s

∆ r

beliebige Oberfläche

A F

F

F ⊥ ∆ ∆ _n ⊥ ∆

∆ _{1 2} ,

F

2

∆ ∆ F

¹

Normalspannung:

Schubspannung:

A F

_n

A

n

∆

= ∆

→

∆

lim

0

σ

∆ F

₁

A F A F

A A

∆

= ∆

∆

= ∆

→

∆

→

∆

2 2 0

1 1 0

lim lim τ

τ

die übliche Zeichenkonvektion gilt

y

C

D C ′

D′

σ

xx

τ

xy

σ

xx

^′

τ

xz

^′

x

z A

B

A′

B ′

σ

xx

τ

xz

τ

xy

^′

Bedeutung der Indizes :

S

ij : i Richtung der Normalen der Ebene j Richtung der Spannung

Spannungen auf 3 orthogonalen, durch einen Punkt gehende Ebenen definieren den Spannungszustand eindeutig

Oberflächenkräfte (nicht vollständig):

z y x

y

yx

yx

 ∆ ∆





 

 ∆

∂ + ∂

2

τ τ ^{x y}

z z

zx zx

 ∆ ∆



 



 ∆

∂

− ∂

2 τ τ

y 

 ∂ 2

z x y

x

xx xx

 ∆ ∆



 



 ∆

∂

− ∂

2

σ σ x y z

x

xx xx

 ∆ ∆



 



 ∆

∂ + ∂

2 σ σ

z y x

y

yx

yx

 ∆ ∆





 

 ∆

∂

− ∂

2 τ τ

y z x

z

zx zx

 ∆ ∆



 



 ∆

∂ + ∂

2 τ τ

∆ x

∆ y

∆ z

Summation liefert die Komponenten der resultierenden Oberflächenkraft:

Kräfte in x- / y- / z-Richtung:

z y z x

y

F

_Sx

x

^{xx yx xz}



 ∂ ∂ ∂

∆

∆

 ∆





 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆

τ σ

τ

τ τ σ

k F j

F i

F

F

_{S Sx Sy Sz}

r r r r

∆ +

∆ +

∆

=

∆

z y z x

y F x

z y z x

y F x

yz zz xz

Sz

zy yy

xy Sy

∆

∆

 ∆





 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆

∆

∆

 ∆





 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆

τ σ τ

τ σ

τ

Einsetzen in

mit

a m F r r

∆

=

∆

b

s F

F F

r r

r

∆ +

∆

=

∆

z y x

m = ∆ ∆ ∆

∆ ρ

z w v y

v v x u v t

a v

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

r r

r r r

ergibt

v u i v j w k r r

r r

+ +

=

Differentielle Form der Impulserhaltung

X

Y

w w

w w

z y

g x z

w v y

v v x

u v t

v

z y

g x z

w u y

v u x

u u t

u

zy yy

xy y

yx zx xx

x

∂ ∂

 ∂

 ∂ ∂ ∂ ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

 =



 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

 =



 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

τ σ τ

τ σ

ρ τ ρ

τ τ ρ σ

ρ

z Z

y g x

z w w y

v w x

u w t

w

_{xz yz zz}

z

∂

+ ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

 =





 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ τ τ σ

ρ

ρ

Kinematik des Fluidelements

Aufgabe : Spannungen durch Geschwindigkeitskomponenten ausdrücken Bewegung eines Elements

Änderung seiner Lage und seiner Form

Bestimmung der Verformung mittels der relativen Bewegung zwischen 2 Punkten I und II

⇒

v r

Ortsvektor :

r r

rung gkeitsände

Geschwindi :

v d r O

r d r r r r r +

I

v

II

v d v r r

+

(

t

= konst.)

Um den Zusammenhang mit Translation, Rotation, Dehnung und

z dz dy w

y dx w

x dw w

z dz dy v

y dx v

x dv v

z dz dy u

y dx u

x du u

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

v d r

in Komponentenschreibweise

Um den Zusammenhang mit Translation, Rotation, Dehnung und Scherung zu erkennen, wird umgeschrieben

d v r

dx dy

dz dy

dx dw

dz dx

dz dy

dx dv

dy dz

dz dy

dx du

zx yz

z zy

zx

yz xy

yz y

yx

xy zx

xz xy

x

ω ω

ε ε

ε

ω ω

ε ε

ε

ω ω

ε ε

ε

− +

+ +

=

− +

+ +

=

− +

+ +

=

&

&

&

&

&

&

&

&

&

ε &

i



 

 

 







 

 

 





∂

 ∂



 





∂ + ∂

∂

 ∂



 





∂ + ∂

∂

∂

 

 





∂ + ∂

∂

∂

∂

 ∂



 





∂ + ∂

∂

∂

 

 





∂ + ∂

∂

 ∂





 



∂ + ∂

∂

∂

∂

∂

 =

 





 







=

z w x

w z

v x

w z

u

z v y

w y

v x

v y

u

z u x

w y

u x

v x

u

d

z zy

zx

yz y

yx

xz xy

x ij

2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

1

ε ε

ε

ε ε

ε

ε ε

ε

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

Der Vergleich beider Gleichungssysteme ergibt folgende Definitionen für und bzw.

ε ^&

_ij

ω

_ij





 

 





∂

− ∂

∂

= ∂

 



 



∂

− ∂

∂

= ∂

 

 





∂

− ∂

∂

= ∂

x w z

u

z v y

w

y u x

v

zx yz xy

2 1 2 1 2 1

ω

ω

ω

Bedeutung von

ε & i , ε & ij , ω ij

^?

Unverformtes Element bewegt sich in der Strömung Translation:

dt u

dt v

∆ x

∆ y

Rotation:

dt y y

u ∆

∂

− ∂

γ d

ω

s

dt x x

v ∆

∂

∂ ϕ

d

y dt dt u

x d v

∂

− ∂

∂ =

= ∂ ϕ

ϕ

ϕ d

d ) ≈

tan(

Zeitliche Winkeländerung aus dem arithmetischen Mittel

Drehung um z-Achse

In 3D erhält man :

⇒

⇒

dt d ϕ ϕ & =

xy

z

y

u x

v ω

ω  =



 





∂

− ∂

∂

= ∂ 2 1

yz

x

z

v y

w ω

ω  =



 





∂

− ∂

∂

= ∂ 2 1

: Rotation des unverformten Elements

ω

^r

⇒

⇒ _{- Terme}

ω

ij

zx

y

x

w z

u ω

ω  =



 





∂

− ∂

∂

= ∂ 2 1

k j

i

_{y z}

x

r r r r

ω ω

ω

ω = + +

Dreh- oder Wirbelvektor

Relative Volumenänderung (Volumendilatation)

dt V d V

) (

1 ∆

∆

z dt y x dt

z z z w

dt y y

y v dt

x x x u

V dt

V d

V

1 1

) (

1

 



 

   − ∆ ∆ ∆

 

∂ ∆ + ∂

∆

 ⋅



 



 ∆

∂ + ∂

∆

 ⋅

 

 ∆

∂ + ∂

∆ ∆

∆ =

∆

v div z v

w y

v x

u dt

V d

V

r r r

=

⋅

∇

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆

∆

) (

1

Kontinuitätsgleichung für inkompr. Fluide

Rechteck Scherung

Parallelepiped

β α

γ d d

d = +

z y

x dt

V ∂ ∂ ∂

∆

Verformung des Elements

Dehnung

dt x x

u ∆

∂

∂

dt y y

v ∆

∂

∂

∆y

∆x

Scherung dt

y y u ∆

∂

∂

dt x x

v∆

∂

∂

∂x

β d

α d

Dehnungsgeschwindigkeit entspricht der zeitlichen Dehnungsänderung pro Kantenlänge

entspricht den Hauptdiagonalen der Matrix

d ij

x dt d v

∂

= ∂ α

u dt

d ∂

β =

z w y

v x

u

z y

x

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

= ∂ ε ε

ε ^& , ^& , ^&

y dt d u

∂

= ∂ β

 

 



 



 





dt d dt

d dt

d γ α β

;

:

gesamte Winkeländerung pro Zeit

Schergeschwindigkeit über arithmetische Mittelung

γ ^& ij

 

 





∂ + ∂

∂

= ∂

 



 



∂ + ∂

∂

= ∂

 



 



∂ + ∂

∂

= ∂

z w z

u

y w z

v

x v y

u

zx yz xy

2 1 2 1 2 1

γ γ γ

&

&

&

Vergleiche mit :

d

_ij

− Matrix

Matrix ij −

d

: enthält Dehnung und Scherung Tensor der Deformation

⇒ ε ^& _ij = ˆ γ ^& _ij − Terme

⇒

⇒

Spannungstensor in der Impulserhaltung

τ

ij

τ

ij

d &

_ij

Zusammenhang zwischen und durch Newtonschen Reibungsansatz : Tangentiale Spannung ~ Schergeschwindigkeit

und mittels Isotropie des Elements

v

z

div

y x

& r

&

& ε ε

_und

ε , ,

viskositätsbedingte Normalspannungen

Ansatz:

Ansatz:

v div p

v div p

v div p

z zz

y yy

x xx

& r

& r

& r

λ ε

η σ

λ ε

η σ

λ ε

η σ

+ +

−

=

+ +

−

=

+ +

−

=

2 2 2

zx xz

zx

yz zy

yz

xy yx

xy

γ η τ

τ

γ η τ

τ

γ η τ

τ

&

&

&

2 2 2

=

=

=

=

=

=

Die Normalspannungen werden i. a. umformuliert

: dynamische Viskosität

η

v div v

div p

v div v

div p

v div v

div p

z zz

x xx

y yy

r

& r

r

& r

r

& r

η ε

η σ

η ε

η σ

η ε

η σ

3 ˆ 2 2

3 ˆ 2 2

3 ˆ 2 2

 +



 



 −

+

−

=

 +



 



 −

+

−

=

 +



 



 −

+

−

=

Die Größen

η

und

λ

sind Proportionalitätsfaktoren

: dynamische Viskosität

η λ

η 3

ˆ = + 2

: Volumenviskosität

3 0 ˆ = λ + 2 η = η

Stokes‘sche Hypothese :

inkompressible Strömungen :

div v r = 0

mittlere Normalspannung

σ

:

⇒

η

(

xx yy zz

) ^{p div v}

η r σ

σ σ

σ ^ˆ

3

1 + + = − +

=

Navier- Stokes Gleichungen

Einsetzen der Normal- und Tangentialspannung

⇒



  ∂ ∂ 

 ∂

 ∂ ∂

 ∂

 ∂

∂

∂

 

 





 



 



∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

 

 





 



 



∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

 

 





 



 

 −

∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

 

 



 



 





∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

 

 





 



 



∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

 

 



 



 



 −

∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

x v y

u x

y w z

v v z

y div v y

y g p

dt dv

z u x

w z

x v y

u v y

x div u x

x g p

dt du

y x

η η

η ρ

ρ

η η

η ρ

ρ

r r

3 2 2

3 2 2

 

 





 



 



∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

 

 



 



 





∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

 

 



 



 



 −

∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

= y

w z

v y

z u x

w v x

z div w z

z g p

dt dw

z

η η η

ρ

ρ ^r

3

2 2

Navier- Stokes Gleichungen für ein ink. Fluid inkompressible Strömung,

η

= konst

= 0 v div r

Vereinfachung der 2. Ableitungen

⇒

 





 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

 

 





 



 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

 





 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

z u y

u x

u z

w y

v x

u z x

u y

u x

u η η

η

 





 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

 





 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

 





 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

z w y

w x

w z

g p dt

dw

z v y

v x

v y

g p dt

dv

z u y

u x

u x

g p dt

du

z y x

η ρ

ρ

η ρ

ρ

η ρ

ρ

Energiegleichungen

Q

: Wärme;

E

: Energie;

W

: Arbeit 1. Hauptsatz der Thermodynamik :

Volumenelement :

Wärmeleitung nach Fourier :

dt dW dt

dE dt

dQ = +

V m

z y x V

∆

=

∆

∆

∆

∆

=

∆

ρ

T

dQ ∂

Wärmeleitung nach Fourier :

1

: Wärmeleitfähigkeit

Betrachtung für die Fläche

∆y ∆z

(x-Richtung)

abgegebene Wärme:

aufgenommene Wärme:

n q T

dt dQ

A ∂

− ∂

=

= λ

1 λ

z x y

x T x

x

T  ∆ ∆



 



 ∆

 

 





∂

∂

∂

− ∂

∂

− ∂

λ 2 λ

z x y

x T x

x

T  ∆ ∆



 



 ∆

 

 





∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

λ 2

λ

Nettowärmestrom in x- , y- und z-Richtung

2 x x

xz xz

∆

∂

− ∂ τ τ

2 x x

xy xy

∆

∂ + ∂ τ τ

xx

∆ x

− ∂ σ

σ ^∂ σ ^{∆ x}

∆ y

 



 

 



 





∂

∂

∂ + ∂

 



 



∂

∂

∂ + ∂

 

 





∂

∂

∂

∆ ∂

= z

T z

y T y

x T V x

dt

dQ λ λ λ

2 x x

xx xx

∆

∂

− ∂ σ σ

2 x x

xx xx

∆

∂ + ∂ σ σ

2 x x

xy xy

∆

∂

− ∂ τ τ

2 x x

xz xz

∆

∂ + ∂ τ τ

∆ x

∆ z

x y

z

zeitliche Änderung der Gesamtenergie:

e

: massenbezogene innere Energie Arbeit pro Zeit anhand von

σ

^{xx :}

 

 

+ +

+

∆

= ( )

2

1 _{2 2 2}

w v

dt u d dt

V de dt

dE ρ

 

 



 



 ∆

∂

− ∂

 

 



 ∆

∂

− ∂

−

∆

∆

−

= 2 2

x x

x x u u

zdt y

dW _xx ^xx

xx

σ σ

σ     

 

 



 



 ∆

∂ + ∂

 

 



 ∆

∂ + ∂

+ 2 2

x x

x x

u u _xx σ ^xx

σ

) ( _xx

xx xx

x u Vdt

x x u u x

zdt y

σ σ σ

∂

∆ ∂

−

=

 ∆



 





∂ + ∂

∂

∆ ∂

∆

−

=

analoge Vorgehensweise für den gesamten Spannungstensor :

Mittels Impulserhaltung (z.B. x-Impuls) :

z y

x dt

du

_{xx xy xz}

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ σ τ τ

ρ

( ) ( ) ( ) _



 



 + +

∂ + ∂ +

∂ + + ∂ +

∂ +

∆ ∂

−

=

_{xx xy xz yx yy yz}

u

_zx

v

_zy

w

_zz

w z v

y u w

v x u

dt V

dW σ τ τ τ σ τ τ τ σ

Umformung der -Therme :

dt dW dt

dE

und

z y

x

dt ∂ ∂ ∂

dt V w dw dt

v dv dt

u du dt

de dt

dE   ∆

 

+ +

+

= ρ ρ ρ ρ

K K K

z u u z

y u u y

x u u x

V dt

dW

zx zx

xy xy

xx xx

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∆ =

τ τ τ τ σ σ 1

x w x

v x

u dt

de V

dt dW dt

dE

xz xy

xx

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∆ =

 

 



 + ¹ ρ σ τ τ

z w z

v z

u

y w y

v y

u

x x

x dt

V dt

dt

zz zy

zx

yz yy

yx

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

 ∆



σ τ

τ

τ σ

τ

Einführung der Spannungen ergibt die Energiegleichung

ˆ = 0 für η mit Φ

Φ

 +



 





∂

∂

∂ + ∂

 



 



∂

∂

∂ + ∂

 

 





∂

∂

∂

= ∂

+ λ λ λ η

ρ z

T z

y T y

x T v x

div dt p

de r

2

2 2 2 2

 



 



∂ + ∂

∂ + ∂

 





 





 

 





∂ + ∂

 



 



∂ + ∂

 

 





∂

= ∂

Φ y

u x

v z

w y

v x

u

mechanische Energie thermische Energie

nsfunktion Dissipatio

= Φ

3 0

2

²

2 2

 >





 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

 

 





∂ + ∂

∂ + ∂

 



 



∂ + ∂

∂ + ∂





z w y

v x

u x

w z

u z

v y

w

Energiegleichungen für ideale Gase

kalorische Zustandsgleichungen:

) ( ),

( p f T

e h T f

e = = + =

ρ

dT c T dT

dh h dT

c T dT

de e

_p

p

v

 =



 





∂

= ∂

 =



 





∂

= ∂

ρ 1



 −

−

=

 

 





−

= dT dp pd

c d p

dh

de ρ ¹ ρ

Kontinuitätsgleichung:

v z div

w y

v x

u dt

d r

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

− ρ ρ

1

⇒

⇒

 

 



 −

−

 =

− 

= dt

pd dt

dp dt

c dT dt

dt dh dt

de

p

ρ

ρ ρ

ρ ¹

Φ

 +



 



 



 





∂

∂

∂ + ∂

 



 



∂

∂

∂ + ∂

 

 





∂

∂

∂ + ∂

= λ λ λ η

ρ z

T z

y T y

x T x

dt dp dt

c

_p

dT

Form der Energiegleichung in CFD-Untersuchungen

( )

[ ] [ ^{( )} ] [ ^{( )} ]

[ ]

[ ]

[

xz yz zz z

]

y yz

yy xy

x xz

xy xx

q w

v z u

q w

v y u

q w

v x u

p E z w

p E y v

p E x u

t E

− +

∂ +

∂

+

− +

∂ +

∂

+

− +

∂ +

∂

=

∂ + + ∂

∂ + + ∂

∂ + + ∂

∂

∂

τ τ

τ

τ τ

τ

τ τ

τ

bzw. mit

lauten die räumlichen 1. Ableitungen der linken Seite

2 v

2

h H

r +

=

E v p

e p

H   = +





 



 + +

= 2

r

2

ρ ρ

( ) ( ) ( ^wH )

vH z uH y

x ρ ρ ρ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

Formen der Erhaltungsgleichungen

Vektorschreibweise unter Berücksichtigung des Nabla-Operators Masse:

oder

Impuls: Spannungstensor

τ

0 )

( =

⋅

∇

∂ +

∂ v

t

r r ρ ρ

= 0

⋅

∇

+ v

dt

d r r

ρ ρ



 σ τ τ

 







 







=

z zy

zx

yz y

yx

xz xy

x

σ τ

τ

τ σ

τ

τ τ

σ τ

p p

v div v

div p

zz z

yy y

x xx

x

+

=

+

=

 +



 



 −

= +

=

σ σ

σ σ

η ε

η σ

σ ^{& r ˆ r}

3

2 2

Formen der Navier-Stokes Gleichungen:

oder:

oder:

⇒

v vrr

mit

  

 



=

²

2

vw v

vu

uw uv

u v

v r r

τ ρ

ρ r = r − ∇ r + ∇ r ⋅ p

dt g v d

τ ρ

ρ  = − ∇ + ∇ ⋅



 



 + ⋅ ∇

∂

∂ r r r r r r r p g

v t v

v ( )

τ ρ

ρ

ρ + ∇ ⋅ = − ∇ + ∇ ⋅

∂

∂ r r r r r r r

p g

v v t ( v ) ( )

inkompressibles Fluid mit

η

= konstant:

+ stationär v mit v





 





=

2 2

w wv

wu

vw v

vu v

v r r

v p

dt g v

d r r r r

∇

2

+

∇

−

= ρ η

ρ

( ^{v r ⋅ ∇ r} ) ^{v r = ρ g r − ∇ r p + η ∇}

²

^{v r}

ρ

Energie

: Gesamtenergie

plus Kontinuitätsgleichung











 +

= 2

v 2

e

E

ρ

) (

) ( )

( E v g v q p v v

t

E r r r r r r r r r r

⋅

⋅

∇ +

⋅

∇

−

⋅

∇

−

⋅

=

⋅

∇

∂ +

∂ ρ τ

) ( )

2 (

2

v v

p q

v v g

dt e

d r r r r r r r r r

⋅

⋅

∇ +

⋅

∇

−

⋅

∇

−

⋅

 =













+

ρ τ

ρ

ρ E H p +

=

: Gesamtenthalpie 2

dt 

 





 



 +∇⋅

∂

− ∂

=











 +

⋅

∇ +

⋅

∇

∂ − + ∂

⋅

=

) 1 (

2

) (

2

v t p

p dt

v dH dt e

d

v t q

v p dt g

dH

r r r

r r r r

r r

ρ

τ ρ

ρ