IGPM RWTH–Aachen Numerik MB F19

(1)

IGPM RWTH–Aachen Numerik MB F19

Verständnisfragen-Teil (30 Punkte)

Jeder der 6 Verständnisfragenblöcke besteht aus 10 Verständnisfragen. Werden alle 10 Fragen in einem Verständ- nisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es dafür 5 Punkte. Für 9 richtige Antworten gibt es 4 Punkte; für 8 richtige 3, für 7 richtige 2 und für 6 richtige Antworten gibt es einen Punkt. Werden weniger als 6 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block 0 Punkte.

Beantworten Sie alle Fragen mit wahr oder falsch bzw. geben Sie das Ergebnis numerisch als Zahl mit mindestens 5 signifikanten Ziffern an. Falls nicht anders gefordert, muss das Ergebnis als Dezimalzahl angegeben werden.

VF-1: Es seien xMIN bzw. xMAX die kleinste bzw. größte (strikt) positive Zahl sowie eps die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäß Vorlesung/Buch und D :=

[−xMAX,−xMIN]∪[x_MIN, x_MAX]. Ferner beschreibe fl : D → M(b, m, r, R) die Standardrundung. Alle Zahlen sind im Dezimalsystem angegeben.

1. Es gilt|fl(x+y)| ≤ |fl(x)|+|fl(y)|für allex, y∈D. falsch

2. InM(2,4,−4,4)giltx_MIN= ₃₂¹. wahr

3. Es gilt|fl(x)−x| ≤epsfür allex∈D. falsch

4. Die Anzahl der Elemente in der Menge M(b, m, r, R)hängt nicht vonmab. falsch 5. Geben Sie die nicht-normalisierte Darstellung der Zahl23inM(7,6,−8,8)an. 32 6. Die Funktionf(x) =xsin(x)ist gut konditioniert fürx= ¹₂π. wahr 7. Falls die Kondition eines Problems gut ist, sind Algorithmen zur Lösung dieses Problems automa-

tisch stabil.

falsch 8. Es seienx= 3undy= 3 + 10⁻¹⁰. Bei der Berechnung vone^x−e^y tritt Auslöschung auf. wahr 9. Wir betrachten die Berechnung einer SummeSm:=Pm

j=1xj. Die Stabilität dieser Summenbildung hängt von der Reihenfolge der Summandenxj ab.

wahr 10. Berechnen Sie die relative Konditionszahl der Funktionf(x1, x2) =x2e^x¹ für(x1, x2) = (−2,0). 2

VF-2: Es seienA∈R^n×n beliebig aber regulär,b∈Rⁿ und gesucht sei die Lösungx^∗∈Rⁿ vonA x=b.

1. Es seiB:=D A die zeilenäquilibrierte Matrix zuA. Dann giltB x^∗=b. falsch 2. Es seiB :=D A die zeilenäquilibrierte Matrix zuA. Dann giltκ_∞(B)≤κ_∞(A), wobeiκ_∞(·)die

Konditionszahl bzgl. der Maximumnorm ist.

wahr 3. Es seienx˜ eine Annäherung der Lösungx^∗ undr:=b−Ax˜das zugehörige Residuum.

Es gilt ^krk_kbk ≤ kAk^kx_kx^∗^−˜∗k^xk.

falsch

4. Es existiert immer eineL R-ZerlegungA=L RvonA. falsch

5. Es seienκ_∞(A)die Konditionszahl bzgl. der Maximumnorm undA:=

1 0 3 2

. Berechnen Sieκ∞(A).

10

6. Es seiA=Q ReineQ R-Zerlegung von A. Dann giltR x^∗=Q^Tb. wahr 7. Es sei R ∈ R^n×n eine reguläre obere Dreiecksmatrix. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der

Lösungy vonR y=büber Rückwärtseinsetzen beträgt etwa ¹₂nOperationen.

falsch 8. Pivotisierung verbessert die Stabilität der Gauß-Elimination. wahr 9. Falls die MatrixAorthogonal ist, giltκ2(A) = 1, wobeiκ2(·)die Konditionszahl bzgl. der euklidi-

schen Norm ist.

wahr

10. Es seienA=





−3 4 1

0 4 −1

1 −1 2



undD die zugehörige Diagonalmatrix der Zeilenskalierung.

Berechnen SiekDk2.

0.25

(2)

Numerik MB F19 IGPM – RWTH Aachen VF-3:

1. Für die MatrixA=





0 0 2 0 1 1 2 1 4



existiert eine Cholesky-Zerlegung. falsch

2. Es seiA=L D L^T die Cholesky-Zerlegung der positiv definiten MatrixA.

Dann ist A⁻¹=L^−TD⁻¹L⁻¹ die Cholesky-Zerlegung der MatrixA⁻¹.

falsch 3. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch positiv definiten

n×n-Matrix über das Cholesky-Verfahren beträgt etwa ¹₆n³Operationen (gem. Vorlesung).

wahr

4. Für jede orthogonale Matrix QgiltQ^T =Q. falsch

5. Es seiA=L D L^T mitL=

1 0 10 1

undD= 2 0

0 2.5

. Geben Siedet(A²)an. 25 6. Es seienv∈R^mmitv6= 0undQv=I−2^vv_vT^Tveine Householder-Transformation. Es gilt:Q⁻¹_v =Qv. wahr 7. Das Produkt zweier Householder-Transformationen ist eine Spiegelung. falsch 8. Das Produkt zweier Givens-Transformationen ist eine Rotation. wahr 9. Eine Q R-Zerlegung A = Q Rvon A ∈ R^m×n existiert nur dann, wenn die Matrix A den vollen

Spaltenrangnhat.

falsch

10. Es seien v, x∈R² mit v 6= 0, x= −1

2

und Qv =I−2^vv_vT^Tv eine Householder-Transformation.

Geben SiekQvxk²₂ an.

5

VF-4: Es seienA ∈ R^m×n, mitRang(A) = n < m, und b ∈ R^m. Weiter seien Q∈ R^m×m eine orthogonale Matrix undR ∈ R^m×n eine obere Dreiecksmatrix so, dass Q A=R =

R˜ 0

gilt, mit R˜ ∈ R^n×n. Ferner seien x^∗= argmin_x∈_RnkA x−bk2die eindeutige Minimalstelle undΘ∈

0,^π₂

der Winkel zwischenA x^∗ undb.

Ebenso seiF :Rⁿ →R^mmitm > nstetig differenzierbar. Wir betrachten das (nichtlineare) Ausgleichsproblem:

Bestimmexˆ∈Rⁿ so, dasskF(ˆx)k2= minx∈RⁿkF(x)k2.

1. Je kleiner der WinkelΘ, desto besser ist die Kondition des linearen Ausgleichsproblems. wahr 2. Je kleiner der Winkel Θ, desto besser ist die Stabilität des Lösungsverfahrens über die QR-

Zerlegung.

falsch

3. Es giltR x˜ ^∗=Q b. falsch

4. Es giltκ2(A) =κ2( ˜R), wobei κ2(·)die Konditionszahl bzgl. der euklidischen Norm ist. wahr 5. Es seienA=



 1 1 0 1 0 1



undb=



 2 1 1



. Bestimmen SiekA x^∗−bk2. 0 6. Es seiL D L^T =A^TAdie Cholesky-Zerlegung von A^TA. Dann gilt x^∗=L^−TD⁻¹L⁻¹A^Tb. wahr 7. Die Gauß-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems kann man als Fix-

punktiteration darstellen.

wahr 8. Bei der Gauß-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems ist die Konver-

genzordnung in der Regel zwei.

falsch 9. Eine geeignete Wahl des skalaren Parametersµim Levenberg-Marquardt-Verfahren kann den Ein-

zugsbereich der Methode erweitern.

wahr

10. Es seienm= 3,n= 1undQ b=





−1 4 3



. Bestimmen SiekA x^∗−bk2. 5

(3)

Numerik MB F19 IGPM – RWTH Aachen VF-5: Es seien Φ : Rⁿ → Rⁿ stetig differenzierbar und x^∗ so, dass Φ(x^∗) = x^∗ gilt. Für x0 ∈ Rⁿ wird die Fixpunktiterationxk+1= Φ(xk), k= 0,1,2, . . .definiert. Weiter seiΦ⁰(x)die Ableitung vonΦan der Stellex.

1. Falls Φ⁰(x^∗) = 0, ist die Konvergenzordnung der Fixpunktiteration mindestens2. wahr 2. Falls kΦ⁰(x^∗)k2>1, ist die Fixpunktiteration nicht lokal konvergent. falsch 3. Es seienn= 1undΦ(x) =²₃x²−¹₄x. Alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind

fürΦauf dem Intervall[0,1]erfüllt.

falsch 4. Es seienn= 1undΦ(x) = cos(¹₂x). Die Fixpunktiteration konvergiert für jeden Startwertx0∈R. wahr 5. Es seif(x) = ¹₄x²−¹₂. Wir betrachten das Sekantenverfahren zur Annährung einer Nullstelle dieser

Funktion, mit Startwertenx₀=−2,x₁= 0. Berechnen Siex₂.

-1

6. Es sei f : R→R zweimal stetig differenzierbar undf(x^∗) = 0,f⁰(x^∗)6= 0. Weiter sei Φso, dass xk+1= Φ(xk)dem Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellex^∗entspricht.

Es giltΦ⁰(x^∗) = 0.

wahr

7. Es seif(x) =x³−7. Die Bisektionsmethode zur Bestimmung der Nullstelle vonf konvergiert für beliebige Startwertex0∈(−∞,1], x1∈[2,∞).

wahr 8. Die Sekantenmethode zur Bestimmung einer Nullstelle einer skalaren, stetigen Funktion f kon-

vergiert nur dann, wenn die Startwerte x0 und x1 dieser Methode so gewählt werden, dass f(x₀)f(x₁)<0gilt.

falsch

9. Es sei f(x) =x²−2. Das auff angewandte Newton Verfahren konvergiert für jeden Startwert x0∈R,x06= 0, gegen die Nullstellex^∗>0dieser Funktion.

falsch 10. Es seif :Rⁿ→Rⁿzweimal stetig differenzierbar in einer Umgebung vonx^∗und es geltef(x^∗) = 0,

det(f⁰(x^∗)) 6= 0. Sei x₀ ein Startwert aus einer hinreichend kleinen Umgebung von x^∗ und x_k, k ≥ 1, die mit dem Newton-Verfahren berechnete Folge. Geben Sie den Wert für p so an, dass kx^∗−x_kk_∞≈ kx_k+1−x_kk^p_∞fürkhinreichend groß gilt.

1

VF-6: Es seienn∈NundP(f|x0, . . . , xn)das Lagrange-Interpolationspolynom vom Gradn, das die Funktion f : [a, b] →Rin den Stützstellen a≤x0 < . . . < xn ≤b interpoliert. Weiter seienδn der führende Koeffizient dieses Polynoms und[x0, . . . , xn]f die dividierte Differenz der Ordnungnvonf.

1. Es giltP(Q|x0, . . . , xn) =Qfür alle PolynomeQvom Grad maximaln. wahr 2. Es giltP(f|x0, . . . , xn)(x) =P(f|xn−1, . . . , x0)(x) + (x−x0)(x−x1). . .(x−xn−1)[x0, . . . , xn]f. wahr 3. Es sei `jn(x) = Πⁿ_k=0,k6=j_x^x−x^k

j−xk, 0≤j ≤n. Es gilt P(f|x0, . . . , xn)(x) =Pn

j=0`jn(x)[x0, . . . , xj]f für allex∈R.

falsch

4. Es giltδ_n= [x₀, . . . , x_n]f. wahr

5. Es seienf(x) = 3x²,x0= 1,x1= 2undx2= 5. Berechnen Sieδ2. 3 Es seif ∈C[a, b]. Das IntegralI(f) =Rb

af(x)dxsoll numerisch approximiert werden durch eine Quadraturformel I_m(f) = (b−a)Pm

j=0w_jf(x_j)mita≤x₀< . . . < x_m≤b. Weiter seiI_mⁿ(f)die ausI_m(f)konstruierte summierte Quadraturformel auf den Teilintervallen[t_j−1, t_j],j= 1, . . . , n, mitt_j =a+jh,j = 0,1, . . . , n,h= ^b−a_n . 6. Es seien I_m^{N C}(f)und I_m^G(f) die Newton-Cotes-Formel und die Formel der Gauß-Quadratur. Für

m≥1 gilt, dass der Exaktheitsgrad vonI_m^{N C}(f)strikt kleiner ist als der vonI_m^G(f).

wahr 7. Der Exaktheitsgrad der summierten Quadraturformel I_mⁿ(f)ist größer als der vonI_m(f). falsch 8. Es sei P(f|x0, . . . , xm) das Lagrange–Interpolationspolynom. Bei der Gauß-Quadratur gilt

Im(f) =Rb

aP(f|x0, . . . , xm)(x)dx.

wahr

9. Es seiI₁(f)die Trapezregel. Es gilt|I₁ⁿ(f)−I(f)| →0fürn→ ∞. wahr 10. Berechnen Sie eine Approximation vonR1

0 6x⁴dxmit Hilfe der Simpsonregel. 1.25

(4)

IGPM RWTH–Aachen Numerik MB F19

Aufgabe 1 (6 Punkte)

Es sei die Matrix

A=





3 1 2

−9 3 6 0 −4 2





gegeben.

a) Bestimmen Sie dieLR-Zerlegung vonA mit Spaltenpivotisierung. Geben SieL, RundP explizit an.

Es seien nun

P˜=





1 0 0 0 0 1 0 1 0



, D=





2 0 0 0 4 0 0 0 2



, B=





1 1.5 2

3.5 5.25 7.75 0 1.5 0.5



,

L˜=





1 0 0 0 1 0 7 0 1



, R˜=





2 3 4 0 3 1 0 0 3



, b=



 0.5 2.5

−1



.

Dabei sindL˜ undR˜ die Matrizen derLR-Zerlegung vonP DB, d.h.˜ P DB˜ = ˜LR.˜

b) Lösen Sie das GleichungssystemBx=bmittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen.

c) Wir nehmen nun an, dass die rechte Seiteb und die MatrixB nur in gestörter Form vorliegen. Dabei wissen wir, dass der abolute Fehler k∆bk_∞ mit 2.5·10⁻⁴ nach oben beschränkt werden kann. Wie groß darf die Störung inB, gemessen in derk · k_∞-Norm, höchstens sein, damit der relative Fehler inx, ebenfalls gemessen in derk · k_∞-Norm, nicht größer als zwei Prozent ist? Dabei darf verwendet werden, dasskB⁻¹k_∞= 11ist.

a)

LR-Zerlegung:





3 1 2

−9 3 6 0 −4 2





1↔2−→





−9 3 6

−¹₃ 2 4 0 −4 2





2↔3−→





−9 3 6

0 −4 2

−¹₃ −¹₂ 5





also

L=





1 0 0

0 1 0

−0.33333 −0.5 1



, R=





−9 3 6 0 −4 2

0 0 5



, P =





0 1 0 0 0 1 1 0 0





(2)

b)Es gilt

B x=b⇔L˜R x˜ = ˜P Db.

SubstituiereRx˜ =y und löseLy˜ = ˜P Db:





1 0 0 0 1 0 7 0 1



y=



 1

−2 10



, y=



 1

−2 3



.

Mache im Anschluss die Substitution rückgängig:





2 3 4 0 3 1 0 0 3



x=



 1

−2 3



, x=



 0

−1 1



.

(5)

c) Fürκ(B)^k∆Bk_kBk^∞

∞ <1und(B+ ∆B)(x+ ∆x) =b+ ∆bgilt die Ungleichung k∆xk_∞

kxk_∞ ≤ κ(B) 1−κ(B)^k∆Bk_kBk^∞

∞

k∆Bk_∞

kBk_∞ +k∆bk_∞ kbk_∞

.

MitkBk_∞= 16.5undkbk_∞= 2.5 haben wir k∆xk∞

kxk_∞ ≤ 181.5 1−11k∆Bk_∞

k∆Bk∞

16.5 + 10⁻⁴ _!

≤0.02.

Aufgelöst nachk∆Bk∞ ergibt dies

k∆Bk∞≤1.6934·10⁻⁴,

was insbesondere auch kleiner als ^kBk_κ(B)^∞ =₁₁¹ ist. (2)

(6)

Die Funktiony(t) :=asin(t) + tan(bt)−tsoll im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate optimal an folgende Messwerte angepasst werden:

ti π/4 π/3 π/2

y_i 2 4 3

Bestimmen Sie die Parameteraundbnäherungsweise:

a) Formulieren Sie dazu das entsprechende nichtlineare AusgleichsproblemkF(x)k2→min. Geben SieF undx explizit an.

b) Für das Gauß-Newton-Verfahren ist der Startwert (a⁰, b⁰) = (0,0) gegeben. Stellen Sie das zugehörige linea- risierte Ausgleichsproblem für den ersten Schritt auf.

Wir betrachten nun das lineare Ausgleichsproblem





−8 20

0 8

−6 15



 c

d

−



 20

8 15



 ₂

→ min

(c,d)^T∈R²

.

c) Lösen Sie das lineare Ausgleichsproblem mit dem Householder-Verfahren und geben Sie die Norm des Resi- duums an.

Teil a)Diei-te Zeile der zu minimierenden FunktionF(x) =F(a, b)lautet F_i(x) :=y(t_i)−y_i=asin(t_i) + tan(bt_i)−t_i−y_i. Gesucht ist somitx^∗ mit||F(x^∗)||2= min_x∈_R2||F(x)||2 mitx= (a, b)und

F(x) =F(a, b) =







√a

2+ tan(^πb₄)−^π₄ −2

√3a

2 + tan(^πb₃)−^π₃−4 a+ tan(^πb₂)−^π₂−3





=





0.70711a+ tan(0.7854b)−2.7854 0.86603a+ tan(1.0472b)−5.0472

a+ tan(1.5708b)−4.5708



. (1) Teil b)Aufgestellt werden soll

F(x⁰) +F⁰(x⁰)∆x⁰

₂→ min

∆x⁰=(∆a⁰,∆b⁰)^T∈R²

Hier ist

F_i⁰(x) =

sin(ti) ti

cos²(bt_i)

. Damit ergibt sich





−^π₄−2

−^π₃−4

−^π₂−3



+





√1 2

π

√ 4 3 2

π 3

1 ^π₂



 ∆a⁰

∆b⁰

2

=





−2.7854

−5.0472

−4.5708



+





0.70711 0.7854 0.86602 1.0472 1 1.5708



 ∆a⁰

∆b⁰

₂

→ min

(∆a⁰,∆b⁰)^T∈R²

. (2)

Teil c)Wir definieren

A:=





−8 20

0 8

−6 15



 b:=



 20

8 15



.

Dabeine Spalte der MatrixAist, wissen wir bereits, dass die Lösung(c, d)^T = (0,1)^T ist und das Residuumr= 0 ist. Löse das lineare Ausgleichsproblem mit Householder:

Householder-Tableau:

−8 20 20

0 8 8

−6 15 15 α1=−10

−18 0 −6 (180) −450 −450 β₁= 1/180

−18/180 10 −25 −25 c= 0

0 0 8 8 d= 1

−6/180 0 0 0 res= 0

(2)

Rückwärtseinsetzen(eigentlich schon im Tableau)

(7)

Gegeben sei die 2D-Fixpunktgleichung x

y

=







(x−1)²

6 +(y−1)² 6 +x y

18 x−y+ 2

2





=: F1(x, y) F2(x, y)

!

=:F(x, y).

a) Zeigen Sie, dass die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach für den BereichE:= [0,2]×[0,2]erfüllt sind.

b) Führen Sie ausgehend vom Startwert (x⁰, y⁰) := (0, 0) zwei Fixpunktschritte durch, d. h. berechnen Sie (x², y²).

Hinweis: Sollten Sie in a) keine Kontraktionszahl L gefunden haben, verwenden Sie im Folgenden die 1-Norm undL= e

π.

c) Geben Sie eine a-posteriori-Fehlerabschätzung für(x², y²)an.

d) Wie viele Iterationsschritte/Fixpunktschritte sind ausgehend vom Startwert (x⁰, y⁰) := (0, 0) höchstens erforderlich, um den Fixpunkt bis auf einen Fehler vonε= 2.4·10⁻³anzunähern? Geben Sie einen möglichst kleinen Wert an.

zu a)

i)E ist abgeschlossen und beschränkt, also vollständig.

ii)Selbstabbildung:Wegen(x, y)∈[0,2]²gilt^(x−1)₆ ², ^(y−1)₆ ² ∈[0,¹₆]und ^{x y}₁₈ ∈[0,₁₈⁴]sowiex−y∈[−2,2]. Daraus folgt

0 = 0 + 0 + 0 ≤ ^(x−1)₆ ² +^(y−1)₆ ² +^{x y}₁₈ ≤ ¹₆+¹₆+²₉ =⁵₉ ≤2

0 = ⁻²⁺²₂ ≤ ^x−y+2₂ ≤ ²⁺²₂ = 2

Insgesamt gilt also F(E)⊂ 0,⁵₉

×[0,2]⊂E ⇒F ist selbstabbildend aufE.

iii) Kontraktivität:Da E konvex ist undF stetig differenzierbar ist, dürfen wir zum Nachweis der Kontraktion die Ableitung benutzen. Als Jacobi-Matrix ergibt sich

F⁰(x, y) =

(x−1)

3 +₁₈^y ^(y−1)₃ +₁₈^x

1

2 −¹₂

! .

Wir schätzen die Matrixkomponenten betragsmäßig nach oben ab. Wegen (x, y)∈E = [0,2]² gilt ^(x−1)₃ , ^(y−1)₃ ∈ [−¹₃,¹₃]. Also ergibt sich aufE die elementweise Betragsabschätzung (zulässig in derk · k1- undk · k_∞-Norm, nicht jedoch in derk · k2-Norm):

kF⁰(x, y)k1≤

1

3+¹₉ ¹₃+¹₉

1 2

! ₁

=

4 9

4 9 1 2

1 2

! ₁

= 17 18.

(Hier können wir die∞-Normnichtverwenden – zu groß).

F ist also kontraktiv aufE.

Somit sind alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. (4) zu b)

Startwert: x⁰:=

x⁰ y⁰

:=

0 0

1. Schritt: x¹:=

x¹ y¹

=

1 3

1

!

= 0.33333 1

!

2. Schritt: x²:=

x² y²

= 5

542 3

=

0.0925926 0.666667

und für c) x²−x¹= −0.240741

−0.333333

!

(1) zu c)Es istkx²−x¹k1=³¹₅₄ = 0.574074und somit gemäß a-posteriori-Abschätzung

kx²−x^∗k1≤ L

1−Lkx²−x¹k1=

17 18 1

31

54 = 1731 54 = 527

54 = 9.75926 (<10) (3.686404949).

(8)

(1) zu d)Es gilt gemäß a-priori-Abschätzung

kxⁿ−x^∗k1≤ Lⁿ

1−Lkx¹−x⁰k1

≤! ε⇐⇒

n≥ ln_kx^ε(1−L)₁_−x₀_k lnL =

ln_24·10⁻⁴_·1 18 4 3

ln ¹⁷₁₈ = ln 10⁻⁴

ln(17)−ln(18) = 161.1. . . (57.51643480) .

Es sind also höchstensn= 162Schritte erforderlich, um eine Genauigkeit vonε= 2.4·10⁻³ zu erreichen. (2)

(9)

Zur Berechnung der Funktionf(x) = cos(x)steht die folgende Tabelle zur Verfügung

x 0 0.25 0.5 0.75 1

sin(x) 0 0.2474 0.4794 0.6816 0.8415 cos(x) 1 0.9689 0.8776 0.7317 0.5403 Die Funktion soll durch ein Polynompzweiten Grades angenähert werden.

a) Zeigen Sie, ohne das Polynompzu bestimmen und der ausschließlichen Verwendung von Tabellenwerten für Sinus- und Kosinuswerte, dass die Stützstellen so gewählt werden können, dass für den Interpolationsfehler in x= 0.1gilt:

|f(0.1)−p(0.1)| ≤2.2·10⁻⁴. Hinweis: Verwenden Siecos(x) = cos(−x).

b) Bestimmen Sie nun das Polynompzu den in a) bestimmten Stützstellen in Newton-Darstellung. Sollten Sie keine Stützstellen bestimmt haben, verwenden siex0= 0, x1= 0.25undx2= 0.5.

Werten Sie dann die Newton-Darstellung mit dem Horner-Schema an der Stellex= 0.1aus.

zu a)

Zur Wahl der Stützstellen wird vorab die Fehlerabschätzung betrachtet:

Mita= min{x0, x₁, x₂,0.1},b= max{x0, x₁, x₂,0.1}gilt

|f(0.1)−p(0.1)| ≤ 1 3! max

x∈[a,b]|sin(x)||(0.1−x₀)(0.1−x₁)(0.1−x₂)|.

Da cos(x) = cos(−x) werden die Stützstellen −0.25, 0, 0.25 gewählt. Dadurch wird sowohl der Anteil durch das Knotenpolynom als auch der in Frage kommende Sinuswert optimal klein:

|f(0.1)−p(0.1)| ≤ 1

6 ·0.2474·0.35·0.1·0.15≤2.2·10⁻⁴.

(2) zu b)

Newton-Tableau

xi

−0.25 0.9689

>0.1244

0 1 >-0.4976

>-0.1244

0.25 0.9689 >-0.4816

>-0.3652 0.5 0.8776

Daraus folgtp(x) = 0.9689 + 0.1244(x+ 0.25)−0.4976x(x+ 0.25).

Auswertung:

Es giltp(x) = 0.9689 + (x+ 0.25)·(0.1244−x·0.4976).

Hornerartige Auswertung ergibt:p(0.1) = 0.9689 + (0.1 + 0.25)·(0.1244−0.1·0.4976) = 0.99502. (3) Alternativ:p(x) = 1−0.1244x−0.4816x(x−0.25) = 1 +x·(−0.1244−0.4816(x−0.25)).

Hornerartige Auswertung ergibt:p(0.1) = 1 + 0.1·(−0.1244−0.4816(0.1−0.25)) = 0.99478.

(10)

Gegeben sei die Quadraturformel

Q(f) = 1 2f

1 3

+1

2f 2

3

, die näherungsweise das IntegralR1

0 f(x)dxbestimmt.

a) Zeigen Sie, dass der Exaktheitsgrad der Quadraturformel kleiner2ist.

b) Es seia >0gegeben. Nutzen Sie die Quadraturformel umf(x) := 2

9x²+ 1 auf dem Intervall[0, a]näherungs- weise zu integrieren.

c) Das Intervall[0,1]wird inn Teilintervalle der Länge h= _n¹ unterteilt, tk =hk,k = 0, . . . , n. Geben Sie die entsprechende summierte QuadraturformelQn an.

Hinweis: Wie lautet die QuadraturformelQangepasst auf das Teilintervall[t_k, t_k+1]?

zu a)

Für einen Exaktheitsgrad von 2 (oder höher) muss die BedingungQ(x²)=^! R1

0 x²dxerfüllt sein. Es gilt Z 1

0

x²dx=1 3 6= 5

18 = 1 2·

1 3

2

+1 2·

2 3

2

=Q(x²).

Somit kann die Quadraturformel nur einen Exaktheitsgrad kleiner 2 haben. (1) zu b)

Die lineare Transformation von[0,1]auf[0, a]ist lediglich eine Streckung. Auf dem Intervall[0, a]lautet die Formel:

Q_[0,a](f) =a 1

2f 1

3a

+1 2f

2 3a

.

Für das Integral erhalten wir somit Z a

0

f(x)dx= Z a

0

2

9x²+ 1dx≈ a 2

2

9(a/3)²+ 1 + 2 9(2a/3)²+ 1

= a

a²+ 1 + a 4a²+ 1.

(2) zu c)

Auf jedem Teilintervall[tk, tk+1]lautet die Formel:

Q_[t_k_,t_k+1_](f) =h 1

2f

tk+1 3h

+1

2f

tk+2 3h

.

Für die summierte Formel ergibt sich somit (tk =hk,k= 0, . . . , n)

Qn(f) =

n−1

X

i=0

h 1

2f

ti+1 3h

+1

2f

ti+2 3h

= h 2

n−1

X

i=0

f

i+1 3

h

+f

i+2

3

h

.

(2)