AnalysisIII–Gew¨ohnlicheDifferentialgleichungen A

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Hieber

Robert Haller-Dintelmann Tobias Hansel

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

A

Analysis III – Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Ferien¨ ubung

Aufgabe 1

Finden Sie L¨osungen f¨ur die folgenden Anfangswertprobleme und geben Sie die maximalen Existenzintervalle der L¨osungen an:

(a) y⁰(t) =te^t, t∈R, y(0) = −1, (b) y⁰(t) =y²(t) + 1, t∈R, y(^π₄) =−1,

(c) y⁰(t) = cos(t)y(t) +t²e^sin(t), t∈R, y(π) =−1, (d) y⁰(t) =e^{t−y(t)−ey(t)}, t∈R, y(1) = 0,

(e) y⁰(t) =−y(t) +t², t∈R, y(0) = 10.

Aufgabe 2

Es sei f : [a, b]×R → R stetig. Zeigen Sie: Sind y₁, y₂ : [a, b] → R L¨osungen von y⁰(x) = f(x, y), x ∈[a, b], so ist auchy= max{y₁, y₂}eine L¨osung derselben Differentialgleichung.

Aufgabe 3

Gegeben sei die Differentialgleichung y⁰(t) = 1 +^y(t)_t .

(a) Zeigen Sie: Ist y(t) eine L¨osung auf (0,∞), so ist −y(−t) eine L¨osung auf (−∞,0).

(b) Berechnen Sie alle auf (0,∞) definierten L¨osungen.

Aufgabe 4

Sei f : R×R → R eine stetige Funktion, die einer lokalen Lipschitzbedingung gen¨ugt.

Ferner sei f in der ersten Komponente periodisch mit Periode k, d.h f(t+k, y) =f(t, y) f¨ur alle (t, y)∈R×R.

Sei u :R→R eine globale L¨osung der Differentialgleichung y⁰(t) =f(t, y). Weiterhin gibt es ein t₀ ∈R mit u(t₀+k) =u(t₀). Zeigen Sie, dassu periodisch mit Periode k ist.

Aufgabe 5

Beweisen Sie, dass das Anfangswertproblem

y⁰(t) =t−y²(t), y(0) = 0

auf einem Intervall der Form [−α, α] mit α >0 eine eindeutige L¨osung u besitzt.

Aufgabe 6

Gegeben sei das Anfangswertproblem

y⁰(t) = tsinp

1 +y(t)², t∈R, y(0) = 1.

Zeigen Sie:

(a) Es existiert ein Intervall I ⊂Rmit 0∈I so, dass das Anfangswertproblem genau eine L¨osung y:I →R besitzt.

(b) Die L¨osung aus (a) gen¨ugt der Absch¨atzung

|y(t)−1| ≤ t²

2, t∈I.

(Hinweis: Benutzen Sie die ¨Aquivalenz der Differentialgleichung mit ihrer Integraldar- stellung).

(c) Die L¨osung y aus Teil (a) ist gerade, d.h. es gilt y(−t) =y(t) f¨ur allet∈I. Aufgabe 7

Es sei f ∈C¹(R) und u(t, λ),(t, λ)∈R², die L¨osung des Anfangswertproblems y⁰(t) =y(t) +f(λt), y(λ) = λ.

Berechnen Sieu_λ(t, λ),

(a) durch Differenzieren der L¨osung,

(b) durch Differenzieren der Differentialgleichung nach λ und L¨osen des Anfangswertpro- blems f¨uruλ.

Hinweis: u_λ bezeichnet die Ableitung von ubzgl. λ.

Aufgabe 8

Betrachten Sie das 2-dimensionale lineare System

y⁰(t) = Ay(t), t≥0, y(0) = x,

wobei A=

−2 1 0 −2

und x∈R².

(a) Berechnen Sie explizit die L¨osung u des Anfangswertproblems.

(b) Skizzieren Sie das Phasenbild der Differentialgleichung y⁰(t) = Ay(t).

Aufgabe 9

Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem f¨ur das System y⁰(t) = Ay(t), wobei A=

1 −3

3 1

.

Aufgabe 10

(a) Geben Sie eine L¨osung u des Anfangswertproblems

y⁰(t) =Ay(t), y(0) =



 1 0 1



 (1)

an, wobei A =





−1 1 2

0 −3 4

0 0 −1



und y(t) =



 y₁(t) y₂(t) y₃(t)



.

(b) Wieviele L¨osungen besitzt das Anfangswertproblem (1)? Begr¨unden Sie Ihre Antwort!

(c) Entscheiden Sie, ob jede L¨osung der Gleichung y⁰(t) = Ay(t), wobei A wie in (a), stabil, asymptotisch stabil oder instabil ist.

Aufgabe 11

Bestimmen Sie f¨ur die folgenden MatrizenA, ob die Nulll¨osung f¨ur das Systemy⁰(t) = Ay(t) stabil, asymptotisch stabil oder instabil ist.

a) A=





2 1 0

3i−6 i−3 0

0 0 i



 b) A=





3i− ¹₂ 0 ¹₂

0 −2 0

−¹₂ 0 3i+ ¹₂





Aufgabe 12

Geben Sie f¨ur die folgenden linearen Systeme das Phasenpotrait an und bestimmen Sie jeweils das Stabilit¨atsverhalten der Nulll¨osung.

(a) x⁰(t) = 2x(t), y⁰(t) = 4x(t) +y(t).

(b) x⁰(t) =−4x(t) + 3y(t), y⁰(t) =−2x(t) +y(t).

(c) x⁰(t) =−x(t)−2y(t), y⁰(t) = 4x(t)−5y(t).

(d) x⁰(t) = 2x(t)−4y(t); y⁰(t) = 2x(t)−2y(t).

Aufgabe 13

Untersuchen Sie die kritischen Punkte der autonomen Differentialgleichung y⁰(t) = (y(t)−1)(y(t)−2)(y(t)−3)

auf ihr Stabilit¨atsverhalten.

Aufgabe 14

Untersuchen Sie jeweils die Nulll¨osungen der gest¨orten Systeme y⁰(t) = Ay(t) +f_j(t) mit A=

0 −1

1 0

und f_j :R² →R² (j ={1,2,3}) (i) f₁(y₁, y₂) = (−y₁³−y₁y²₂,−y₂³−y₁²y₂)^T (ii) f₂(y₁, y₂) = (y₁³+y₁y²₂, y³₂+y²₁y₂)^T (iii) f₃(y₁, y₂) = (−y₁y₂, y₁²)^T

auf ihr Stabilit¨atsverhalten. Verwenden Sie dazu die Ljapunov-Funktion L(x) := ¹₂|x|². Warum l¨asst sich hier nicht das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at anwenden?

Aufgabe 15

Gegeben sei das Gradientensystem

y⁰(t) = −∇g(y(t)),

wobei g : R² → R durch g(y₁, y₂) = y₁⁸ + 5y₁⁶+ 2y⁴₁ + 3y₁²+ 7y⁴₂ + 2y₂² gegeben ist. Zeigen Sie, dass die Nulll¨osung asymptotisch stabil ist.