In der Statik geht es darum, die inneren Kräfte und Verformungen statischer Systeme unter der Einwirkung von äußeren Kräften zu berechnen.

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Kapitel 1

Statik

Genauer: In der elementaren Statik¹betrachtet man Systeme, die typischerweise aus miteinander verbunde- nen Gewichten, Rollen, Seilen etc. bestehen. Belastet man ein solches System mit äußeren Kräften in Form von Gewichts- oder anderen Kräften, dann reagiert es darauf mit inneren Kräften und mit Verformungen.

Ein an der Decke befestigtes Seil wird etwa durch ein angehängtes Gewicht und eine zusätzliche am Ge- wicht angreifende horizontale Kraft unter Spannung gesetzt und aus der Vertikalen ausgelenkt („verformt“).

Das Ziel der Statik ist es, alleinneren Kräfte– also die Kräfte, die jeder Teil des Systems auf jeden anderen Teil ausübt – sowie die Positionen aller Teile des Systems, seine „Gleichgewichtskonfiguration“, unter dem Einfluss der äußeren Kräfte zu berechnen.

Die Methode hierfür ist das Prinzip desKräftegleichgewichts. Dazu schreibe man für jeden Teil des System die Gleichung hin, die das Gleichgewicht aller an ihm angreifenden Kräfte ausdrückt und baue dabei alles mit ein, was über die Kräfte schon bekannt ist: äußere Kräfte sind i.a. vollständig gegeben, von inneren Kräften meist die Richtungen etc. Auf diese Weise erhält man ein Gleichungssystem (GLSys), das den Zu- sammenhang zwischen Gleichgewichtspositionen, inneren und äußeren Kräften für das betrachtete System vollständigbeschreibt. Je nach gegebener konkreter Fragestellung kann man dieses nun nach den gesuchten Größen auflösen. Das Auflösen ist einfach, wenn nur die inneren Kräfte gesucht sind, denn in diesen ist das GLSys immer linear. Schwieriger ist das Auflösen nach der Gleichgewichtskonfiguration eines verformbaren Systems, da das GLSys in den Konfigurationsvariablen (Orte, Winkel, etc.) i.a. nichtlinear ist.

Grundsätzlich gibt es also keine Schwierigkeiten bei der Behandlung eines statischen Systems, denn prinzipiell sindallephysikalisch sinnvollen Probleme durch Aufstellen und Lösen des GLSys aller Kräftegleich- gewichte lösbar. Meist ist es allerdings gar nicht nötig, dasgesamteGLSys aufzustellen, sondern nur den für die konkrete Fragestellung relevanten Teil, der oft viel kleiner sein kann. Welcher das ist, ist bei einem kom- plexen System und einer „verwickelten“ Fragestellung nicht immer einfach zu sehen und erfordert etwas Erfahrung und Übung. Daraus entsteht die subjektiv empfundene Schwierigkeit mancher Statikaufgaben.

Die Aufgaben zur Statik beginnen mit dem einfachsten Fall, nämlich der Bestimmung der inneren Kräfte in 1d Systemen, und gehen dann weiter über die Bestimmung der inneren Kräfte in 2d Systemen gegebener Konfiguration bis hin zum allgemeinen Fall der Bestimmung der inneren Kräfte und Verformungen in 2d Systemen. (Der 3d Fall bringt nichts wesentlich Neues und wird hier nicht betrachtet.)

In Aufgabe 1.1 wird ein sehr einfaches statisches System betrachtet, in dem alle inneren Kräfte ohne Rech- nung „intuitiv“ gesehen werden können. Die Aufgabe dient hauptsächlich zum „Warmwerden“ und um auf einige wichtige Punkte aufmerksam zu machen. Dasselbe System wird in Aufgabe 1.2 erneut betrachtet, diesmal aber systematisch analysiert in einer Art, die auf komplexere Systeme übertragen werden kann.

Aufgabe 1.3 behandelt den Flaschenzug gemäß der in 1.2 dargestellten systematischen Vorgehensweise.

Das in Aufgabe 1.4 betrachtete „rückgekoppelte“ System ist komplex genug, um auf den ersten Blick Kopf- zerbrechen zu bereiten, ist aber systematisch ganz geradeaus lösbar.

In Aufgabe 1.5 werden die inneren Kräfte in nicht verformbaren 2d Systemen bestimmt. Rein physikalisch gibt es dabei nichts Neues, allerdings sind die Kräfte nun Vektoren.

1In diesem Kapitel wird nur die „elementare Statik“ behandelt, d.h. alle vorkommenden Körper werden als punktförmig betrachtet und können im Raum nur verschoben, aber nicht gedreht werden. Daher kommen hier keine Drehmomente vor, sondern nur Kräfte.

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In Aufgabe 1.6 wird ein verformbares 2d System betrachtet, dessen Gleichgewichtskonfiguration bestimmt werden soll. Obwohl die Gleichgewichtsbedingung wie in diesem Fall üblich nichtlinear ist, ist das System einfach genug um es exakt lösen zu können.

In Aufgabe 1.7 wird an einem etwas komplizierteren Beispiel eines verformbaren 2d Systems die Anwendung von Näherungsmethoden bei der Auflösung der Gleichgewichtsbedingung demonstriert.

Zusammenfassung:Das Ziel der Statik ist die Berechnung der Gleichgewichtskonfiguration und / oder der inneren Kräfte von statischen Systemen unter dem Einfluss von gegebenen äußeren Kräften. Dazu muss das Gleichungssystem aufgestellt werden, das die Kräftegleichgewichte an allen relevanten Teilen des Systems formuliert. Das Auflösen des GLSys nach den Kräften bei bekannter Konfiguration ist immer exakt möglich (GLSys linear), das Auflösen nach den Konfigurationsvariablen kann hingegen schwierig sein (GLSys nichtlinear wegen Pythagoras-Wurzeln und Winkelfunktionen).

Aufgabenliste:

1.1 „Türmchen“: Es wird ein sehr einfaches System und die in ihm wirkenden Kräfte betrachtet.

1.2 „Türmchen“ 2: Anhand des Systems aus Aufgabe 1.1 wird das systematische Vorgehen zur Bestimmung der inneren Kräfte vorgestellt.

1.3 Seile, Rollen, Flaschenzüge: Das systematische Vorgehen wird auf den Flaschenzug angewendet.

1.4 Rückgekoppeltes System: Das systematische Vorgehen wird auf ein auf den ersten Blick verwirrendes System angewendet.

1.5 „Fadenkreuz“ und schiefe Ebene: Bestimmung der inneren Kräfte in 2d nicht-verformbaren Systemen.

1.6 Pendel mit Störkraft: Bestimmung der inneren Kräfte und der Gleichgewichtskonfiguration eines 2d verformbaren Systemen.

1.7 Pendel mit Störgewicht: Bestimmung der Gleichgewichtskonfiguration eines 2d verformbaren Syste- men mit Näherungsmethoden.

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Aufgabe 1.1 „Türmchen“ (1/99)

Auf dem ErdbodenBliegt das GewichtG₁= 30 Nund auf diesem das GewichtG₂ = 20 N.

G₁ G₂

B

(a) Welche KraftFBwird von diesem „Türmchen“ auf den Boden ausgeübt?

(b) Welche KraftF₂₁wird vonG₂aufG₁ausgeübt? Welche KraftF₁₂vonG₁aufG₂? (c) Welche KraftF₂Bwird vonG₂auf den Boden ausgeübt? Welche vonG₁?

(d) Geben Sie alle Kräfte an, die von den drei TeilenG₁, G₂undBdes betrachteten System aufG₁ausgeübt werden.

Die Summe dieser Kräfte ist nicht null. Warum istG₁trotzdem im statischen Gleichgewicht?

Worum es in dieser Aufgabe geht:

Das Thema der Statik ist die Bestimmung der Kräfte, die in Systemen im statischen Gleichgewicht wirken. Hier wird ein einfaches Beispiel betrachtet, bei dem man diese Kräfte praktisch ohne jede Rechnung sofort „sehen“

kann. In der folgenden Aufgabe 1.2 wird dasselbe System dann systematischer behandelt.

(a)

FB = −(G1+G₂) = −50 N (1) Beachten Sie, dass eine Kraft Betragund Richtunghat, daher ist das korrekte Vorzeichen wesentlich!

(b)

F₂₁ = −G₂ = −20 N (2)

Wegen der entgegengesetzten Gleichheit von Kraft und Gegenkraft („actio=reactio“) folgt daraus

F₁₂ = −F₂₁ = G₂ = 20 N (3)

(c)Beachten Sie, dass nicht nach dem Beitrag vonG₂zur Gesamtkraft gefragt ist, die auf den Boden ausgeübt wird. Es ist nur nach der KraftF_2Bgefragt, dieG₂selbst, direktauf den Boden ausübt. Diese ist

F_2B = 0 (4)

denn zwischenG₂ und dem Boden besteht kein direkter Kontakt. Natürlich wirktG₂viaG₁indirektauf den Boden.

Daher ist

F_1B = −(G₁+G₂) = −50 N (5) und nicht etwaF_1B =−G₁=−30 N.

(d)

F₁₁ = 0 , F₂₁ = −20 N , F_B1 = 50 N (6)

Beachten Sie, dassF₁₁ = 0ist, denn kein Körper übt auf sich selbst eine (Netto-)Kraft aus. Die Gewichtskraft vonG₁ kommt nicht „aus sich selbst“, sondern wirdvon außen, nämlich von der Erde ausgeübt, die nicht zum hier betrachteten System gehört. Daher kannG₁im statischen Gleichgewicht sein, obwohl die Summe der Systemkräfte aufG₁nicht null ist, sondern30 N: Es gibt zusätzlich noch die äußere KraftFext,1 = −G₁ = −30 NaufG₁ („ext“ = extern). Damit verschwindet die Gesamtkraft aus inneren und äußern Kräften aufG₁, undG₁ist insgesamt im Gleichgewicht.

Was man aus dieser Aufgabe mitnehmen soll:

• Kräfte haben nicht nur Beträge sondern auch Richtungen, die in 1d durch Vorzeichen dargestellt werden.

• Kräfte wirken i.a. nur zwischen Körpern, die in direktem Kontakt stehen. (Ausnahmen: „Fernkräfte“ wie Schwerkraft, Magnetismus etc.)

• Kräfte auf einen Körper können von anderen Teilen des betrachteten Systems (innere Kräfte) oder von außerhalb (äußere Kräfte) ausgeübt werden.

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Aufgabe 1.2 „Türmchen“, die Zweite (2/99)

Auf dem ErdbodenBliegt das GewichtG1und auf diesem das GewichtG2.

G1

G2

B

Im Folgenden sollen die Kräfte zwischen allen Teilen des Systems bestimmt werden, und zwar unter bewusster und expli- ziter Anwendung der Prinzipien des Kräftegleichgewichts, der Additivität der Kräfte und der entgegengesetzten Gleich- heit von Kraft und Gegenkraft („actio=reactio“).

(a) Schreiben Sie die Gleichung für das Gleichgewicht aller Kräfte anG2hin und bestimmen Sie darausF12undF21. (b) Schreiben Sie die Gleichung für das Gleichgewicht aller Kräfte anG1hin und bestimmen Sie darausFB1undF1B.

(c) Verschaffen Sie sich einen vollständigen Überblick über alle Kräfte, die die Teile des Systems aufeinander aus- üben, indem Sie die Ergebnisse von (a) und (b) und die restlichen Kräfte in eine quadratische Tabelle („Matrix“) eintragen:

G1 G2 B G1

G2

B

In Zeilei, Spaltejsoll dabei die KraftFijstehen, die der Körperiauf den Körperjausübt. Welche Bedeutung haben die Zeilen dieser Matrix, welche die Spalten? Warum ist die Matrix antisymmetrisch, d.h. warum istFji=−Fij? (d) Wiederholen Sie die Rechnung in (a) und (b) in etwas kürzerer Weise, indem Sie benutzen, dass dieRichtungen

aller gesuchten Kräfte schon von vornherein klar sind und man eigentlich statt 4 Kräften nur 2 Kraftbeträgesucht, nämlich „die Kraft“ zwischenG1undG2bzw. zwischenG1undB. Kürzen Sie dazu den Betrag vonF12mitXund den Betrag vonFB1mitY ab, und setzen Sie in den Gleichungen für die Kräftegleichgewichte die Vorzeichen von XundY (d.h. die Kraftrichtungen) von Hand.

In einfachen Systemen kann man die Kräfte mit ein wenig Nachdenken sofort „sehen“. Bei komplexeren Syste- men ist das nicht möglich. Um die Kräfte zu bestimmen, muss man daher i.a. die Gleichungen für die Kräfte- gleichgewichte an den relevanten Teilen des Systems aufstellen und lösen. Für das hier betrachtete eher triviale System ist dieser Aufwand eigentlich unnötig, dient aber zur Darstellung des allgemeinen Vorgehens an einem einfachen Beispiel. Hinweis: Beachten Sie, dass Gewichte immer positive Zahlen sind, Gewichtskräfteaber Rich- tungen haben (i.a. nach unten).

(a)Die Gleichung für das Kräftegleichgewicht anG2lautet

−G2+F12 = 0 (1)

Genauer und besser bezeichnet man dies eigentlich als die Gleichung fürverschwindende GesamtkraftaufG2. Dabei ist die Gesamtkraft gemäß der Additivität der Kräfte die Summe der Einzelkräfte. Aus der Gleichung folgt

F12 = G2 (2)

F21ergibt sich daraus per „actio=reactio“:

F21 = −F12 = −G2 (3)

(b)Als nächstes das Kräftegleichgewicht bzw. die Gleichung für verschwindende Gesamtkraft aufG1:

−G1+F21+FB1 = 0 (4)

DaF21schon bekannt ist, folgt hieraus

FB1 = G1−F21 = G1+G2 (5)

F1Bergibt sich daraus per „actio=reactio“:

F1B = −FB1 = −(G1+G2) (6)

Damit sind alle Kräfte zwischen den Teilen des Systems bestimmt.

Beachten Sie, dass in den beiden Gleichungen für die Kräftegleichgewichte die Richtungen der äußeren Kräfte−G1und

−G2durch die negativen Vorzeichen von Hand eingebaut wurden, aber über die Richtungen vonF12, F21undFB1nichts

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vorausgesetzt ist! Das+-Zeichen vor diesen Kräften bedeutetnicht, dass sie nach oben gerichtet sind, denn die Werte vonF12, F21undFB1selbst können immer noch positiv oder negativ sein. Was davon zutrifft, ergibt sich alsResultatder Rechnung.

Zusammenfassung von (a) und (b): Wir haben die Kräfte im System sukzessive ausgehend vonG2 bestimmt: Aus der Bedingung für Kräftegleichgewicht anG2folgt die UnterstützungskraftF12. Daraus folgt per „actio=reactio“F21. Aus der Bedingung für Kräftegleichgewicht anG1folgt dannFB1, und daraus per „actio=reactio“F1B.

(c)

G1 G2 B

G1 0 G2 −(G1+G2)

G2 −G2 0 0

B G1+G2 0 0

Bedeutung der Zeilen: In der Zeileistehen alle Kräfte, die der Körperiauf das System ausübt. Bedeutung der Spalten: In der Spaltejstehen alle Kräfte, die vom System auf den Körperjausgeübt werden.

Die Summe aller Kräfte in einer Spaltejgibt die Gesamtkraft an, die vom betrachteten System auf den Körperjaus- geübt wird. Man beachte: Dies müssen nichtalleKräfte sein, die aufjwirken, denn es können noch Kräftevon außen hinzukommen, hier z.B.−G1von der Erde auf das GewichtG1etc. Würde man die Erde zum betrachteten System hin- zunehmen und die Kräftematrix entsprechend erweitern, dann würde die Kraftsumme in jeder Spalte verschwinden, so wie es für ein abgeschlossenes System im statischen Gleichgewicht sein muss.

Die AntisymmetrieFji =−Fijder Kräftematrix ist der mathematische Ausdruck des Prinzips „actio=reactio“, genauer:

der entgegengesetzten Gleichheit von Kraft und Gegenkraft.

(d)WennXdenBetragder Kraft zwischenG1undG2bezeichnet, dann ist die Bedingung für Kräftegleichgewicht anG2:

−G2+X = 0 (7)

Denn aufG2 wirkt die Kraft mit BetragG2 nach unten und die Kraft mit dem BetragXnach oben. Die Lösung dieser Gleichgewichtsbedingung ist:

X = G2 (8)

WennY den Betrag der Kraft zwischen Boden undG1bezeichnet, dann ist die Bedingung für Kräftegleichgewicht anG1:

−G1−X+Y = 0 (9)

Denn aufG1wirkt die Kraft mit dem BetragG1nach unten, die Kraft mit dem BetragXebenfalls nach unten und die Kraft mit dem BetragY nach oben. Die Lösung dieser Gleichgewichtsbedingung ist:

Y = G1+X = G1+G2 (10)

Die Kraftbeträge zwischenG1undG2bzw. zwischenG1undBsind also:

X = G1 , Y = G1+G2 (11)

und die Kräfte:

F12 = X = G2 , F21 = −X = −G2 (12) bzw.

FB1 = Y = G1+G2 , F1B = −Y = −(G1+G2) (13)

• Das Aufstellen von Gleichungen für Kräftegleichgewichte bzw. verschwindende Gesamtkraft an allen Tei- len des betrachteten Systems ist die systematische Methode zur Lösung aller statischen Aufgaben.

• Die komplette Liste aller Kräfte zwischen den Teilen eines Systems kann man übersichtlich als antisym- metrische Kräftematrix(Fij)schreiben.

• Wenn man mit Kräften rechnet, dann erhält man deren Vorzeichen (Richtungen) als Resultat der Rech- nung. Wenn man hingegen mit den Beträgen der Kräfte rechnet, dann muss man die Vorzeichen in den Gleichgewichtsbedingungen selber richtig setzen. Dafür ist bei dieser Vorgehensweise die Rechnung kür- zer, da auf das Wesentliche beschränkt.

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Aufgabe 1.3 Seile, Rollen, Flaschenzüge (3/99)

Im abgebildeten System ist das Seilaan der Decke befestigt und über eine lose und eine feste Rolle gelegt. Die feste Rolle ist an der Decke verankert, die lose Rolle ist durch das Seilbmit dem Boden verbunden. Am freien Ende vonawird mit der nach unten gerichteten KraftFgezogen.

a

b F

(a) Wie groß ist die SeilspannungTa?

(b) Stellen Sie das Kräftegleichgewicht für die lose Rolle auf, und bestimmen Sie daraus die SeilspannungTb.

(c) Geben Sie die Kräfte an, mit denen Seilaan der Decke, Seilbam Boden und die feste Rolle (über ihre Verankerung) an der Decke zieht.

(d) Geben Sie alle auf das Seilawirkenden Kräfte an und überzeugen Sie sich, dass es sich im Gleichgewicht befindet.

(e) Listen Sie alle Teile des betrachteten Systems auf und machen Sie sich klar, dass SiealleKräfte, die die Teile aufeinander ausüben, angeben könnten. (Sie brauchen die Kräfte nicht explizit hinzuschreiben, es genügt wenn Sie sehen, dass Sie es könnten.) Ist das System abgeschlossen?

Betrachten Sie nun das unten abgebildete System. Das GewichtGliegt auf dem Boden, während am freien Seilende des Flaschenzuges mit der nach unten gerichteten KraftFgezogen wird. Die Seile seien mita, bundcbezeichnet.

G F a b

c

(f) Bestimmen Sie die SeilspannungenTa, Tb, Tcund die KraftFBG, die der Boden auf das Gewicht ausübt.

(g) Könnten Sie auch für dieses System alle inneren und äußeren Kräfte angeben?

(h) Was geschieht mit der BodenkraftFBG, falls die Größe vonFden WertG/4übersteigt? Was bedeutet das?

(k) Am freien Seilende soll nun statt der KraftFdas GewichtG^′=G/4hängen. Wie groß sind die Kräfte in den Aufhän- gepunkten der Seile und der festen Rolle? Bilden Sie die Summe aller Aufhängekräfte, ist das Ergebnis plausibel?

In dieser Aufgabe werden einfache aus Seilen, Rollen und Gewichten bestehende Systeme betrachtet und die inneren Kräfte systematisch mit Hilfe von Kräftegleichgewichten aus den gegebenen äußeren Kräften berechnet. Plausibilitätstests wie in (k) erhöhen das Vertrauen in die Rechnung und in die angewandten Methoden.

Hinweise: Die Kraftwirkungen eines Seils sind durch seineSpannung T bestimmt. Die Spannung eines reibungsfrei geführten Seils im statischen Gleichgewicht ist entlang des Seils konstant und ist gleich dem Betrag der Kraft, die an den Endpunkten des Seils wirkt. Läuft ein Seil mit SpannungT über eine180^◦-Umlenkrolle, dann übt es auf die Rolle eine Kraft der Größe2Taus.

(a)Gemäß dem Hinweis ist die Seilspannung gleich dem Betrag der Kraft an den Endpunkten des Seils, also

Ta = |F| (1)

(Experimentell kann man dies überprüfen, indem man beliebiges Seilstück herausschneidet und durch einen Feder- kraftmesser ersetzt. Er zeigt dann die Spannung des Seils an.)

(b)Gemäß dem Hinweis übt das Seilaauf die lose Rolle die Kraft

Fa,lR = +2Ta (2)

aus. Das Seilbwirkt auf die lose Rolle mit der Kraft

Fb,lR = −Tb (3)

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Das Kräftegleichgewicht an der losen Rolle lautet also

2Ta−Tb = 0 (4)

Daraus und mitTa=|F|folgt

Tb = 2Ta = 2|F| (5)

Die Spannung von Seilbist also doppelt so groß wie die von Seilabzw. wie die ZugkraftF. (c)Es ist

Fa,D = −Ta = −|F| , Fb,B = +Tb = 2|F| , Ff R,D = −2Ta = −2|F| (6) (d)Auf das Seilawerden Kräfte ausgeübt am Anfang, am Ende und an den beiden Umlenkrollen. Genauer:

FD,a = |F| , Fext,a = −|F| , FlR,a = −2|F| , Ff R,a = 2|F| (7)

Die Kraft−|F|am Ende des Seils ist eine äußere Kraft („ext“ = extern). Alles addiert ergibt sich

Fa = FD,a+FlR,a+Ff R,a+Fext,a = 0 (8)

q.e.d.

(e)Das betrachtete System besteht aus 7 Teilen:

Decke , Boden , Fadena , Fadenb , lose Rolle , feste Rolle , Verankerung der festen Rolle

Die Kräftematrix des Systems ist also eine7×7-Matrix, deren Einträge in den vorangehenden Aufgabenteilen bestimmt wurden oder sich leicht durch Betrachtung der Kräftegleichgewichte an den jeweils relevanten Systemteilen bestimmen lassen. Das System ist nicht abgeschlossen, denn die KraftFauf das Seilakommt von außen, ebenso wirken auf Boden und Decke Kräfte von außen, damit sie im Gleichgewicht sind. Diese äußeren Kräfte lassen sich aber ebenfalls leicht angeben. (Man beachte, dass es etwas willkürlich ist, in wieviele Teile man ein System zerlegt. So könnte man etwa die feste Rolle und ihre Verankerung wie in (c) als ein einziges Teil betrachten etc.)

(f )Man kann sich wie in (a) und (b) ausgehend von der gegebenen KraftF„von außen nach innen“ vorarbeiten:

Ta = |F| (9)

2Ta−Tb = 0 ⇒ Tb = 2|F| (10)

2Tb−Tc = 0 ⇒ Tc = 4|F| (11)

Tc−G+FBG = 0 ⇒ FBG = G−4|F| (12) Das sieht vernünftig aus: Die SeilspannungenTa, TbundTcsind umso größer, je größer|F|ist. Die BodenkraftFBGistG wenn|F|= 0ist und wird bei zunehmendem|F|immer kleiner, daGdann immer mehr vom Flaschenzug getragen wird.

(g)Ja. Das System besteht aus 10 Teilen, seine Kräftematrix wäre daher etwas groß, aber man könnte sie und die äußeren Kräfte ohne Weiteres hinschreiben.

(h)Wenn|F|> G/4ist, wirdFBGnegativ. D.h. es ist dann einenach untengerichtete Kraft vom Boden auf das Gewicht nötig, um das System im Gleichgewicht zu halten. Eine solche Kraft könnte es nur geben, wenn das Gewicht am Boden angeschraubt, angeklebt etc. wäre. Ist das nicht der Fall, wird das statische Gleichgewicht aufhören und das Gewicht wird sich vom Boden lösen. Man kann also mit einer Zugkraft der GrößeG/4das GewichtGvom Boden heben und halten.

(k)WennG^′ = G/4ist, dann istTa = G/4undTb = G/2. Die Aufhängung der festen Rolle muss2Ta = G/2tragen.

Insgesamt wird also an der Decke mit einer Kraft der Größe

Tb+Ta+ 2Ta = 5G

4 (13)

nach unten gezogen. Das ist gleich der SummeG+G^′der beiden angehängten Gewichte, so wie man es erwartet.

• Systematisches Anwenden von Kräftegleichgewichten zur Bestimmung von unbekannten Kräften.

• Die in der Statik verwendeten Methoden scheinen zu funktionieren, denn sie liefern vernünftige Resultate.

• Konzept der Seilspannung, Kraft von Seil auf Umlenkrolle und umgekehrt.

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Aufgabe 1.4 Rückgekoppeltes System (4/99)

Im abgebildeten System beginnt der Fadenaam Boden, läuft über die lose und die untere feste Rolle und ist unten am GewichtGbefestigt. Der Fadenbverbindet das Gewicht über die obere feste Rolle mit der losen Rolle.

G a

b

(a) Bestimmen Sie die FadenspannungenTaundTb.

(b) Vielleicht haben Sie ein ungutes Gefühl und fragen sich, ob das Gewicht durch diese Konstruktion überhaupt fest aufgehängt sein kann. Auf den ersten Blick könnte man vermuten, dass die lose Rolle sich bis zum Anschlag nach oben bewegen undGzu Boden gehen könnte. Machen Sie sich klar, dass dies geometrisch nicht möglich ist.

Betrachten Sie nun die unten abgebildete Variante des Systems.

G a

b

(c) Bestimmen Sie die FadenspannungenTaundTb. Was fällt an den Ergebnissen auf? Was bedeutet das physikalisch?

(d) Machen Sie sich analog zu Aufgabenteil (b) klar, dass das Gewicht durch diese Konstruktionsvariante schon rein geometrisch nicht fest aufgehängt sein kann.

Sie werden in (a) bemerken, dass es nicht möglich ist, von bekannten Kräften ausgehend die unbekannten Kräfte schrittweise zu berechnen (wie in den bisherigen Aufgaben). Sie können die Spannung des Fadensbnicht bestimmen, ohne zu wissen, wie stark Fadenaam Gewicht nach unten zieht, und analog umgekehrt. Eine solche scheinbare logische Zwickmühle ist jedoch nicht ungewöhnlich und kann sehr leicht gelöst werden.

(a)Die gesuchten Fadenspannungen sind durch einGleichungssystembestimmt, das sich aus den üblichen Bedingungen für Kräftegleichgewicht an Gewicht bzw. loser Rolle ergibt:

Tb−G−Ta = 0 Tb−2Ta = 0

(1) Im Unterschied zu den früheren Aufgaben ist dies ein „echtes“ Gleichungssystem, d.h. es ist nicht in Dreiecksform. Es ist natürlich trotzdem sehr leicht zu lösen:

Ta=G , Tb= 2G (2)

(b)Soll das Gewicht um die Streckessinken, dann müsste die lose Rolle um dieselbe Streckessteigen, da sie über den Fadenbmit dem Gewicht verbunden ist. Der Fadenalässt dies aber nicht zu, da er sich zwar durch das Absinken des Gewichts ebenfalls ums„verlängert“, diese Verlängerung aber auf beide Seiten der losen Rolle aufgeteilt wird, die sich daher nur ums/2in die Höhe bewegen kann. Das Gewicht wird also durch das System getragen.

(c)Diesmal lauten die Bedingungen für Kräftegleichgewicht an Gewicht bzw. loser Rolle:

Ta−G+Tb = 0 Tb−2Ta = 0

(3) woraus folgt

Ta=−G , Tb=−2G (4)

Die Fadenspannungen sind also negativ. Das bedeutet physikalisch, dass die Fäden keinen Zug sondern einen Druck vom BetragGbzw.2Gaufbringen müssten, um das System im Gleichgewicht zu halten. Da Fäden dazu nicht imstande

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sind (im Unterschied zu starren Stangen), ist das System instabil und das Gewicht wird zu Boden gehen.

(d)Soll das Gewicht in der Variante aus (c) um die Streckessinken, so muss sich die lose Rolle ums/2nach unten bewegen. Dies ist ohne Weiteres möglich, da der Fadenbdurch das Absinken des Gewichts umsnachgibt und die lose Rolle um diese Strecke nach unten lässt. Es ist klar zu erkennen, dass das System dadurch zerfällt.

Halten Sie einen Moment inne und betrachten Sie das in (a) aufgestellte Gleichungssystem

Ta−Tb = −G 2Ta−Tb = 0

(5) etwas genauer. Machen Sie sich klar, dass es sich hierbei nicht nur um „irgendein“ Gleichungssystem handelt, das zur Beantwortung der gegebenen Frage aufgestellt wurde, sondern dies istdasGleichungssystem, das das betrachtete physikalische System hinsichtlich der Kräfte vollständig mathematisch beschreibt und „in Mathematik abbildet“. Um dies zu verdeutlichen, wurde das Gleichungssystem hier in einer etwas strukturierteren Form als in (a) geschrieben. Man erkennt: Es handelt sich um ein inhomogenes lineares Gleichungssystem für die FadenspannungenTa, Tb, wobei die äu- ßere Belastung−Gdie Inhomogenität darstellt. Die „Verdrahtung“ des betrachteten physikalischen Systems wird durch die Koeffizientenmatrix auf der linken Seite des GLSys abgebildet. In Matrix-Vektor-Schreibweise lautet das GLSys

1 −1 2 −1

! Ta

Tb

!

= −G 0

!

(6) wodurch die physikalisch-mathematische Struktur noch deutlicher erkennbar ist: Die Matrix beschreibt das physikalische System, der Inhomogenitätsvektor die Belastung durch äußere Kräfte und der Spannungsvektor die gesuchten inneren Kräfte, also die Reaktion des Systems auf die Belastung.

(Eigentlich beschreibt das obige Gleichungssystem natürlich nur den „nichttrivialen“ Ausschnitt des betrachteten Ge- samtsystems aus Decke, Boden, drei Rollen, zwei Fäden und einem Gewicht. Alle übrigen Kräfte folgen aber leicht aus TaundTb, bzw. man könnte ohne Weiteres auch die8×8-Matrix des Gesamtsystems und das entsprechende GLSys für alle Kräfte hinschreiben.)

• Aus der Erfahrung mit einfachen physikalischen Systemen ist man gewohnt, ausgehend von bekannten vorgegebenen Größen die unbekannten Größen sukzessive zu erschließen bis man das gesamte System berechnet hat (oder zumindest soweit es die Aufgabenstellung verlangt). Keine Panik, wenn dieses Vor- gehen nicht funktioniert, wenn man das System so nicht „zu fassen“ bekommt! Tatsächlich ist es in der Physik (nicht nur in der Statik) der Normalfall, dass die Unbekanntennichtschrittweise aus bekannten Größen berechenbar sind. Man schreibe in solchen Fällen alle relevanten Gleichungen zwischen den bekannten und den unbekannten Größen auf und löse das sich so ergebende Gleichungssystem.

• Negative Fadenspannungen sind unphysikalisch bzw. zeigen an, dass sich das betrachtete System im vorgegebenen Zustand nicht im Gleichgewicht befinden kann.

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Aufgabe 1.5 „Fadenkreuz“ und schiefe Ebene (5/99)

Das GewichtGsei an zwei Fädenaundbbefestigt, die denselben Winkelϑmit der Vertikalen einschließen.

ϑ ϑ

G

a b

(a) Stellen Sie die vektorielle Gleichung auf, die das Kräftegleichgewicht am Knotenpunkt formuliert. Machen Sie sich die physikalische Bedeutung der Komponenten der Gleichung klar, und lösen Sie die Gleichung nach den Faden- spannungen auf. Liefert ihr Ergebnis fürϑ→0und fürϑ→90^◦die physikalisch korrekten Resultate?

(b) Berechnen Sie die Fadenspannungen, wenn statt der Gewichtskraft−Ge_ydie allgemeine KraftF =Fxe_x+Fye_y am Knotenpunkt angreift. Ergibt sich fürFx= 0, Fy=−Gwieder das Resultat aus (a)?

(c) Es sei nunϑ= 60^◦, und an den Knotenpunkt soll das GewichtG= 30 Ngehängt werden. Fadenakann maximal die Spannung45 Naushalten, Fadenbaber nur25 N. Zeigen Sie, dass das nicht gutgeht. Durch die zusätzliche Kraft 10 Nin positivex-Richtung am Knotenpunkt soll Fadenbentlastet werden. Funktioniert das?

Das GewichtGkann nun auf einer schiefen Ebene mit dem Winkelαzur Horizontalen reibungsfrei rutschen. Es wird am Hinunterrutschen durch einen Faden gehindert, der mit der Vertikalen den Winkelϑeinschließt.

ϑ

α G

(d) Bestimmen Sie die KräfteTundZ, die der Faden bzw. die Ebene aufGausüben. Liefert ihr Ergebnis fürϑ= 0und fürϑ= 90^◦−αdie korrekten Resultate?

Die Bestimmung von Kräften in 2d oder 3d Systemen erfolgt prinzipiell wie in 1d Systemen, nämlich per Kräfte- gleichgewicht. Allerdings sind 2d und 3d Kräfte keine Skalare mehr, sondern Vektoren. Daher ist ihre Richtung nicht mehr durch ein bloßes Vorzeichen gegeben, sondern durch einen Richtungsvektor (Einheitsvektor).

Hinweis zu (a): Die von den Fädenaundbauf den Knotenpunkt ausgeübten Kräfte sindT_a = Tae_a bzw.

T_b = Tbe_b. Dabei sindTabzw.Tbdie Fadenspannungen (gesucht) unde_a bzw.e_bdie Einheitsvektoren vom Knotenpunkt in Richtung des jeweiligen Fadens (bekannt).

Hinweis zu (d): Behandeln SieT undZ wie in (a). Bedenken Sie, dass eine reibungsfreie Ebene nur Kräfte senkrechtzu sich selbst ausübt.

Allgemeiner Hinweis: In 2d kann ein Einheitsvektor, der durch seinen Winkel gegenüber einer horizontalen oder vertikalen Richtung gegeben ist, nur diex- undy-Komponenten±cosoder±sinhaben. Welche Winkelfunktion und welches Vorzeichen diex- bzw.y-Komponente eines fraglichen Einheitsvektors hat, findet man heraus, indem man einen kleinen positiven Winkel annimmt.

(a)Es wirken drei Kräfte auf den Knotenpunkt, nämlich die KraftGdes Gewichts und die FadenkräfteT_aundT_b. Im Gleichgewicht gilt also

G+T_a+T_b = 0 (1)

In dieser Gleichung istGbekannt:G=−Ge_y, und von den Fadenkräften kennt man die Richtungen:

T_a = Tae_a = Ta(−sinϑe_x+ cosϑe_y) , T_b = Tbe_b = Tb(sinϑe_x+ cosϑe_y) (2) Damit wird das Kräftegleichgewicht zu

−Ge_y+Ta(−sinϑe_x+ cosϑe_y) +Tb(sinϑe_x+ cosϑe_y) = 0 (3) Zerlegt man diese vektorielle Gleichung in ihrex- undy-Komponenten, dann erhält man

−Tasinϑ+Tbsinϑ = 0 Tacosϑ+Tbcosϑ−G = 0

(4)

(11)

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Hier sindG, ϑbekannt undTa, Tbunbekannt. Es handelt sich um das inhomogene lineare Gleichungssystem fürTaund Tb, das die Reaktion des physikalischen Systems (charakterisiert durchϑ) auf die BelastungGbeschreibt. Physikalisch sagt dieses Gleichungssystem aus, dass sich die Horizontalkomponenten der beiden Fadenkräfte kompensieren müssen, während die Vertikalkomponenten der beiden Fadenkräfte zusammengenommen der Gewichtskraft das Gleichgewicht halten müssen. Die Lösung des Systems ist einfach:

Ta = Tb = G

2 cosϑ (5)

Fürϑ→0ergibt sich alsoTa=Tb→G/2, und fürϑ→90^◦folgtTa=Tb→ ∞. Das ist physikalisch korrekt.

(b)Das Gleichungssystem ist praktisch dasselbe wie in (a), nur ist die Inhomogenität−Ge_ynun durch die allgemeine InhomogenitätF =Fxe_x+Fye_yersetzt:

−Tasinϑ+Tbsinϑ+Fx = 0 Tacosϑ+Tbcosϑ+Fy = 0

(6) Die Lösung hiervon ist

Ta = Fxcosϑ−Fysinϑ

2 cosϑsinϑ , Tb = −Fxcosϑ−Fysinϑ

2 cosϑsinϑ (7)

FürFx= 0, Fy=−Ggeht dies wieder in das Ergebnis von (a) über, wie es sein muss. Beachten Sie, dass diese Ergebnisse fürTaundTbdievollständige Lösungfür das betrachtete statische System sind, denn man kann damit zu jeder „Aktion“

Fx, Fyauf das System seine „Reaktion“, nämlich seine VerspannungTaundTbberechnen.

(c)Fürϑ = 60^◦undF = −30 Ne_yergibt sich gemäß (a)Ta = Tb = 30 N. Der Fadenamacht also keine Probleme, aber Fadenbwird reißen. An der Lösung von (b) erkennt man, dass eine zusätzliche Kraft in positivex-Richtung Faden bentlastet (und Fadenabelastet). FürF^′ = 10 Ne_x−30 Ne_yergibt sichT_a^′ = 35.8 NundT_b^′ = 24.2 N, d.h. man ist im grünen Bereich (allerdings knapp).

(d)Auf das Gewicht wirken die GewichtskraftG, die FadenkraftTund die EbenenkraftZ. Im Gleichgewicht gilt

G+T+Z = 0 (8)

In dieser Gleichung istG=−Ge_ybekannt, und von den Faden- und Ebenenkräften kennt man die Richtungen:

T = T(sinϑe_x+ cosϑe_y) , Z = Z(−sinαe_x+ cosαe_y) (9) (Die Richtung der Ebenenkraft ist senkrecht zur Ebene, da keine Reibung vorhanden ist.) Damit wird das Kräftegleich- gewicht zu

−Ge_y+T(sinϑe_x+ cosϑe_y) +Z(−sinαe_x+ cosαe_y) = 0 (10) In Komponenten zerlegt:

Tsinϑ−Zsinα = 0 Tcosϑ+Zcosϑ−G = 0

(11) Hier sindG, ϑ, αbekannt undT, Zunbekannt. Es handelt sich also wieder um ein inhomogenes lineares Gleichungssy- stem fürT, Z(mitGals Inhomogentiät). Seine Lösung ist

T = sinα

sin(α+ϑ)G , Z = sinϑ

sin(α+ϑ)G (12)

Dies gibt die Verspannung des durch die Winkelαundϑcharakterisierten Systems unter der BelastungGan. Fürϑ= 0 folgtT =G, Z = 0, d.h. das Gewicht wird ganz vom Faden getragen. Fürϑ= 90^◦−α(Faden parallel zur Ebene) ergibt sichT =Gsinα, Z=Gcosα, also die bekannten Formeln für Hangabtriebskraft und Normalkraft.

• In 2d gibt es nichts prinzipiell Neues, man muss wie in 1d das Kräftegleichgewicht aufstellen und lösen.

Allerdings sind die Richtungen der Kräfte nun Einheitsvektoren statt bloße Vorzeichen.

• Beschreibung von Richtungen und Kräften durch Vektoren, Richtungswinkel und Beträge.

• Fadenkräfte sind immer parallel zum Faden, Ebenenkräfte sind immer senkrecht zur Ebene (wenn die Ebene reibungsfrei ist).

(12)

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Aufgabe 1.6 Pendel mit Störkraft (6/99)

Betrachten Sie ein Pendel aus einem GewichtGund einem Faden der Längel, das durch die in positivex-Richtung zeigende KraftF der GrößeFausgelenkt wird.

G F

l ϑ

(a) Stellen Sie das Gleichungssystem auf, das das Kräftegleichgewicht anGformuliert.

(b) Bestimmen Sie den Auslenkwinkelϑ, indem Sie die FadenspannungTaus dem Gleichungssystem eliminieren.

(c) Bestimmen SieT.

Nun soll das Pendel durch eine KraftF der GrößeFausgelenkt werden, deren Richtung durch den Winkelϕgegeben ist.

G

F l

ϑ

ϕ

(d) Bestimmen Sie den Auslenkwinkelϑund die FadenspannungTals Funktionen vonFundϕ. Was erhalten Sie für F = 0? Erhalten Sie fürϕ= 0die Resultate von (b) und (c)? Was erhalten Sie fürϕ=−90^◦?

(e) Schreiben Sie das Ergebnis von (c) für den Auslenkwinkel in der Form ϑ = arctan Fcosϕ

G−Fsinϕ

und erklären Sie den physikalischen Zusammenhang mit dem Ergebnis von (b).

Das Pendel ist das einfachste Beispiel für ein „verformbares“ System, in dem also sowohl die inneren Kräfte als auch die Gleichgewichtskonfiguration unter dem Einfluss gegebener äußerer Kräfte bestimmt werden soll.

Rein physikalisch gibt es hier nichts Neues, nach wie sind die Gleichungen für das Kräftegleichgewicht zentral.

Allerdings müssen diese nun nicht primär nach den Kräften, sondern nach den geometrischen Konfigurations- variablen des Systems (Auslenkwinkel, Orte, etc.) aufgelöst werden. Daher sind die Gleichungen nicht mehr linear und die exakte Lösung kann schwierig sein. Der hier betrachtete Fall ist aber leicht exakt lösbar.

Hinweis zu (c): Setzen Sie das Ergebnis von (b) in eine der Gleichungen aus (a) ein, und vereinfachen Sie mit Hilfe der Identitätsin arctanx=√^x

1+x2oder mitcos arctanx=√¹

1+x2.

(a)AufGwirken die GewichtskraftG=−Ge_y, die FadenkraftT =T(−sinϑe_x+cosϑe_y)und die AuslenkkraftF =Fe_x. Die GleichgewichtsbedingungG+T+F = 0lautet also

−Ge_y+T(−sinϑe_x+ cosϑe_y) +Fe_x = 0 (1) bzw. in Komponenten zerlegt:

−Tsinϑ+F = 0 Tcosϑ−G = 0

(2) Dies ist ein nichtlineares Gleichungssystem fürϑundTbei gegebenen äußeren KräftenG, F. (Das GLSys ist nichtlinear, da die gesuchte Größeϑnichtlinear vorkommt.) Es beschreibt vollständig den Zusammenhang zwischen Positionϑ, innerer KraftTund den äußeren KräftenFundGfür das betrachtete System.

(b)Obwohl das Gleichungssystem aus (a) nichtlinear ist, ist seine Lösung dennoch einfach: DaTlinear vorkommt, kann man es leicht eliminieren und eine Gleichung fürϑallein herleiten:

tanϑ = F

G (3)

Dies ist die „nichtlineare Bestimmungsgleichung“ fürϑ, ihre Lösung ist in diesem Fall trivial:

ϑ = arctanF

G (4)

(13)

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(c)Da nunϑbekannt ist, sind die Gleichungen aus (a) nun lineare Bestimmungsgleichungen fürT. Geht man mit dem berechneten Wert fürϑz.B. in die erste der beiden Gleichungen ein, dann ergibt sich

T = F

sin arctan^F_G = p

G²+F² (5)

wobei die im Hinweis angegebene Identität benutzt wurde, umsin arctan^F_Gzu vereinfachen.

Bemerkung: Die Ergebnisse von (b) und (c)

ϑ = arctanF

G und T = p

G²+F² (6)

liegen natürlich auf der Hand, wenn man sich die geometrische Bedeutung der GleichgewichtsbedingungG+T+F = 0 (Kräfteparallelogramm) veranschaulicht.

(d)Die einzige Änderung gegenüber (a) besteht darin, dass die Auslenkkraft nunF =F(cosϕe_x+sinϕe_y)stattF =Fe_x ist. Also lautet die Gleichgewichtsbedingung

−Ge_y+T(−sinϑe_x+ cosϑe_y) +F(cosϕe_x+ sinϕe_y) = 0 (7) bzw. in Komponenten:

−Tsinϑ+Fcosϕ = 0 Tcosϑ+Fsinϕ−G = 0

(8) Auch dieses nichtlineare Gleichungssystem kann man wie in (b) und (c) lösen. Ergebnis:

ϑ = arctan Fcosϕ

G−Fsinϕ , T = p

G²+F²−2GFsinϕ (9) FürF = 0folgt darausϑ= 0, T =G. Fürϕ= 0reduziert sich das Ergebnis auf das Resultat von (b). Fürϕ=−90^◦erhält manϑ= 0, T =G+F. All das ist so, wie es sein muss.

(e)Durch die vertikale Komponente vonF wirdGeffektiv umFsinϕreduziert. Dann verursacht die horizontale Kom- ponenteFcosϕvonF eine Auslenkungϑgemäß (b), wobei nunFdurchFcosϕundGdurchG−Fsinϕersetzt ist.

Also

ϑ = arctan Fcosϕ

G−Fsinϕ (10)

• Die Bestimmung der Konfiguration eines Systems aus gegebenen äußeren Kräften istphysikalischnichts Neues gegenüber der Bestimmung der inneren Kräfte, denn es muss dasselbe Gleichungssystem aufgestellt werden.

• Mathematischist die Bestimmung der Konfiguration allerdings schwieriger, da das GLSys nun nach der Konfigurationsvariablen (in ExPhysik 1 meist nur eine) aufgelöst werden muss, und diese nichtlinear im GLSys auftritt.

• Man kann das Gleichungssystem vereinfachen („auf seinen nichttrivialen Anteil reduzieren“), indem man die unbekannten Kräfte eliminiert. Das ist immer möglich, das diese linear im GLSys auftreten. Auf diese Weise erhält man die nichtlineare Bestimmungsgleichung für die Konfigurationsvariable.

(14)

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Aufgabe 1.7 Pendel mit Störgewicht (7/99)

Betrachten Sie ein Pendel aus einem GewichtGund einem Faden der Längel, das wie abgebildet durch das „Störge- wicht“W ausgelenkt wird. Die Entfernung zwischen der Rolle und dem Aufhängepunkt des Pendels sei2l. Gesucht ist der Auslenkwinkelϑdes Pendels.

G W

2l

ϑ l

(a) Leiten Sie aus der Bedingung des Kräftegleichgewichts anGdie Bestimmungsgleichung fürϑher:

G 2

√5−4 sinϑtanϑ = W

Die Bestimmungsgleichung aus (a) ist zu kompliziert, um sie exakt nachϑauflösen zu können. Man muss sich daher schon bei einem so einfachen System mit Näherungslösungen begnügen. Wichtig sind dabei vor allem zwei Situationen, die im Folgenden behandelt werden.

(b) Bestimmen Sie eine Näherungslösung fürϑfür den Fall, dassW (und damit auchϑ) klein ist. Ersetzen Sie dazu die komplizierte FunktionW(ϑ)auf der linken Seite der Gleichung durch ihre lineare Ersatzfunktion für die Umgebung vonϑ= 0, also durchW(0) +W^′(0)ϑ, und lösen Sie die lineare Näherungsgleichung fürϑ:

W(0) +W^′(0)ϑ = W

(c) Untersuchen Sie, wieϑdurch kleine Änderungen vonWbeeinflusst wird:

(i) Es seil= 1.23 m, G= 10 N. Bestimmen SieW0so, dass sich die Auslenkungϑ0= 40^◦einstellt.

(ii) Berechnen Sie näherungsweise die Änderung vonϑ, wenn sichW um den kleinen Wert∆W von seinem SollwertW0entfernt. Benutzen Sie dafür die FunktionW(ϑ)und den für kleine∆Wund∆ϑnäherungsweise gültigen linearen Zusammenhang:

dW

dϑ(ϑ0) ∆ϑ = ∆W

In welchem Bereich schwanktϑ, wennWum±0.1 Num den SollwertW0aus (i) variiert?

Schon in relativ einfachen Systemen kann die Aufstellung der Gleichungen für das Kräftegleichgewicht aufwän- dig und ihre exakte Auflösung nach der Gleichgewichtskonfiguration unmöglich sein: (a). Hinweis: Orientieren Sie sich am Vorgehen in den Teilen (a) und (b) der vorigen Aufgabe. Der Richtungsvektor vom GewichtGzur Rolle iste_W =_|^r_r^R⁻^r^G

R−r_G|, wobeir_Rder Ort der Rolle undr_Gder Ort vonGist.

In solchen Situationen kann man also nicht die Gleichgewichtskonfiguration bei beliebigen Bedingungen exakt berechnen, man kann aber immerhin kleineÄnderungender Gleichgewichtskonfiguration bei kleinen Änderungender Bedingungen näherungsweise berechnen: (b), (c).

Es handelt sich bei (b) und (c) übrigens um realistische Szenarien wie sie auch in „real-world“-Anwendungen vorkommen – allerdings mit deutlich komplizierteren statischen Systemen.

(a)Die Gleichung für das Kräftegleichgewicht anGist

−Ge_y+T(−sinϑe_x+ cosϑe_y) +We_W = 0 (1) Der Richtungsvektore_Wist dabei der normierte Vektor, der vom Ortr_G=lsinϑe_x−lcosϑe_ydes GewichtsGzum Ort r_R= 2le_xder Rolle zeigt:

e_W = r_R−r_G

|r_R−r_G| = (2l−lsinϑ)e_x+lcosϑe_y

p(2l−lsinϑ)²+l²cos²ϑ = (2−sinϑ)e_x+ cosϑe_y

√5−4 sinϑ (2)

Also:

−Tsinϑ+W 2−sinϑ

√5−4 sinϑ = 0

−G+Tcosϑ+W cosϑ

√5−4 sinϑ = 0

(3)

Dies ist ein ziemlich kompliziertes nichtlineares Gleichungssystem fürϑundT. (Wäreϑvorgegeben und stattdessen nach den KräftenT, W gefragt, dann wäre dieses System linear und einfach zu lösen.) Man kann aber leicht das linear

(15)

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vorkommendeTeliminieren und erhält so die in der Aufgabenstellung angegebene Bestimmungsgleichung fürϑ:

G 2

√5−4 sinϑtanϑ = W (4)

Im Unterschied zur Bestimmungsgleichung fürϑaus Teil (b) der vorigen Aufgabe ist diese Bestimmungsgleichung nicht einfach lösbar, und man muss auf Näherungen zurückgreifen, wie im Folgenden dargestellt.

(b)Für die FunktionW(ϑ)auf der linken Seite der Gleichung gilt:

W(ϑ) = G 2

√5−4 sinϑtanϑ ⇒ W(0) = 0 , W^′(0) =

√5

2 G (5)

Die lineare Ersatzfunktion vonW(ϑ)in der Nähe vonϑ= 0(Taylor-Entwicklung 1. Ordnung umϑ= 0) ist also W(0) +W^′(0)ϑ =

√5

2 Gϑ (6)

Die lineare Näherungsgleichung für kleineϑbei kleinenWist also

√5

2 Gϑ = W (7)

Diese ist problemlos nachϑauflösbar:

ϑ = 2

√5 W

G (8)

(c)

(i) Die Bestimmung vonW0ist einfach, denn das ist die „Vorwärtsrichtung“ der Gleichung aus (a):

W0 = G 2

√5−4 sinϑ0 tanϑ0 = 6.54 N (9)

(ii) Anwendung der angegebenen Relation^dW_dϑ(ϑ0) ∆ϑ= ∆WaufW(ϑ) = ^G₂√

5−4 sinϑtanϑergibt G

2

√5−4 sinϑ0

1

cos²ϑ0 − Gsinϑ0

√5−4 sinϑ0

∆ϑ = ∆W (10)

Diese Gleichung gibt näherungsweise an, um welches∆W sichW ändern muss, wenn sichϑum∆ϑvom Wert ϑ0entfernen soll. Das sieht etwas länglich aus, aber man beachte, dass die gesamte große Klammer auf der linken Seite lediglich ein bekannterZahlenwertist (dennϑ0undGsind ja vorgegeben), und die Gleichung sich somit auf die angenehme Form

9.15 N ∆ϑ = ∆W (11)

vereinfacht. Durch Umkehrung folgt daraus die näherungsweise Änderung vonϑbei kleiner Abweichung vonW von seinem Sollwert:

∆ϑ = 0.109 N⁻¹∆W bzw. ∆ϑ = 6.26^◦∆W

N (12)

Für∆W = 0.1 Nist also

∆ϑ = 0.626^◦ (13)

so dass

ϑ∈[39.374^◦,40.626^◦] (14)

Beachten Sie, dass die hergeleitete Näherungsgleichung∆ϑ= 6.26^◦^∆W_N nur für die Abweichungen vom Sollwert ϑ0= 40^◦gilt. Bei anderen Sollwerten reagiertϑempfindlicher oder weniger empfindlich auf Änderungen vonW, je nach dem Wert des länglichen Klammerfaktors für das jeweiligeϑ0.

• In vielen Fällen ist die Bestimmungsgleichungy(x) = yfür die Konfigurationsvariablexbei gegebener Belastungynicht exakt nachxauflösbar, da die Funktiony(x)zu kompliziert ist.

• Kann man aber von einer vorgegebenenAusgangskonfigurationx0ausgehen (wie hier in (b) und (c)), dann kann man immerhin näherungsweise dieÄnderung∆xdieser Konfiguration bei kleiner Änderung∆yder Belastung berechnen.

• Dazu verwendet man wahlweise die lineare Ersatzfunktion füry(x)in einer kleinen Umgebung vonx0, alsoy(x0) + (x−x0)y^′(x0)(Taylor-Entwicklung 1. Ordnung vony(x)umx= x0) oder äquivalent (und einfacher) den näherungsweisen linearen Zusammenhang∆y = ^dy_dx(x0) ∆xzwischen kleinen Änderun- gen vonxundy.

(16)

L E S E P R O B E A U S : S e b as tian S c h lic h t 99 A u fgab e n z u r M e c h an ik w w w .p h ys ik 99. d e Zusammenfassung: Was man lernen und mitnehmen soll:

• Das Ziel der Statik ist die Bestimmung der Gleichgewichtskonfiguration und aller innerer Kräfte unter der Einwirkung gegebener äußerer Kräfte („Belastung⇒Verspannung + Verformung“).

• Dazu stellt man das Kräftegleichgewicht an allen Teilen des Systems auf und erhält so ein Gleichungs- system, das das System (d.h. den Zusammenhang zwischen Positionen, inneren und äußeren Kräften) vollständig beschreibt. Hat man dieses GLSys aufgestellt, dann hat man das System damit prinzipiell

„verstanden“ (in Mathematik übersetzt). Der rein physikalische Teil der Aufgabe ist damit erledigt.

• Je nach Aufgabenstellung (was sind die gegebenen Größen, was die gesuchten?) kann das GLSys nach den Kräften und / oder nach den Konfigurationsvariablen aufgelöst werden.

• Auflösen nach den Kräften bei bekannter Konfiguration ist meistens einfach, da das GLSys in den Kräf- ten linear ist.

• Sind hingegen eine, mehrere oder alle Konfigurationsvariablen gesucht, ist das Auflösen mathematisch schwierig (da das GLSys i.a. nichtlinear in den Konfigurationsvariablen ist), und man muss sich evtl.

mit Näherungen (Berechnung kleiner Änderungen, Taylor-Entwicklung) oder numerischen Lösungen zufriedengeben.

• In vielen Fällen ist das Aufstellen des GLSys füralleTeile des Systems nicht nötig, und man kann (und sollte) sich auf das für die konkrete Fragestellung relevante Teil-GLSys beschränken.

• Die elementare Statik ist ein Modell der Mechanik im Kleinen und illustriert dasallgemeine Vorgehen in der Physik: Das betrachtete physikalische System wird in ein mathematisches Gleichungssystem übersetzt, welches das physikalische System vollständig beschreibt. An dieses GLSys können dann be- liebige konkrete Fragestellungen herangetragen werden, d.h. man kann es bei gegebenen Größen nach gesuchten Größen auflösen.