Dishrete Mathematic

(1)

Dishrete Mathematic

Vorlesung ⁹

Steffen Reith

20.12.17

(2)

@

Bsjfi

Mit

Tn=a8

²

^al

^aln

^}

^bezeichueu ^air ^die ^{Menge do}

Teilv von ⁿ

Also

Tzg

⁼ ^21,2 ^, ^4,7 , 14,28 }

)

TG

⁼ { 1. 2,3 _, ⁶ }

0

Tg= 21,5

}

Sei _{Tcu )} ⁼

deg

ftp.ng

^. ^Ein ^Zahl ⁿ

^heipt

^voHhomme_ ^,

weuu TH =h . Also ist ₂₈ _vollkommeu .

Aufgabe

^: ^Sudan Sievollhoumeue ^Zahleu ^.

Def_

⁽ ^u Gauss ^"

)

^: ^Sei ^men _, ^mx2 _,

daundefiuioeu

^wir ^In ^EZXZ

wit _× _any

gdu

^mlx ^-

_y

^.

(3)

tiblicherweise

schreibt man

x±y

^modem

@

odo

x±y

⁽ ^m ⁾ ^stall

X±uy

⁽ Sprechweisc ^:

xkowgrueutg ⁾

^.

Lemmen

^Sei ^men ^and ⁱⁿ ^>i2 , dauu ist _=m A'

quivaleuz

^relation

Bennie

^DIY ^. ^#

Bene

^Die ^'^A

quiraleuz

^Hassen ^[ ^a

]=n ^huipeu Resthlasseu

^modm

and

Zm

^ist ^die _Menge ^alla

Resthlasseu

^modm _, ^d. ^h^.

Zm

_=deg

^{

^[ ^a

]=u

_, ¹ ⁰ ^Each

^}

⁽ Alternative Schreibweise ^:

Z/mZ

^odv ^21cm ⁾

)

(4)

Folgeude

Aussageusind ^aquivaleut

^" ^: ³

i,

X=my

ii , X±g ^modm

iii , es

gibt

^ein

qeZ

^unit

x=qmty

iv_, × and

g ^{lassen bei} ^d. Division durohm deu gleicheu ^Rest

4.1 , Weiter

algebraisehesbuhtureu

Def

^: ^sine

Algebra R=CR

_, ^t ,

•

)

^von

Typ

⁽ ^2,2⁾

heift Ring

^, ^weun

i_, (

Rit )

line abelsche

Gruppe

^ist ,

ii , ( R

,

.

)

^line

Halbgruppe

^it ^und

(5)

4

iii ,

f.

^a. ^a. ^b. ^ceR

gilt

. a.( bed ^aabtac

} Tjistoibutivgesette

• ( ât b) â ^c ⁼ Â' ^c ^t ^'^b. ^c

Test _,_, ^. ^" kouimutativ _, _so

heipt R kommutativvriug

^und ^ex ^.

iiu neutral ^es Element

fir

^" ^. ^" ^, ^dauu

^heipt ^R _Ring

^unit ^fins

⁽

element

)

^,

Bspti

^.

⁽

² , + ,

.

)

^ist kommutativv

Ring

^unit ^aus

•

Die

_Menge ^aller

reellwertigeu

^uxu ^Matviceu ^unit

Matrix ^addition ^- and

multiplication

^sind ^ein Ring unit

fins

.

(6)

5

Def

^: ^Eu

^Algebra ^F=

^LF ^, ⁺^, ^.

⁾ ^heipt Kiper

⁽

eugl

^. ^Field

⁾

^,

we " "

i, ( F_, ⁺_, ^.

)

ⁱⁿ

Ring

^it ^and

ii, I Filo } _, ^•

)

^it ^line

^abelsche _Gruppe

^.

Bsf

^:

^#

^it ^, ^.

⁾

^, ^{( R} ^, ^t ^, ^. ⁾ ^, ⁽ ^Q ^it ^, ^.

⁾

^und

⁽ ^Zz

^, ^t ^, ^.

⁾

^Sind

Kaper

( ^IH _, + _, ^.

) ^it heiukorpv

⁽ ^souderu ^ein

Schiefhorper )

4.1 ,

Resthlasscuriuge

Def

^: ^Sir ^n'

21

^dam

. [ ^a

]=n@ b]±m=deg ^[

^[ ^at

^b]±n

.

[

^a

]=mO

^[

^b]±m

⁼ _def ^[ ^a

'b]=m

(7)

6

Sake

^Die

Resthlasseuverhuipfuugeu

^Sind

wohldefiuiot

^, ^d. ^h ^.

fir

^mm ând â. â ^'^, ^b. ^{b 'e} ²

gilt

^:

Weuu ^a±a ^' modem ^and be b^' modem

, dauu

gilt

^and

• [ ^at an

b)

⁼ E ^a ^'tb ^'

]±m

5×€

. [ ^a. b] _an ⁼ ^[ ^a ^' ^. ^b^'

]=u

Bewig

^DIY

#

korollari

^Sci ^mx ² ^, ^dauu ^ist

(

Zn _, +0,0

)

^ein kommotativen

Ring

^unit ^Gus ^{, ,}

Resthlasseu ring

^modulo ⁱⁿ

"

(8)

n Hackers delight^" ^4.2 ^,

Dergronpkgemeiusameteiler

⁷

Def

^: ^Seieu

^aib

^EZ ^wit ^laltlbl ^¥0 ^, ^dauu

heiptdugropte

Zahl

get

^hit

gla

^und

glb

dvgrdpkgemeiusaweteilvouauudb

₍ Schreibweise :

ggT(

^a.

^b) 1gal

⁽ ^a^, ^b)

⁾

Weitohin see^'

ggtl

^0,01=0

a. b

6 ^-

# Zwei

Zahleuheipeu teitofremd_

⁽ ^,

^pen Fin

^r

^# ⁾

^, ^weuu

t.DE#gEb.ytg..oYYAskhIfReaeuregehpideuggT)Fuiauea.be2gieti,ggTla.b1=ggTl

b.

a)

"

Fife

ⁱⁱ^,

^ggtla

^,

^b)

⁼

^ggtl

^- ^a.

^b) ^=ggT(

^a^, ^-

^b)

⁼

^ggtta

^, ^-

^b)

ggTlFuEt=Fgg*nm

) iii _,

ggT(

^a^,

^b)

⁼

ggtlatbc

^,

b)

(9)

Bevis

^: ⁸

-

i , siehe

libung

ii ,

Offeusichtlich gilt ^Ta=Ia

^.

^Darcus agibt

^sick

ggT(

^a ^,

^b)

⁼ ^max ⁽ ^Tanis

⁾

⁼ ^max ⁽ ^Ian

^Ty

⁾ ⁼

max (

Tunis ⁾

⁼ ^max ⁽

Ian Is )

iii ,

take

ggT(

^at ^be ^,

^b) =ggTl

^a. ⁰⁾ ⁼

ggtca

^, ^b) ⁼ ^a

TaHb€O=

6

gilt

^#

^Ty

^< ^a ^, ^d. ^h^. ^auoh ^#

^Hand ⁾

< ^oo and #

( ^Tsn Tube ⁾

^to

Dir

Zeiger Tan Ty

⁼

^Tb

ⁿ

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