Prof. Dr. R. Schrader WS 2002/2003 D. R¨abiger
12. und letzte ¨ Ubung zur Informatik II
Abgabe in den ¨Ubungen 29.01. – 31.01.2003
Aufgabe 1: 4 + 3 Punkte
Beim TRAVELING SALESMAN PROBLEM ist ein vollst¨andiger GraphG = (V, E)mitn Knoten gegeben, dessen Kanten mit nat¨urlichen Zahlencijf¨ur(i, j)∈Eals Gewichten bewertet sind. Eine Tour ist eine zyklische Permutationπder Knotenmenge{1, . . . , n}. Die L¨ange der Tour betr¨agt
c(π) = Xn
i=1
ciπ(i)
Man kann verschiedene Varianten des Problems betrachten:
• TSPENTSCHEIDUNG: Zur Eingabe geh¨ort eine nat¨urliche Zahlb. Gibt es inGeine Tour der L¨ange h¨ochstensb?
• TSPWERT: Bestimme die L¨ange einer k¨urzesten Tour inG.
• TSPTOUR: Bestimme eine Tour minimaler L¨ange inG. Zeigen Sie:
a) Wenn es einen polynomiellen Algorithmus f¨ur TSPENTSCHEIDUNG g¨abe, so k¨onnte man diesen benutzen, um auch TSPWERT in Polynomialzeit zu l¨osen.
b) Wenn es einen polynomiellen Algorithmus f¨ur TSPWERT g¨abe, dann g¨abe es auch einen polynomiellen Algorithmus f¨ur TSPTOUR.
Aufgabe 2: 5 Punkte
Ein Spezialfall des in der Vorlesung vorgestellten SAT–Problems ist HORNSAT: Wir nennen eine Klausel eine Hornklausel, falls sie maximal ein positives Literal enth¨alt, also z.B.:(x2∨x3),(x1∨ x2∨x2∨x4),(x1).
HORNSAT: Gegeben eine Konjunktion von Hornklauseln. Gibt es eine erf¨ullende Belegung?
Zeigen Sie: HORNSAT ∈ P.
Aufgabe 3: 1 + 1 + 4 Punkte
Ein Problem, f¨ur das eine DTM bzw. NDTM existiert, deren Platzbedarf auf dem Band polynomiell in der L¨ange des Inputs beschr¨ankt ist, liegt in PSPACE bzw. NPSPACE.
Zeigen Sie:
a) PSPACE⊆NPSPACE b) P⊆PSPACE
c) NP⊆PSPACE
Tipp zu c): Verwenden Sie Satz 14.13 der Vorlesung.
