Energie- und Impulserhaltung

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1

08b Schwerpunkt und Impuls

Erste Vorlesung im Neuen Jahr Di 8 Januar 2008

Erste Übung im Neuen Jahr

Mi 16 Januar 2008

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Energie- und Impulserhaltung

Oft gibt es keine Information wie die Kräfte während eines Stoßes variieren (F(t)), d.h. eine Analyse über die Newtonsche Bewegungsgleichung ist nicht machbar. Allerdings kennt man

in der Regel die Anfangs- und Endbedingungen (Energie und Impuls). Wenn während des Stoßes keine Energie in z.B. Wärme umgewandelt wird, dann ist auch die

ist es möglich die totale kinetische Energie erhalten. Dabei ignoriert man in gewisser Weise, dass im Stoß kinetische Energie kurzzeitig in elastische Energie umgewandelt. Wird diese vollständig wieder in kinetische Energie zurückgeführt, dann ist die kinetische Energie vor

dem Stoß identisch mit der nach dem Stoß. Stöße unter solche Bedingungen nennt man

Elastische Stöße

2 2 2

1 2

2 2

1 _1,_i _2,_i _1,_f

v

_2,_f

2 v 1

2 1 m + m = m + m

Erhaltung der

Energie in

elastischen Stößen

Atomare Stöße sind oft elastisch

men Energiefor

andere

, 2 ,

1 ,

2 ,

1_i

+ KE

_i

= KE

_f

+ KE

_f

+

KE

Inelastische Stöße

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3

Golf Swing

Elastizität des Balls

A) weicher Ball

zuviel Energie wird aufgewendet um den Ball plastisch zu verformen B) harter Ball

Kaum Verformung des Materials, d.h.

kaum Speicherung kinetischer Energie in Formenergie.

Maximales Gewicht 45.93 g Minimaler Durchmesser 42,67 mm

USGA - United States Golf Association

Ballhärte wird an die Geschwindigkeit des Schlägers angepasst

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Schlagweite

Aus der Betrachtung der Dynamik von Würfen wissen wir

größte Weite für einen Abschlagwinkel von 45°.

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5

Abschlagwinkel 45°?

Umwelteinflüsse wie

- Windkräfte (Luftwiderstand) - Temperatur (Auftrieb)

- Atmosphäre (Luftdichte) und - Luftfeuchte (Stöße)

können aber bei einer realistischen

Beschreibung der Dynamik nicht

vernachlässigt werden.

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Eigenschaften des Balls

Ebenfalls vernachlässigt wurde die Oberflächenstruktur (dimples) und die Eigendrehung (spin) des Balls.

In der Realität spielen diese Effekte ebenfalls eine Rolle.

Zum Teil hängen die einzelnen Beiträge von einander ab.

(mehr davon zu einem späteren Zeitpunkt)

Eigendrehung des Balls

verändert die Flugbahn

Beschaffung der Oberfläche hat erheblichen Einfluss auf die Flugbahn

Nebenbemerkung:

Auch Elektronen haben einen Spin

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7

Big Bertha Fusion FT-i Inertia Monster

Die Golf Driver FT-i und FT-i Tour stellen einen

Quantensprung in Sachen Driver Bauweise und damit verbundene Leistung dar. Wir haben auf Grundlage unserer patentierten Fusion-Technologie das effektive Gewicht in revolutionär geometrischer Anordnung in die äußersten Ecken des Schlägerkopfes positioniert. Damit haben wir einen Driver geschaffen, der das höchste Trägheitsmoment von ALLEN bis heute auf dem Markt erhältlichen Drivern hat. Diese phänomenale Eigenschaft beugt vernichtenden Resultaten durch schlechte Schläge vor und bietet Golfern zusammen mit dem OptiFit

System- der Voreinstellung für Draw, Neutral oder Fade - hohe Ballgeschwindigkeiten und mächtige Flugkurven.

Die Dicke Berta war eine Kanone zum Beschuss von Festungsanlagen (z.B

Festung Verdun) im Ersten Weltkrieg

Driver Gewicht des Schlägerkopfes

200 g

Zitat aus der Werbebrochüre des Herstellers

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Impulsübertrag beim Golf Swing

1.0 mph=0,447 m/s 1 yard = 914,4 mm

i D

f D f

B

v v CoR = v −

Coefficient of Restitution Stoßzahl

( )

f D i

f D B

i D

f D f

B

v v v

CoR 1

+

=

= −

=

α α

Tiger Woods

Geschwindigkeit des Schlägers 180 mph (~80 m/s)

Weite des Abschlags 300 yards (~274 m)

23 . 200 0

45 =

=

= g g m

m

m m

D B

β

Schläger Stoß dem nach

Schläger Stoß dem Vor Ball

Stoß dem nach

v

v - CoR = v

Diese Zahl ist durch die Regeln festgelegt CoR=0.83 bzwα=1.2

Massenverhältnis

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9

Abschlagsgeschwindigkeit

β β

f D i

f D B

f B f

D i

D

f B B f

D D i

D

m m

m

v v v

v v

v

v v

v

= −

+

=

+

=

( ) ( ) ( )

J 596 J

277 J

319 KE

J 640 KE

s 52.6 m kg

2 0.2 1 s

119 m kg

5 04 . 2 0 1 s

80 m kg 2 0.2

1 2 v v 1

2 v 1

2 1

f i

2 2

2

2 2

2

= +

=

⇔

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+

=

_B _B^f _D _D^f

i D

D

m m

m

Impulserhaltung

( ⁴²⁸ ^km/h )

s 119 m s

52.6 m s

80 m 1.2

v

^f_B

= 1 + =

Kinetische Energie

( ¹⁸⁹ ^km/h )

s 52.6 m s

80 m 2 . 1

1 23 . 0

1 23

. 0 1 1 v

1 f

D

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

=

−

f D i

f D

B

v v

v = +

α

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= +

α β β

β β

α

1 1 1 1

v v

1 v 1

1 1 v

v v v

v

i f D

D

i D f

D

f D i

f D D i

D

Geschwindigkeit des Schlägers nach dem Stoß

Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß

Stoß nahezu elastisch

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Raketenantrieb

Systeme mit variierender Masse

M

v

dM M +

v v + d t

dt t +

− dM

Ausstoßrate der Rakete R=-dM/dt

f

i

P

P =

( ) ( )( )

( ) ( )

dt M d dt

dM

Md dM

Md M

d dM

dM d

dM M

d dM

M d

dM M

rel rel rel rel

v v

v - v v

v

=

−

=

−

+ +

−

=

+ +

⋅

−

=

Gesamtimpuls ist erhalten Zu Beginn (t=0) ist v=0 in Bezug

auf ein gewähltes internes Referenzsystem

rel

gas

d

U = v + v - v

Wahl: dM ist negativ

Zweites Newtonsches Gesetz dv/dt ist die Beschleunigung a

Ma R v

_rel

=

Erste

Raketengleichung

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11

Raketenantrieb

Systeme mit variierender Masse

G

M

M +

f i rel

i f

M rel M

rel

M M M d dM

M dM d

dM Md

f

i

f

i

ln v v v

v

v v

=

−

= Δ

−

=

−

=

−

=

∫ ∫

Zweite Raketengleichung Sind mehrstufige Raketen vorteilhaft?

a a b

x b dx

ln ln ln

b

ln

a

= − =

∫

( )

( ) ( )

( )

( ) ⁺ ⁼ ^⎜⎜ _⎝ ^⎛ ⁺ ^⎟⎟ _⎠ ^⎞

= Δ

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + =

+ = +

= + Δ

+ +

= + Δ

M G rel

M f G i M

rel

M G rel

M f G i M

rel M f

M

G i M

M rel

G f M

M

G i M

G M

rel

m m m

m m

m m m

m m

m M

m m

M

m m

M

m m

M M

1 ln v ln

v v(IIb)

1 2 ln 2 v

ln 2 v ln

v v(IIa)

ln v v(I)

G

M

m

m +

Einstufige Rakete

Zweistufige Rakete

G

M

_,

G

M

m

_,

!

Reise wird fortgesetzt, ohne dass die abgebrannte Stufe getrennt wird

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Mysterien der Teilchenphysik

Bei der Umwandlung eines Neutrons (neutraler Bestandteil des Atomkerns) in ein Proton wird ein Elektron ausgesendet

Experimentelle Beobachtung Energie und Impulssatz scheinen

verletzt zu sein. Die Energie des Elektrons (Betateilchen) ist nicht scharf definiert, sondern kann nahezu

beliebige Werte annehmen

Die elektrische Ladung scheint in diesem Prozess erhalten und ich verstehe nicht, warum die Ladungserhaltung fundamentaler sein sollte als die

Erhaltung von Energie und Impuls (Wolfgang Pauli, Nobelpreisträger 1934)

Ladungserhaltung Energieerhaltung Impulserhaltung

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13

Nachweis neuer Teilchen

Erster experimenteller Nachweis der Exsistenz des Elektronneutrinos (1970)

Unter der Annahme von Energie- und

Impulserhaltung erstellte Enrico Fermi eine Theorie des Betazerfalls. Demnach wird bei der Reaktion

zusätzlich ein masseloses Teilchen emittiert- das Neutrino (kleines Neutron)

Indirekter Nachweis des Neutrinos 1949 (Messung der Energie und Impulse von Kern und Elektron) Direkter Nachweis des Neutrinos erst 1956

Der Wechselwirkung eines Neutrinos mit seiner Umgebung ist äußerst gering. Im Mittel fliegt ein Neutrino eine Strecke von 1000 LJ bevor erst

mit Materie bevor es zu einer Reaktion kommt.

Bei der Umwandlung p->n wird Energie freigesetzt, die sich auf

die ausgestossenen Teilchen verteilt

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Zusammenfassung

Der Massenmittelpunkt eines Systems von Teilchen bewegt sich wie ein einzelnes Teilchen in dm die gesamte Masse des Systems vereint ist. An diesem Punkt greift die externe Kraft an.

Der Impuls ist das Produkt aus der Masse des Teilchens und seiner Geschwindigkeit. Eine Kraft ergibt sich als Änderung des Impulses des Systems.

Die kinetische Energie lässt sich als aus dem Impuls des System ableiten

Bei elastischen Stöße ändert sich die kinetische Energie vor und nach dem Stoß nicht. Ändert sich die kinetische Energie ist der Stoß ineleastisch. Bei einem vollständig ineleastischen Stoß

bewegen sich die beiden Teilchen mit der Geschwindigkeit des Massenmittelpunkt weiter.

Ein Kraftstoß ist definiert als Integral der Kraft über das Zeitintervall. Dies entspricht der Änderung des Impulses

Eine Rakete erhält ihren Schub durch den Ausstoß von Gasen. Die Kraft, die das ausströmende Gas auf die Rakete ausübt, treibt die Rakete an.