Hochschule f¨ur Technik und Wirtschaft Dresden Sommersemester 2019 Fakult¨at Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Mathematik 2 (Studiengang Produktionstechnik)
¨
Ubungsblatt 1
Aufgabe 1: (Wiederholung zu dem Thema Taylor-Polynome)
a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom 3. Grades f¨ur die Funktion f (x) = x · cos x an der Stelle x0 = 0.
b) Unter bestimmten Bedingungen ist die Luftreibungskraft, die auf einen fallenden K¨orper wirkt, propor-tional zur Geschwindigkeit des K¨orpers. In diesem Fall wird die Geschwindigkeit v(t) (t: Zeit) eines senkrecht fallenden K¨orpers mit Hilfe der Formel
v(t) = u(1 − e−t/τ) u = mg k , τ = m k , k : Reibungskoeffizient berechnet.
F¨ur kleine Zeiten t kann anstelle dieser Formel eine N¨aherungsformel zur Berechnung der Geschwindig-keit verwendet werden. Diese N¨aherungsformel entsteht, indem v(t) durch das Taylor-Polynom 1. Grades an der Stelle t0= 0 ersetzt wird. Wie lautet die N¨aherung f¨ur v(t) ?
Aufgabe 2:
Hinweis: zu dem Thema “partielle Ableitungen” siehe Skript zur Vorlesung Mathematik 1, Abschnitt 4.3 Berechnen Sie f¨ur die folgenden Funktionen alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung. Die entstehenden Aus-dr¨ucke sind so weit wie m¨oglich zu vereinfachen.
a) f (x, y) = 2xy2− x3+ sin y b) f (x, y) = e−x+2y c) f (x
1, x2) =p4x21+ x1x2 d) f (x, y) = ln(x3+y3) e) I(R1, R2) = I0 R2 R1+ R2 f) g(x, t) = x − 2t 2x + t g) f (t, ϕ) = A sin(ωt+ϕ)
Aufgabe 3: (Vorbereitung zu dem Thema Integralrechnung)
a) Sei α ∈R, α 6= 0. Wie lautet die erste Ableitung f0(x) der Funktion a1) f (x) = xα a2) f (x) = sin(αx) a3) f (x) = cos(αx) ?
b) Verwenden Sie die Ableitungsformeln aus Teilaufgabe a), um jeweils eine Funktion F (x) zu finden, deren Ableitung F0(x) folgendermaßen lautet:
b1) F0(x) = 3x2 b2) F0(x) = x2 b3) F0(x) = x5 b4) F0(x) = cos x b5) F0(x) = 3 cos(3x) b6) F0(x) = cos(3x) b7) F0(x) = sin x b8) F0(x) = − sin(5x) b9) F0(x) = 2 sin(5x) .
