16. Mai 2020

Matr.–Nr.:

Klausur zur Numerischen Mathematik im Maschinenbau Prof. Dr. Arnold Reusken

16. Mai 2020

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Zugelassene Hilfsmittel:

• Die vom Institut zur Klausur verteilte Formelsammlung, die Sie mit Namen und Matrikelnum- mer versehen.

• Höchstens einTaschenrechner, der explizit vom Institut zugelassen wurde und auf der “Positiv–Liste” steht, die zu Klausurbeginn auchaufliegt.

ACHTUNG:Die Benutzung eines anderen Taschenrechners gilt als Täuschungsversuch!

Benutzter Taschenrechner

Sie haben insgesamt 120 Minuten Zeit zur Bearbeitung. Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 50% der Gesamtpunktzahl erreicht werden.Achtung: Fehlende Begründungen führen zu Punktabzügen!

Zum Zeitpunkt des Druckes war leider noch keine Aussage über einen Termin der Einsicht möglich.

Bitte beginnen Sie mit der Bearbeitung der Aufgabe direkt unter der Aufgabenstellung. Sollte der Platz unterhalb der Aufgabe nicht ausreichen, so setzen Sie die Aufgabe bitte auf der rechten Seite fort. Wenn auch das noch nicht ausreicht, so fahren Sie auf einem der hinteren Leerblätter fort und geben dies bitte vorne mit einem Hinweis an.

Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer — auch die benutzten Blanko–

Blätter.

Die/der Studierende erklärt hiermit auch, dass sie/er sich aktuell gesund fühlt. Im Falle eines Prüfungsabbruchs wegen Krankheit gilt Folgendes: Die/der Studierende sucht unverzüglich, d.h. direkt im Anschluss an den Prü- fungsabbruch eine Ärztin bzw. einen Arzt auf und lässt sich ein Attest ausstellen. Dieses muss das Datum und die Uhrzeit dokumentieren und die Bestätigung der Ärztin/des Arztes ausweisen, dass die gesundheitliche Beeinträchti- gung nicht vor (bzw. im Falle der Prüfungsunfähigkeit nach Abgabe der Prüfungsunterlagen nicht vor oder während) der Prüfung festgestellt werden konnte. Dieses Attest ist unverzüglich beim ZPA einzureichen. Ggf. entscheidet der Prüfungsausschuss (insbesondere im Fall der vermeintlichen Prüfungsunfähigkeit nach Beendigung der Prüfung) unter Einbeziehung einer/eines Vertrauensärztin/-arztes über die Anerkennung des Attestes.

Ich versichere mit meiner Unterschrift auch, dass ich nur den oben eingetragenen Taschenrechner benutze, der sich zudem auf der “Positiv-Liste” befindet und dass ich keine sonstigen elektronischen Geräte wie Handy, Tablet, Smartwatch, MP3-Player usw. bei mir habe.

Name:

Vorname:

Unterschrift:

VFr: A1: A2: A3: A4: A5: BP: X

:

IGPM RWTH–Aachen Numerik MB F20

Verständnisfragen-Teil (30 Punkte)

Jeder der 6 Verständnisfragenblöcke besteht aus 10 Verständnisfragen. Werden alle 10 Fragen in einem Verständ- nisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es dafür 5 Punkte. Für 9 richtige Antworten gibt es 4 Punkte; für 8 richtige 3, für 7 richtige 2 und für 6 richtige Antworten gibt es einen Punkt. Werden weniger als 6 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block 0 Punkte.

Beantworten Sie alle Fragen mit wahr oder falsch bzw. geben Sie das Ergebnis numerisch als Zahl mit mindestens 5 signifikanten Ziffern an. Falls nicht anders gefordert, muss das Ergebnis als Dezimalzahl angegeben werden.

VF-1: Es seien xMIN bzw. xMAX die kleinste bzw. größte (strikt) positive Zahl sowie eps die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäß Vorlesung/Buch und D :=

[−xMAX,−xMIN]∪[xMIN, xMAX]. Ferner beschreibe fl : D → M(b, m, r, R) die Standardrundung. Alle Zahlen sind im Dezimalsystem angegeben.

1. Es giltfl(x+y) = fl(x) + fl(y)für allex, y∈D.

2. Die Anzahl der Elemente in der Menge M(b, m, r, R)hängt vonmab.

3. Es gilt|fl(x)−x| ≤epsfür allex∈D.

4. Die Addition zweier Zahlen ist stets gut konditioniert.

5. Geben Sie die nicht-normalisierte Darstellung der Zahl14inM(3,6,−8,8)an.

6. Falls die Kondition eines Problems schlecht ist, können Störungen der Eingabedaten stark verstärkt werden.

7. Die Funktionf(x) =xln(x)ist fürx→ ∞gut konditioniert.

8. Die Funktionf(x, y) = ^x_y ist für alle(x, y)∈R²mit y6= 0gut konditioniert.

9. Wir betrachten die Berechnung einer SummeS_m:=Pm

j=1x_j. Die Stabilität dieser Summenbildung hängt von der Reihenfolge der Summandenx_j ab.

10. Berechnen Sie die Konditionκrel(x, y)der Funktion f(x, y) =xsin²(y)im Punkt(1,^π₂).

VF-2: Es seienA∈R^n×n beliebig aber regulär,b∈Rⁿ und gesucht sei die Lösungx^∗∈Rⁿ vonA x=b.

1. Es seiB:=D A die zeilenäquilibrierte Matrix zuA. Dann giltkBk∞= 1.

2. Mit Zeilenäquilibrierung wird eine Verringerung der Rechenaufwand der Gauß-Elimination ange- strebt.

3. Wir betrachten das gestörte Problem Ax˜ = ˜b. Der absolute Fehler in der Lösung k˜x−x^∗k ist maximal um einen FaktorkA⁻¹kgrößer als der absolute Eingabefehlerk˜b−bk.

4. Es existieren stets eine normierte untere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix R, so dassA=L Rgilt.

5. Berechnen SiekAk2 fürA=







−3 0 0 0 −2 0

0 0 1





.

6. Falls die MatrixAorthogonal ist, giltκ2(A) = 1, wobeiκ2(·)die Konditionszahl bzgl. der euklidi- schen Norm ist.

7. Es sei R ∈ R^n×n eine reguläre obere Dreiecksmatrix. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Lösungy vonR y=büber Rückwärtseinsetzen beträgt etwa ¹₃n³Operationen.

8. Es sei A symmetrisch positiv definit. Dann ist die Kondition des Problems der Bestimmung der Lösung des GleichungssystemsA x=b gut.

9. Es seiA=L D L^T mit einer normierten unteren DreiecksmatrixL und einer regulären Diagonal- matrixD. Dann istAsymmetrisch positiv definit.

Numerik MB F20 IGPM – RWTH Aachen VF-3: Es seiA∈R^m×n, undA=Q ReineQR-Zerlegung vonA.

1. Eine QR-Zerlegung A = Q R von A ∈ R^m×n existiert nur dann, wenn die Matrix A den vollen Spaltenrangnhat.

2. Es gilt:kAk2=kRk2, wobeik · k2 die euklidische Norm ist.

3. Für jede orthogonale Matrix QgiltQ^T =Q⁻¹.

4. Die Inverse einer orthogonalen Matrix ist eine orthogonale Matrix.

5. Es seienQeine orthogonale Matrix undQ





 3 6

−4





=





 6 0 b





Geben Sie|b|an.

6. Für jede orthogonale Matrix Q giltκ∞(Q) = 1, wobeiκ∞(·)die Konditionszahl bzgl. der Maxi- mumnorm ist.

7. Die Inverse einer Householder-Transformationen ist eine Householder-Transformation.

8. Jede einzelne Householder-Transformation ist symmetrisch und orthogonal.

9. Die Householder-Methode zur Bestimmung derQR-Zerlegung ist immer stabil.

10. Es seienv∈R^mmitv6= 0undQv =I−2^vv_vT^Tv eine Householder-Transformation. Geben Sieα∈R an, so dassQvv=α v gilt.

VF-4: Es seienA ∈ R^m×n, mitRang(A) = n < m, und b ∈ R^m. Weiter seien Q∈ R^m×m eine orthogonale Matrix undR ∈R^m×n eine obere Dreiecksmatrix so, dass Q A=R = R˜

0

!

mit R˜ ∈ R^n×n gilt. Ferner seien x^∗ ∈Rⁿ die eindeutige Minimalstelle des Minimierungsproblems x^∗ = argmin_x∈RnkA x−bk2 und Θ∈

0,^π₂ der Winkel zwischenA x^∗ undb.

1. Die MatrixR˜ ist orthogonal.

2. Die MatrixR˜ kann man über Gauß-Elimination mit Pivotisierung bestimmen.

3. Je kleiner der WinkelΘ, desto besser ist die Kondition des linearen Ausgleichsproblems.

4. Es giltsin Θ = ^kb−Ax_kbk^∗k2

2 .

5. Es seienm= 3,n= 1,A=





 1 1 0





undb=





 2 6 1





. Bestimmen SiekAx^∗−bk₂.

6. Es seiL D L^T =A^TAdie Cholesky-Zerlegung vonA^TA. Dann gilt x^∗=L^−TD⁻¹L⁻¹A^Tb.

7. Die Gauß-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems kann man als Fix- punktiteration darstellen.

8. Bei der Gauß-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems ist die Konver- genzordnung in der Regel zwei.

9. Eine geeignete Wahl des skalaren Parametersµim Levenberg-Marquardt-Verfahren kann die Kon- vergenzordnung der Methode erhöhen.

10. Es seienm= 3,n= 2,A=





 2 0 0 1 0 1





. Bestimmen SiekRk˜ 2.

3

Numerik MB F20 IGPM – RWTH Aachen VF-5: Es seienΦ :Rⁿ→Rⁿ zweimal stetig differenzierbar undx^∗ so, dassΦ(x^∗) =x^∗gilt. Fürx0∈Rⁿ wird die Fixpunktiteration xk+1 = Φ(xk), k = 0,1,2, . . . definiert. Weiter sei Φ⁰(x) die Ableitung (Jacobi-Matrix) vonΦan der Stellex.

Weiterhin seif :Rⁿ →Rⁿ zweimal stetig differenzierbar in einer Umgebung U von x^∗ und es gelte f(x^∗) = 0 sowief⁰(x^∗)regulär.

1. Es sein= 1. Falls Φ⁰(x^∗) = 0,Φ⁰⁰(x^∗)6= 0, ist die Konvergenzordnung der Fixpunktiteration2.

2. Falls die Fixpunktiteration konvergiert, so giltkΦ⁰(x^∗)k_∞<1.

3. Es seienn= 1undΦ(x) =¹₃x²−¹₄x. Alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind fürΦauf dem Intervall[0,1]erfüllt.

4. Es sein= 1, Φ(x) = 2 cos(^x₄). Die Fixpunktiteration konvergiert für jeden Startwertx0∈R. 5. Es sein= 1, Φ(x) =x²+ 2x−6. Geben Sie den eindeutigen positiven Fixpunkt vonΦan.

6. Die Newton-Methode zur Bestimmung der Lösungx^∗vonf(x) = 0ist lokal quadratisch konvergent.

7. Eine Dämpfungsstrategie beim Newton-Verfahren dient dazu, den Einzugsbereich der Methode zu vergrößern.

8. Wenn das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Lösung x^∗ vonf(x) = 0 konvergiert, dann gilt für genügend großek-Werte : ||xk−x^∗|| ≈ ||xk−xk+1||.

9. Es sein= 1. Die Sekantenmethode zur Bestimmung der Nullstellex^∗vonf konvergiert nur dann, wenn die Startwertex0, x1 dieser Methode so gewählt werden, dassf(x0)f(x1)<0 gilt.

10. Es seienn= 1undf⁰(x^∗)6= 0. Weiter seiΦ(x) :=x−_f^f(x)0(x). Bestimmen SieΦ⁰(x^∗).

VF-6: Es seien f : R 7→ R und P(f|x₀, . . . , x_n) das Lagrange–Interpolationspolynom zu den Daten (x₀, f(x₀)), . . . ,(x_n, f(x_n)) mit a = x₀ < . . . < x_n = b. Weiterhin seien δ_n der führende Koeffizient dieses Polynoms und[x0, . . . , xn]f die dividierte Differenz der Ordnungnvonf.

1. Es sei`jn(x) = Πⁿ_k=0,k6=jx^x−xk

j−x_k,0≤j≤n. Dann giltf(x) =Pn

j=0f(xj)`jn(x)für allex∈R. 2. Es giltP(f|x0, . . . , xn)⁽ⁿ⁾(x) =n!δn.

3. Das Verfahren von Neville-Aitken ist eine effiziente Methode zur Bestimmung des Wertes P(f|x0, . . . , xn)(x)an einer vorgegebenen Stellex.

4. Es giltmax_x∈[a,b]|P(f|x0, . . . , xn)(x)−f(x)| ≤max_x∈[a,b]|P(f|x0, . . . , x_n−1)(x)−f(x)|.

5. Seif(x) = 3x³−2x. Bestimmen Sie den Wert[x0, x1, x2, x3]f. Es seif ∈C^∞[a, b]. Das IntegralI(f) =Rb

a f(x)dxsoll numerisch durch eine Quadraturformel Im(f) = (b−a)Pm

j=0wjf(xj) mit a ≤ x0 < . . . < xm ≤ b approximiert werden. Weiter sei I_mⁿ(f) die aus Im(f) konstruierte summierte Quadraturformel auf den Teilintervallen[t_j−1, tj], j = 1, . . . , n, mittj =a+jh, j= 0,1, . . . , nundh= ^b−a_n .

6. Der Exaktheitsgrad der summierten Quadraturformel I_mⁿ(f)ist größer als der vonI_m(f).

7. Es seien I_m^{N C}(f)und I_m^G(f) die Newton-Cotes-Formel und die Formel der Gauß-Quadratur. Für m≥1 gilt, dass der Exaktheitsgrad vonI_m^{N C}(f)strikt kleiner ist als der vonI_m^G(f).

8. Es seiI₂(f)die Simpsonregel. Für die summierte SimpsonregelI₂ⁿ gilt|I₂ⁿ(f)−I(f)| ≤c h⁵, wobei die Konstantecnicht vonnabhängt.

9. Es seiIm(f)die Newton-Cotes-Formel. Es gilt:I_mⁿ(f) =I(f)fallsf ein Polynom vom Gradnist.

10. Es seiena= 0,b= 2undI₁(f)die Trapezregel. Berechnen SieI₁²(x³+ 1).

Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F20

5

Numerik MB F20 NAME: MATR:

Aufgabe 1 (6 Punkte)

Zu beliebigem α∈R ist die Matrix

A:=





8 4 10

4 α −1

2 −1 ¹₂





gegeben.

a) Bestimmen Sie die LR–Zerlegung vonAmit Spaltenpivotisierung. Geben SieL,R und die Permutations- matrixP explizit an.

Es seien nun

L˜ =









1 0 0 0 3 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 1









, R˜=









2 4 4 0 0 1 1 0 0 0 3 1 0 0 0 1







 , b=







 2 6 7 0







 .

Dabei sindL˜ undR˜ die Matrizen derLR-Zerlegung vonB, d.h.B= ˜LR.˜

b) Lösen Sie das GleichungssystemBx=bmittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen.

Fortsetzung Aufgabe 1 Numerik MB F20

7

Numerik MB F20 NAME: MATR:

Aufgabe 2 (5 Punkte)

Die Funktiony(t) :=αsin(t) +βcos(t)−1soll im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate optimal an folgende Messwerte angepasst werden:

ti 0 π/2 π y_i 2 4 3

Bestimmen Sie die Parameterαundβ optimal im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate:

a) Formulieren Sie dazu das entsprechende lineare AusgleichsproblemkAx−bk2 →min. Geben SieA,xundb explizit an.

Wir betrachten nun das AusgleichsproblemkBx−ck2→min_x∈R mit

B=



 3 4

−12



, c=



 7 11

−13



.

b) Lösen Sie das lineare Ausgleichsproblem mit Hilfe von Givens-Rotationen. Wie groß ist das Residuum?

Hinweis: Householder-Transformationen oder der Ansatz über Normalengleichungen werden mit 0 Punkten bewertet.

Fortsetzung Aufgabe 2 Numerik MB F20

9

Numerik MB F20 NAME: MATR:

(Februar 2000: Aufgabe 4: Nullstellen von Systemen: Fixpunkt/Newton,)

2011: Aufgabe 2:, in der Form als weitere typische Klausur(rechen)aufgabe in den Übungen seit mehreren Jahren

Aufgabe 3 (9 Punkte)

Gegeben sei die Funktion

F(x, y) =

1

6(e^xe^−y+ ln(x+ 1))

1 8

sin ^x₂

+ y−²₅²

!

a) Zeigen Sie: In[0,1]×[0,2]hatF genau einen Fixpunkt. (Verwenden Sie diek · k1-Norm).

b) Wieviele Iterationen sind, ausgehend vom Startwert(0,0)^T, mit dem Fixpunktverfahren höchstens erforderlich, um bezüglich der1-Norm eine Genauigkeit vonε= 0.01zu erreichen? Geben Sie einen möglichst kleinen Wert an.

Hinweis:Sollten Sie in a) keine KontraktionszahlLgefunden haben, verwenden Sie im Folgenden die1-Norm undL= e

3.

c) Geben Sie für die zweite Iterierte der Fixpunktiteration eine a-posteriori Fehlerabschätzung an.

Fortsetzung Aufgabe 3 Numerik MB F20

11

Numerik MB F20 NAME: MATR:

Aufgabe 4 (5 Punkte)

Für die FunktionF ist eine Wertetabelle gegeben

x −3 −2 −1 0 1 2 3

F(x) 2 1.5 3.5 3 0 2 1 .

Der FunktionswertF(−0.75)soll mithilfe eines Polynoms zweiten Grades möglichst gut angenähert werden.

1. Wählen Sie geeignete Stützstellen für diese Annäherung. Begründen Sie Ihre Antwort.

2. Berechnen Sie zu den in a) bestimmten Stützstellen den entsprechenden Näherungswert mit dem Neville- Aitken-Schema. Sollten Sie keine Stützstellen bestimmt haben, verwenden Siex₀=−1,x₁= 0undx₂= 1.

3. Geben Sie eine möglichst gute Fehlerabschätzung für den in Aufgabenteil b) berechnteten Näherungswert an.

Hinweis: Für allen≥2und alle x∈[−3,3]gilt:|F⁽ⁿ⁾(x)| ≤ ⁿ²₂⁻¹.

Fortsetzung Aufgabe 4 Numerik MB F20

13

Numerik MB F20 NAME: MATR:

Aufgabe 5 (5 Punkte)

Gegeben sei die Funktionf(x) := exp(cos(x²)).

Gesucht ist eine numerische Approximation des IntegralsR1

−1f(x)dx.

a) Zeichnen Sie die Fläche, die mithilfe dersummierten Mittelpunktsregelmitn= 4Unterteilungen gerech- net wird, in die Abbildung (s.u.) ein. Tragen Sie die numerischen Werte der Stellen, an denenf ausgewertet werden muss, in die Skizze ein.

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 0.5

1 1.5 2 2.5

x f (x)

b) Bestimmen Sie für die summierte Trapezregel eine geeignete Anzahl an Teilintervallen n, so dass der Quadraturfehler höchstensε= 0.4 beträgt.

Hinweis:Fürx∈[−1,1]gilt:|f⁰(x)| ≤4,|f⁽²⁾(x)| ≤6,|f⁽³⁾(x)| ≤30und|f⁽⁴⁾(x)| ≤120.

c) Führen Sie die Berechnung der summierten Trapezregel fürn= 4Teilintervallen durch.

Fortsetzung Aufgabe 5 Numerik MB F20

15

Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F20 NAME: MATR:

Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F20 NAME: MATR:

17

Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F20 NAME: MATR: